高三数学高考数学复习提升之数学考点讲解与真题分析（平面的基本性质与推论以及立体几何的综合问题）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

01平面的基本性质与推论

一.重难点解读

1.判定空间两条直线是异面直线的方法:平面外一点/与平面内一点8的连线和平面内

不经过该点8的直线是异面直线.

2.平面的基本性质的应用：性质1用符号语言表示：Ael,B&l,Aea,Bea^l<za.这

条性质是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是，平面。基本性质2用

A,B,C不共线'

符号语言表示：A,B,Cea,na与尸重合.有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”

A,B,Ce/3

说明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，顶多只有一个，但不保证

符合条件的图形存在，“有且只有一个''既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.性

质3符号语言：Pea,且PWB=a分=/，且Pe/..揭示了两个平面相交的主要特征，是判

定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.今后所说的两个平面（或两条直线）,

如无特殊说明，均指不同的平面（直线）.，性质3的应用：确定两相交平面的交线位置；判定

点在直线上.

3.集合中、、£”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，、'u'和、、n"的符号只能用于

直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用

几何语言。

二.注意点剖析

1.三个公理的作用：平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定

直线是否在平面内的依据；③也可用于验证一个面是否是平面。平面的基本性质2.证明

两平面重合；平面的基本性质3的作用有五个：①判定两个平面相交；②证明点在直线

上；.③证明三点共线；④证明三线共点，；⑤画两个相交平面的交线.一

2.注意事项（1）应用性质2时，要注意条件''三个不共线的点”.事实上，共线的三点是

不能确定一个平面的.（2）在立体几何中，符号与、'u"的用法与读法不要混淆.（3）解

决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.（4）在平面几何

中，往往把辅助线画成虚线，而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线都要画成虚

线，凡是没被遮住的线都要画成实线，无论是图中固有的线还是后作的辅助线。

三、典例剖析

1.公理1的应用

公理1是证明直线在平面内的依据，证明时只需证明直线上有两个点在平面内。

例1、如图，▲ABC中，若AB,BC在平面a内，判断AC是否在平面a内？为什

么？

解：由AB、BC在平面a内，得wa，根据公理1,得AC在平面a内。

2.公理2的应用

证明共面问题。证明时一般有两种途径:一是先证其中部分元素可以确定一个平面，

再证其余元素在这个平面内；二是先证这些元素分别确定若干个平面，再利用唯一性证

明这些平面重合。

例2、已知四条直线a,b,c,d两两相交且不共点,

求证：a,b,c,d四线共面。

证明：(1)无三线共点情况，由于a,c,c,d两两相交，知a,b可确定一平面a,

设

c与a,b分别交于A,B两点，因为aua,Oua,Aea,Beb，则Awa,Cea,

所以cue,同理可证dua，所以a,b,c,d四线共面。

(2)三线共点情况，设a,b,c三线相交于点H,d与a,b,c分别交于E,F,

G三点，因为a,c,c,d两两相交且不共点，所以“£",所以点H与直线d可确定

一平面夕，

由Ewd，得Ee尸,又由H€B<E€0得au0,同理可证bu力,cu/3,所以

a,b,c,c四线共面。

3.公理3的应用

1、作两个平面的交线，解题时只要找出两个平面的两个公共点，再连结这两个点

即可。

2、证明多点共线，可先证明这些点是两个平面的公共点，再利用两个平面交线的

唯_

性说明这些公共点共线。

例3、已知M、N、P、Q分别是正方体A5CD—A5CQ中棱AB、BC、C,DPC,C

的中点，证明：M、N、P、Q四点共面。

解：如图，连结MN并延长交DC延长线于0,

贝必MBN=\OCN,所以CO=MB,连结PQ并延长交DC延长线于01,则

"GQ三AOCQ，所以CO\=PG,又因为CO=CO,,所以0与a重合，所以PQ、

MN相交于一点，

所以M、N、P、Q四点共面。.…“

四、达标测试题

1.若三个平面两两相交，旦三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）

A.5部分rB.6部分

C.7部分D.8部分

2已知直线/,若直线6同时满足以下三个条件：m与/是异面直线；m与/的夹角为

定值］；m与/的距离为n.那么，这样的直线m的条数为（）

A.0B.2

C.4D.无穷多个

3已知a、b、c、”是四条直线，如果a_Lc,aJ-d,bX.c,bLd,则结论“a〃6"与"c〃》中成

立的情况是（）….

