高中数学-函数问题中必考错误分析详解

高中数学-函数问题中必考错误分析详解

易错点1忽视函数概念中的“唯一性"

【例1】函数，/=/⑺的图象与直线.「=〃交点的个数为()

A.必行一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上

【解析】当“在函数"=/(.*的定义域内时，交点有1个；当“不在函数”=/3

的定义域内时，交点的个数为0,故选择C。

【评注】函数概念要求"对于定义域内每一个X在值域中都有唯一元素与之对

应"。本题在解题过程中容易忽视”不在理数.，/=/(」：)的定义域内或误认为交点

快可以有无数个，造成错选A或D.

易错点2对同一函数的理解错误

【例2】已知函数/(1)=就一1,则下列函数与函数/(工)是同一函数的是()

.一flx2—1I,.

/、N—1c/、J--TTTS1芋一1，

A«./7(X)=\R.g(x)=x+1

"1<2,x=-l

C.g(x)=PJ：；D.g(x)=x-l

[1—x.xW()

【解析】两个函数是同一函数的充要条件是它们的定义域和对应法则分别相同。

A选项与函数的定义域不同；C,D选项与函数/(/)的对应法则不同，故选择

B.

【评注】本题中C选项的定义域与对应法则看似与函数/")相同，但其分段的

分类标准与函数/")不相同，要注意辨别，不要错选C。

易错点3求函数的定义域时漏条件

【例3】函数",)=，口时+电汇二空二的定义域为()

X-o

4(2,3)5.(2,4]C.(2,3)U(3,4]D.(-l,3)U(3,6]

'4一|工|NO,

【解析】由已知可得工2_5工+6...贝山2〈工V3或3VhW4.故选C.

3***^u,

【评注】本题中容易出现将「不:；漏掉的情况，从而错选B.求理数定义域时可能

会出现忽视分式的分母不为0、开偶次方时被开方数大于或等于0,幕指数为0

的数底数不为0、对数的真数大于0等情形。

易错点4求函数解析式时忽视定义域

【例4】已知/(工+=/+：,则函数/(工)=。

【解析】由于/(1+f=/+匕=G+：)—2,且r+：32或工+1运-2,

所以/(1)=x'~—2(x22或rW-2)。

【评注】本题中容易漏掉函数/")的定义域，而只能得到/(工)=/-2的错误

结论。

【变式1】已知/(3cosz)=laC,则/(c)=0

【解析】令厂二:消去X得，=(3一1=二^，又-3WuW3.且“羊0,

(v=tanx,\u/u

()一

故所求函数/(n)—--—(-3WnW3,「1.l#=0)o

易错点5混淆"函数/("在某区间有意义"与"函数/(1)的定义域为某区间"

【例5】函数/(工)=ln(a-33+2-3-+1)在(1.+8)上有意义，求实数a的

取值范围。

【解】由已知可得当了>1时，。-3-2，+2-3--+1>0恒成立，

2.3-x+1

则=-34-2-3'=-(3'+1M+1,

3

­/a：>1,/.-(3X+1)24-1<-15,

故实数a的取值范围为a215.

【评注】理数/(，)的定义域为某区间，则该区间为理数有意义的最大范围；若困

数/(』)在某区间上有意义，则该区间是函数定义域的子集，本题容易误认为

(1.+8；就是函数/(G的定义域。

【变式2】已知函数/3)=也(叱33+2,3'+1)的定义域为(1,+8),求实

数”的取值范围。

【解】•.・函数/(工)的定义域为3+8),.•.(1,+8)是不等式

a-3^+2-3-+1>0的解集，令m=3,得不等式m2+2m4-a>0(m>0)的

解集为(3.+x),所以3是关于m的方程，M+2m+a=()的根，代入可得

a=-150经检验知a=-15时，不等式a•3号，+2•3-，+1>()的解集是

(1,+oo),故实数”的取值范围为a=-15。

易错点6错误理解复合函数定义域的求法步骤

【例6】已知函数/（2z-l）的定义域为[1,4],则函数/（2，）的定义域为（）

>l.[0,log27]应[0,2]D.[l,4]

【解析】由已知可得/3）的定义域为[1,7],令1W2Y7,得OWzWlog/,

故理数的定义域为[0.1og?7],故选A.

