2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习微专题遇到中点如何添加辅助线知识精练1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝eq\f(1,2)AB，则DF的长为________．第1题图2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________．第2题图3.如图，AD是△ABC的中线，点E是AB上一点，且BE＝2AE，连接CE交AD于点F，若CF＝3，则EF的长为________．第3题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，连接DF.若DF⊥BE，则tan∠DBE的值为________．第4题图5.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，过点A作AE⊥CD于点E，F为BC的中点，连接EF，若∠B＝70°，则∠BFE的度数为________．第5题图6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝2BA＝6，M，N分别是BC，CD的中点，连接AM，AN，MN.若△CMN的面积为eq\f(3,2)，则△AMN的面积为________．第6题图7.如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，F是CD边上一点，连接EF交BD于点G，若DF＝2，CF＝4，DG＝3，则BG的长为________．第7题图8.如图，已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CEF＝90°，且E是中线AD的中点，连接BF，若AB＝4，则线段BF的长度为________．第8题图9.如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接DE，CE，且EC平分∠DEB，点F为CE的中点，连接AF，BF.求证：AF⊥BF.第9题图参考答案与解析1.2【解析】如解图，连接EF，AE.∵E，F分别为BC，AC的中点，∴BE＝EC，AF＝CF，∴EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB.∵AD＝eq\f(1,2)AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，∵∠BAC＝90°，∴AE＝eq\f(1,2)BC＝2，∴DF＝AE＝2.第1题解图2.eq\f(12,5)【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，点M为BC的中点，∴AM⊥CM(三线合一)，BM＝CM.∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得AM＝eq\r(AB2－BM2)＝eq\r(52－32)＝4.∵S△AMC＝eq\f(1,2)MN·AC＝eq\f(1,2)AM·CM，∴MN＝eq\f(AM·CM,AC)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5).第2题解图一题多解3.1【解析】解法一：如解图①，过点D作DG∥AB交CE于点G，则∠EAF＝∠GDF.∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DG是△BCE的中位线，∴BE＝2DG，CG＝EG.∵BE＝2AE，∴AE＝DG.∵∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF，∴EF＝GF，∴EF＝eq\f(1,3)CF＝eq\f(1,3)×3＝1.解法二：如解图②，过点D作DH∥CE交AB于点H，∵AD是△ABC的中线，∴DH是△BCE的中位线，∴DH＝eq\f(1,2)CE，BH＝EH.∵BE＝2AE，∴AE＝EH，∴EF是△ADH的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)DH，∴EF＝eq\f(1,4)CE，∴EF＝eq\f(1,3)CF＝eq\f(1,3)×3＝1.图①图②第3题解图4.eq\f(\r(3),3)【解析】如解图，连接CE，设CD＝a，∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD＝a.∵点F为BE的中点，∴EF＝BF.∵DF⊥BE，∴BD＝ED＝a.∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝ED＝CD＝a，∴△CED为等边三角形，即∠CDE＝60°.又∵BD＝ED，∴∠DEF＝∠DBF＝eq\f(1,2)∠CDE＝30°，∴tan∠DBE＝eq\f(\r(3),3).第4题解图5.165°【解析】如解图，延长EF交AB的延长线于点M，连接AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C＝∠MBF.∵F为BC的中点，∴BF＝CF.在△BFM和△CFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MBF＝∠C，,BF＝CF，,∠BFM＝∠CFE，))∴△BFM≌△CFE(ASA)，∴MF＝EF，∠CEF＝∠M.∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAB＝90°.∵MF＝EF，∴AF＝EF＝MF，∴∠M＝∠MAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ABC＝70°，∠BCD＝110°.∵BC＝2AB，∴AB＝BF，∴∠MAF＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M＝55°，∴∠CEF＝55°，∴∠CFE＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE＝180°－15°＝165°.第5题解图6.6【解析】如解图，连接AC，BD.∵M，N分别是BC，CD的中点，∴MN＝eq\f(1,2)BD，MN∥BD，S△ACN＝S△DAN，S△ABM＝S△AMC，S△CMN＝eq\f(1,4)·S△DBC.∵S△CMN＝eq\f(3,2)，∴S△DBC＝6.∵∠BAD＝90°，AD＝2BA＝6，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AD·AB＝9，∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝15，∴S△ACN＋S△ACM＝eq\f(1,2)S四边形ABCD＝eq\f(15,2)，∴S△AMN＝S△ACN＋S△ACM－S△CMN＝6.第6题解图7.12【解析】如解图，延长FE交BA的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠H＝∠DFE，∠HAE＝∠FDE.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEH≌△DEF，∴AH＝DF＝2，∴BH＝AB＋AH＝CD＋AH＝4＋2＋2＝8.又∵AB∥CD，∴△BGH∽△DGF，∴eq\f(BG,DG)＝eq\f(BH,DF)，即eq\f(BG,3)＝eq\f(8,2)，解得BG＝12.第7题解图8.eq\r(2)【解析】如解图，过点E作EG∥BC交AC于点G，连接BG，∵点E是AD的中点，∴点G是AC的中点．∵△ABC和△CEF是等腰直角三角形，∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB＝BC，CE＝EF，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，CB＝eq\r(2)CG，CF＝eq\r(2)CE，∴∠GCE＝∠BCF，eq\f(CG,CB)＝eq\f(CE,CF)＝eq\f(\r(2),2)，∴△GCE∽△BCF，∴eq\f(GE,BF)＝eq\f(\r(2),2).∵BC＝AB＝4，AD是中线，∴BD＝CD＝2.∵点E，G分别是AD，AC的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴GE＝eq\f(1,2)CD＝1，∴BF＝eq\r(2).第8题解图9.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB.∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC.如解图，连接DF，∵DE＝DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°.在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，