A.一定同时成立B.至多一个成立

C.至少一个,成立D.可能同时不成立

4正四棱柱中,AA=2AB,则异面直线4B与所成角的余弦值为（）

A-5B5

C1D4

5如图，aC\p=l,A、BGa,C",Cg/,直线ABC/=M,过A、B、C三点的平面记作y,

则y与4的交线必通过（)

A.点A

C.点C但不过点MD.点C和点M

6在正方体AISGG中，面对角线与A"成60。的角的有（）

A.10条B.8条

C.6条D.4条

7已知a、b为不垂直的异面直线,a是一个平面，则a、b在a上的射影可能是①两条平行

直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点“则在上面的结

论中，正确结论的编号是①②④（写出所,有正确结论的编号）.

8平面服£相交，在a、£内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定

个平面.

9如图所示，在三棱锥C-ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4,EF

±AB,则EF与CD所成的角是

10如图所示，正方体A8CO-A山中，给出下列五个命题:

B

①直线AG在平面CCBB内；

②设正方形ABC。与AiBiCQi的中心分别为0、0”则平面A4GC与平面88QQ的交

线为。01；

③由点A、0、C可以确定一个平面；

④由A、G、确定的平面是AOC向；

⑤若直线/是平面AC内的直线，直线机是平面。C内的直线；若/与m相交，则交点一定

在直线C。上.

其中真命题的序号是.

11设如图所示，空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE：

EB=CF:FB=2：l,CG：GD=3：1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.

(1)求AH：HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点.

12.如图所示，已知正三棱柱ABC-的底面边长为1,若点M在侧棱BBi上，且AM

与侧面BCCXB\所成的角为«.

TT7T

⑴若a满足条件：江仁，小，求的取值范围；

(2)若a城，求AM与BC所成的角的余弦值.

c,

13.四棱锥P—ABC。的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱锥(如图)，使得截面四

边形是平行四边形，则这样的平面a()

A.不存在.B.只有1个

C.恰有4个D.有无数多个

14已知两异面直线〃、6所成角为全直线/分别与〃、〃所成的角都是仇则。的取值范围

是

b'

0

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

01平面的基本性质与推论

一.重难点解读

1.判定空间两条直线是异面直线的方法:平面外一点/与平面内一点8的连线和平面内

不经过该点8的直线是异面直线.

2.平面的基本性质的应用：性质1用符号语言表示：这

条性质是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。基本性质2用符

A,B,C不共线,

号语言表示：A,B,Cea与£重合.有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说

明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，,顶多只有一个，但不保证符

合条件的图形存在，“有且只有一个“既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.性质

3符号语言：PGa,且PGp=a尸=/,且Pe/..揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两

平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.今后所说的两个平面（或两条直线），如无

特殊说明，均指不同的平面（直线）.，性质3的应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在

直线上.

3.集合中七”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，'、u'和、、n"的符号只能用于

直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用

几何语言。

二.注意点剖析

1.三个公理的作用：平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定

直线是否在平面内的依据；③也可用于验证一个面是否是平面。平面的基本性质2.证明

两平面重合；平面的基本性质3的作用有五个：①判定两个平面相交；②证明点在直线

上；③证明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线.

2.注意事项(1)应用性质2时，要注意条件''三个不共线的点”.事实上，共线的三点是

不能确定一个平面的.(2)在立体几何中，符号与、'u"的用法与读法不要混淆.(3)