【评注】在复合函数中求抽象函数定义域有关问题时，由于没有告诉理数解析式,

所以进行运算时要注意两个原则：一是定义域总是给定函数中自变量的取值范围

的集合；二是同一对应法则内的变量取值范围的集合相同。若不理解求法步骤，

本题易错选B或C.

【变式3】已知式工）=2+log3Z（l近方W9）,则函数y=[/（1）「+/（/：的最

大值为（）

4.68.13C.22D.33

【解析】在解题过程中要注意理数"=[/（『）「+/（/）的定义域是[L3],而不

是[L9],故选B,本题容易错选C.

易错点7将函数的定义域与值域理解错位

2

【例7]已知函数/(z)=log2—4m；r+4zz?.+m+1\

(I)若/")的定义域是R,求m的求值范围；

(II)若/")的值域是R,求m的求值范围；

【解】设。(])=工'-4zna-+47n-+mH---!―r,

m-1

(I)若/(工)的定义域是R,则9(])>0恒成立,

△=(4m)2—1fbzi2+inH--------<0,解得rn>1,

\m—\)

(II)若/("的值域是R,则"(1；能取到所有正数，

A=(4m)2—i(4n?2+m----1'Z0,解得in<1

\m—1/

【评注】解题中极易将该题中第一问过程与第二问过程错位。要特别注意：/")

的定义域是Rog⑺>0恒成立；/(工)的值域是R<=>(0,+X)是值域

的子集。

易错点8忽视函数在区间上单调的前提条件是函数在该区间上有意义

【例8】若函数/3)=】og。(岫-3)在［1,3］上单调递增,则a的取值范围()

>4.(1,+oo)J9.(0,l)C.(0,P.(3,+oo)

【解析】a>0H.a#l,「.a=g3为增理数，若/(£)为增函数，则y=logaU

必为增函数，，。>1,又”=以：一3江口.3)上恒为正，，.一3>0.即(1>3,故

选D.

【评注】复合函数单调性问题，重在将其拆分成简单函数后，分析简单函数各自

的单调性，拆分后容易忽视原函数的定义域，因此该题很容易错选A。

【变式4】已知关于『的函数，尸bg,(小-2a.r-2)在区间［-2,-I］上是增函数,

则“的取值范围是()

4(0,1)应C(l,+oc)〃.(2,+oo)

【解析】

设〃=/—2ax-2./.a>0,11aI.u=/—2ax—241-2,-1］上单词

递减，由原函数在上为增函数知4=10或〃必为减函数，.・.OV〃V1,

又a=--2a工-2在［-2,-1］上恒为正，(-l)2+2a-2>0.即a>：,

-y<a<1,B.

易错点10混淆"在区间上单调""单调区间是""存在单调区间”等词意

［10］函数9=--+2皿+5在［L+oo）上为减理数，则实数m的取值范围

是（）

A.m<113.rn1C.m<-1D.m>-1

【解析】由函数"=--+2.+5在［1,+oo）上为减理教，且此二次函数的对

称轴为『=，〃，所以由数形结合知7〃W1,故选A。

【评注】本题容易错误理解为函数."=--+2m+5的单调区间是［1,+X）,

从而得出；〃=।的错误结论，在解题中要注意，"在区间上单调”指该区间是函

数相应单调区间的子区间；"单调区间”是指该区间就是函数的相应最大单调区

间；"存在单调区间”指该区间内有相应单调性，也可能有别的单调性，即该区

间内可能既有增区间，也有减区间。

【变式5】函数“二中+2（1一，）工一8的单调递增区间为［2,+x）,则实数，的

取值范围是O

【解析】因为函数”=*+2（1—f）］一8的单调递增区间为［2,+8）,所以

-1=2,即，=3

【变式6】已知理数/（工）一"：：'-小+1在区间（0,1）上有增区间，则a的取值

氾围是O

【解析】由已知得/'（工）=3a产-2立=x（3ar-2）,又函数/（1）=ax3-a：2+l

在（0,1）上有增区间，贝心>0」〔9-<1,牧为所求。

易错点11在函数的奇偶性问题中未注意"定义域关于原点对称"

【例11】已知函数已力的定义域为(3—2a,a+1),且/(r+1；为偶函数，则

实数”的值是()

B.2C.4D.6

•J

【解析】函数/(.r+1)的图象是由函数/(工)的图象向左平移1个单位长度得到的,

所以函数/(1+1)的定义域为(22a.a),又/(.r+1)为偶函数，且偶函数的定

义域关于原点逐，贝山-2a=-a,即，；=2,3B.

【评注】若没有注意奇(偶)由教定义域关于原点对称的性质，很可能错误地认

为3-2a=-(a+l),得到a=4,从而错选C.

i点12不能熟练应用"奇函数/"）若x=0处有定义，则/（（））=（）”

【例12】定义在R上的奇函数/（./）满足当时，/（.r）=20ir4-log,u；r,

则在R上函数/（©的零点的个数为.

【解析】当工时，由函数/（冷=2（）"+吹刈~得

201=-log.”⑶=log।r,在同一平面直角坐标系中作出函数"=2011和

.「的图象，可知它们只有一个交点，所以当时，函数只有一个零

2011

点；由奇函数关于原点对称的性质知当工＜。时函数只有一个零点；又当x=0时,

/（0）=（）。综上可知，在R上函数/（工）的零点个数为3.

【评注】本题中若没有注意到"奇函数若x=0处有定义，则/（（））=（）"的

结论，很容易得出在R上函数/⑺的零点个数为2的错误结论。

【变式7】已知/（公是定义在R上的奇函数，在（5+x）上单调递减，且

则函数的零点的个数为0

【解析】由函数/（工）是定义在R上的奇函数，得

所以函数/⑺在即1）内有一个零点。而

/（二在（（）.+x）上单调递减，故在（（），+x）上只有一个零点；由奇函数的性质

知函数/"）在（-x,（））上也只有一个零点，又/（（））=（）,故函数/（二零点的个数

为3.

易错点13复合函数奇偶性中错将含自变量的代数式当成自变量

【例13】函数/(工)的定义域为R,若/Q+1)与/(工一1)都是奇函数,则()

A.f(x)是隅函数是奇函数C.f(x)=/(1+2)D.f(r+3)是奇函数

【解析】由/Gr+1)与/(x-1)都是奇函数，可得

J/(T+1)=-/(-x+l),#(/(-T)=-/(x+2),

1/(1—1)=-/(-.r—1).=-/(x—2).，则-/(z+2)=-/(H一2),

.-./(T)=/U+1),故函数/⑺是以4为周期的周期理数，又由

/(工一1)=一/(一工一1)得

/廿-1+4)=-/(-1—1+4),即/3+3)=-/(-工+3),.•.函数/(z+3)是

奇函数，故选D.

【评注】本题的关键是由条件得到匚y十：|一一：二L：,在做题中极易根据

l/(l—1)=-/(-1—1),

/(工+1)与/(7—1)都是奇函数得到从而得出

/(.r)——/(-r)的错误结果。对于抽象函数的奇偶性问题，一定要注意在用奇偶

性定义时只能在自变量前加"一’号，而不能在含有自变量的代数式整体前加

号。

【变式8】已知函数〃=/(2，+1：是偶函数，且/(2)=3,贝1」/(0)=,

・「函数y=/(21+1)是偶函数，.\/(2x+l)=/(-2工+1),

【解析】

故可得到/(工+1)=/(-工+1),.-./(0)=”2)=3

易错点14分段函数奇偶性在分段处理上忽视"-X"的范围

z2—2,x<-1

【例14】函数/殳)={0,|]|W1,在定义域上是()

-x'+2,x>1

4奇函数8信函数。既是声函数乂是偶函数。.既不是奇函数乂不是偶函数

【解析】由题意知，/⑺的定义域是R。当工<1时，一工>1,则

/(-X)=-(-x2)+2=-(x2-2):当㈤W1时，/(工)=0；当

工>1时，一了V-L贝(]/(-1)=(-j：2)—2=-(-z2+2);

—(z2—2),工V-1

{0,\x\<1=-/(工)，即函数/Q)为奇函数，故选A.

-(-x2+2),x>1

【评注】本题中在分段函数的处理上若没有弄清"X"与"-X"范围关系，很容

(-T)■—2,X<--1

易错写成=0,|z|<l=/(工),从而错选Bo

-(-x)2+2,x>1

TYJ">()

【变式9]函数/3)=1V/T」.，在定义域上是()

-xy/-x^x<0

A,奇函数/工偶函数C既是仿函数乂足偶函数D既不足令函数乂不是偶函数

【解析】由演知，/⑺的定义域是R,可求得八-工)=("•二/>。，=/⑸，

<0

即函数/(，)为偶函数，故选B.

易错点15混淆函数图象关于"点"对称与关于"轴"对称

【例15】已知定义在R上的函数/（工）满足/（才+1）=-/（3—.，：）且在单调递减

区间［-3,-1］上有最大值8,则函数/⑺（）

A.在［5,7］上单调递增，且有最大值8B.在［5,7］上单调递增，且有最小值-8

C在［5,7］上单调递减，且有最大值8D.在［5,7］上单调递减，且有最小值-8

【解析】由/（z+l）=-/（3—工）得/［（工+1）+1］=-/［3—（工+1）］,即

/（2+.r）=-/（2-x）,所以函数/（1）的图像关于点（2,0）对称，故选D。

【评注】本题中由/（2+/）=-/（2一小易得出函数/（工）的图象关于直线工=2

对称的错误结论，故易错选A。在对称性问题中若有/（〃+r）=/（/，一工）成立，

则函数/（工）的图象关于直线工=—对称；若有/（。+工）=-/（。一］）成立，

则函数/（冷的图象关于点0）对称。

【易错点16］不理解复合函数中含变量代数式的含义导致求错函数对称性

【例16】已知函数/（二），当工wA时都有/（I+2工）-/（I-2工）成立,则函数/（.r）

图象的一条对称轴为（）

=1B.x=:C.x=-JD.x=-1

【解析】

令£=24则函数/（14-2z）=/（I-2力可化为/（I+£）=/（I—。

土函数/（工）中，打了（1+丁）=/（I-X），所以/（1）的图象关卜工=1对称，故选I.

【评注】本题的关键是要理解抽象函数中变量的整体代换思想，若根据

/（I+2］）=/（I-2工）,得到传川=/［2（1一,容易簸B.

易错点17"一个函数图象的对称性"与"两个函数图象的对称关系"问题分辨

不清

【例17】设函数的,/—/(工)定义域为R,则函数?/=/(工一3)与函数/(I一域的

图象关于()

小」「々?/=1时称A直线上=1时称C.也浅”=24:M；/)"「5=•"，

【解析】设函数。=/(工一3)的图象上任意一点〃CroM),则

?Ai=—3),11P(x„.!/„)关于直线X=2的对称点为Q(4-；»,„,//(.)•又函数

y=/(l—工)中，"5=4一工。时，2/=/[1—(4—xtt)]=/(T(I—3),所以

Q(4s)在〃—f。-X)的图象上。故函数"一/(工一3)与函数/(I-x)的图

象关于直线x=2对称，故选D.

【评注】本题中若不能有效分辨"一个函数图象的对称性"与"两个函数图象的

对称关系"问题，很容易由已知条件得到/(.r-l)=/(3一工)从而得出关于直线

x=1对称的错误结论。

【变式10】函数"=/(1-2)与"=/(2—立)图象关于()

.1(「％%=()时〃:〃.“线『=(),£：lrl^y=20M：/).「；心=2・

【解析】同例17方法可知理数—〃『-2)与“=/(2—4图象关于x=2对称，

(本题易错选B)

易错点18不能将"对称性"向"周期性”有效转化致错

【例18】函数"=/3满足对任意的.一/?都有/(：r+2)=/(-#)成立，且函数

?/=/(1一1)的图象关于(1,0)对称，则“2012)+/(2象3)+“2014)的

值为O

【解析】••.函数广/(1一1)的图象关于(1,0)对称，，函数”=/(M的图象关

于(0,0)对称,即函数“=/(力是奇函数,••./(-?)=-/(工)，又/(工+2)=〃-工),

则/3+2)=-/(1)，.•./(①+4)=/㈤,即函数”=/3)是以4为周期的周

期函数。又/(0)=0,/(1)=4,/(2)=/(0)=0,

/(2012)+/(2013)+/(2014)

=/(0)+/(1)+/(2)=4。

【点评】双对称函数具有周期性；若函数，-/(1)的图象关于直线

工=a和工=b对称(/>>rt),则2(/)—a)是函数。=/(立)的周期：若函数H=/(工)

的图象关于点(a,0)和(6,0)对称(b>a),则2Q-Q)是南数|/=/3)的周期:若

若函数?/=/(x)的图象关于直线工=。和点(6,0)对称(b>a)则

1(/，一”)止函数“二〃/)的打叨：在做题中容易出现两类错误：一是不能熟练地

将对称性向周期性转化；二是将2(6—〃)与1(/，一。)混淆。

易错点19忽视对含参数的二次项系数为零时的讨论

【例1］若不等式--4)/+2(«-2),+1>()对一切rGK恒成立，贝！J实数：的取值范围是

()

A,a>2B.a三2C.a<-2D.a$-2

【解忻】当屋7=()时，a=2或a=-2,经检验a=2满足条件；

a-4手。时，由不等式小-4)工2+2(°-2)1+1>()对一切re在恒成立，得

廿一；>0

、“二、，，,,‘、解得a>2.综上，满足条件的实数:的取值范围是aM2,

IA=l(a—2)--l(<r—1)<0

故选B.

【评注】在薛答含参数的二次函数时，若二次项系数含有参数，则一定要注意n欠项系数为零

时是否满足题意.本题中若忽视了对“一1=。的讨论，则很容易错选A.

【变式1］已知函数f(，)=(尸—1)工2+27-3在区间(-8,2］上单调递增，则实数4的取值

范围是.

【答案】--人士-殍或警嗅-1

易错点20忽视黑函数的系数为"1"

［例2］暮函数，-(nJ-m+l)h-一在区间：>+(x)上单调递减，贝！I实数，”的取值范

围为.

【解析】由熹函数"=(，"」-7»+1)才一」一在区间：0.+2上单调递减，得

jw--„,+l=l解得,“=0%”=1,故满足条件的实数".，的取值范围为*).D.

lm~—2m—3<0

【变式2】已知寻函数：(/)=(,”2—5巾+7)，一”在区间(Q,+x)上单调递增，则实数，〃的

取值范围.

【答案】，“=3

易错点21混淆函数中的"有解"与"恒成立"问题

【例3】已知函数g(.r)=ar:-2ur+I+b(n>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设

/⑴=幺9,若不等式,,(2)一-2小)在有解，求实数k的取值范围.

X

【解】!l(x)=ar?-2"+1+b(a>0),故二次函数/")开口向上，对称轴为X=1,/.g")在

区间[2,3]上是增函数,则有：解阑:=：,又/⑺=幺到，"5)=x+--2,

由〃2一-22)可化为字+'一2"2,即AW停了-2$+1,令，=《，得

&W(t2-2t+l)r€[-1.12，::，」：-k-2三()在7€[-1.「有

解，.•/£(/=2/+1),=1d0W2),故满足条件的实数；的取值范围为：-oc,l].

【评注】在函数中常见到含参数的"有解"与"恒成立”问题，在亩题中一定要注意理解题意，

若IW/Q，有解，贝!UW[/Cr)]；若恒成立，贝！UW[/(0)]…；若，"/(外有解,

贝必第若kZ/Gr)恒成立，则；

【变式3】定义域为R的函数〃工)满足/"+2)=2/(.),当re[(),2)时，

X2—x,xG[0,1)

/3=若当CG[-4.-2)时，函数一一〃+[w[/(7)].，恒成立，

则实数，•的取值范围为()

42W1W3ZMWIW3C.1W，W4D2WIW4

x2-x,Ie[0,1)

【解析】由已知可得函数/(『)=,_仕jT,卡「，的最小值为噌)=-i.当

、<-2时,有收，+4<2.57+2)=芋一，所以1"=4/(，+2)=。(1+4),

/q

故xe[-4,-2)时，/U)的最小值为.由xe[-4.-2)时，函数

尸1<1

—f'+亍W[/(工)]…-彳，解得WfS3.故选Bo

易错点22对数式的变形不等价

[例4]关于X的方程k>g,——2-1尸=0的根的个数为,

【解析】由k>K，--2(|.r-I尸=()可得1<以，”=(用-1)-',令/(J)=bg21H,

</(z)=(|z-1)-,易知这两个函数均为偶函数，故只求r>0时根的个数即可.当r>U时，

如图所示，由数形结合知，两函数图像交点有2个，即此时bg,.r=2(8-1尸=()有两个根;

同理，当r<()时，也有两根.综上，满足条件的根的个数为4.

【评注】本题对—2(3-I)=。进行变形，容易得出log,/=(3-1A的错一论，这

是对含对数的式子进行变形时不等价而产生的错误，在做题时要特别关注变形的等价性.

【变形4】关于X的不等式bg.一>1(0<«<1)的解集为.

【答案】(-v^o)u(o.4)

易错点23忽视函数变化速度的“相对性”

【例5】函数j/=在二的图象大致是()

.)—1

【解析】函数：/=不£的定义域为G七用，手0：排除A；当/<()”,：,3—1<。55>。，

排除选项B；当，>()时，y>()，由于当，足够大时，3的变化速率比“,快，可知时,

«/—>0.<Z-C,

【评注】高考中的函数图象问题多用排除法，掌握各基本初等函数变化速率的"相对性"对正

确解题很关键.若不能正确理解本题中当X足够大时，函数;；呈“爆炸性”增长的趋势，则

极易错误选择D.

【变式5】函数，'(，)=/-2在lG/?上零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

易错点24忽视指数函数的“渐近线"

【例6】若关于X的方程3—11=，有两个解，贝犊数；的取值范围为（）

A.O<A：<1B.t>0C.it3：0D.A.>1

【解析】函数尸|:「一1的图象是由函数）=3的图象向下平移T单位长度后，再把位于x

轴下方的图象沿X轴翻折到X轴上方得到的，如下图所示，当时D<上<1时，直线，/=i与函

数，/=|3-1的图象有两个不同的交点，即关于x的方程有两个解.故选A.

【评注】本题中“X轴是函数/=3,的图象的渐近线"容易掌握，但对其部分图象进行翻折变

换后直线y=I是函数,.，=|：「一1图象一部分的渐近线很容易被忽略，故本题容易错误选择B.

【变式6］若曲线“I=2,+〕与电ty=b没有公共点，则；，的取值范围是.

[^][-1.1]

易错点25混淆”分段函数的分类标准"导致作错函数图象

【例7】已知函数/)={7：2：则函数/(—，的图"()

由函数可得

26+2/2一

Jl+2.r+l.1+2iN(),

/(I+2T)=

1-(14~2T).1+2xV0,1

-2T-1tx<-

【评注】本题中最常见的错误是混淆分段因数的分类标准，将函数f(1+2］，错误地写成

Jl+2./+1../&0./2H+2,T2(I./区「公=*一

八I+-/,)-,V.-/(-T)=./从而错法选择Co在日考中

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