解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.(4)在平面几

何中，往往把辅助线画成虚线，而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线都要画成

虚线，凡是没被遮住的线都要画成实线，无论是图中固有的线还是后作的辅助线。

三,典例剖析

1.公理1的应用

公理1是证明直线在平面内的依据，证明时只需证明直线上有两个点在平面内。

例1、如图，▲ABC中，若AB,BC在平面a内，判断AC是否在平面a内？为什

么？

解：由AB、BC在平面a内，得,根据公理1,得AC在平面a内。

2.公理2的应用

证明共面问题。证明时一般有两种途径:一是先证其中部分元素可以确定一个平面，

再证其余元素在这个平面内；二是先证这些元素分别确定若干个平面，再利用唯一性证

明这些平面重合。

例2、已知四条直线a,b,c,d两两相交且不共点,

求证：a,b,c,d四线共面。

证明：(1)无三线共点情况，由于a,c,c,d两两相交，知a,b可确定一平面a,

设

c与a,b分别交于A,B两点，因为aua,bua,Aea,Beb，贝!|AcdCea,

所以cue,同理可证dua，所以a,b,c,d四线共面。

(2)三线共点情况，设a,b,c三线相交于点H,d与a,b,c分别交于E,F,

G三点，因为a,c,c,d两两相交且不共点，所以“任"，所以点H与直线d可确定

一平面夕，

由fed，得Ew。,又由Hep,Ee0得au0,同理可证。u(3,cu。，所以

a,b,c,c四线共面。

3.公理3的应用

1、作两个平面的交线，解题时只要找出两个平面的两个公共点，再连结这两个点

即可。

2、证明多点共线，可先证明这些点是两个平面的公共点，再利用两个平面交线的

唯_

性说明这些公共点共线。

例3、已知M、N、P、Q分别是正方体ABCD-ABCQ中棱AB、BC、CR、C,C

的中点，证明：M、N、P、Q四点共面。

解：如图，连结MN并延长交DC延长线于0,

贝必MBN=\OCN,所以CO=MB,连结PQ并延长交DC延长线于0},则

APC,Q三AO.Ce，所以CO、=Pg,又因为CO=CO-所以。与0,重合，所以PQ、

MN相交于一点，

所以M、N、P、Q四点共面。

四、达标测试题

1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

LC解析:如图所示，三个平面a、8、：两两相交，交线分另提a、b、c且a〃b，c.则a、d7把空间分成7

部分.

2已知直线/,若直线。同时满足以下三个条件：m与/是异面直线；m与/的夹角为定

值T；m与/的距离为n.那么，这样的直线刀的条数为（）..

A.0B.2

C.4D.无穷多个

2.D解析：作一个与/平行且距离为n的平面a,在a内作一条直线瓶与/的夹角为争则a

上与〃?平行的直线均同时满足三个条件.故选D.

【失分点分析】本题借助于异面直线的夹角、距离等概念考查空间想象能力.在空间中“

当两条异面直线确定之后，它们之间的夹角与距离也就唯一确定了，此题目实质上是该结论

的反面..…

3已知〃、b、c、d是四条直线，如果〃_Lc,a_LdfZ?_Lc,b工d,则结论与"c〃/，中成

立的情况是（）

A.一定同时成立B.至多一个成立

C.至少一个成立JD.可能同时不成立

3.C解析：若c与d相交或异面，则。〃江若。〃"，则。与》可能平行、相交或异面，故。

〃人与c〃d中至少有一个成立.学％

4正四棱柱ABC。一中,A4|=2A8,则异面直线A归与AS所成角的余弦值为（）

ID解析：连结DC、.4C,易证出5〃DC,,

.../■4D1C即为异回且致出5与ZEh所成的角.设.45=1,则乩4i=2,ADi=D】C=#，/C=亚,

1.异面直线小3与AD1所成角的余弦值为之

5如图，an£=/,A、BRa,C",C«/,直线A8n/=M,过4、B、C三点的平面记作y,

则了与£的交线必通过（）

A.点AB.点B

C.点C但不过点例D.点C和点M

5.D解析：通过A、B、C三点的平面y,即是通过直线AB与点C的平面，

而Ce7,又,：MW，和4的交线必通过点c和点M.

6在正方体ABC。-AiSGDi中，面对角线与A3成60。的角的有（）

A.10条B.8条

C.6条D.4条

6.B解析：由△ABQi和△AC。1是等边三角形，则A81、BQi.、AC、C2分别与A。成

60。的角，而DCX//AB\,AC//A\C{,CD\//A\B,从而BD、DC1、A|G、A|B边

与A。成60。的角,选B.

7已知a、b为不垂直的异面直线,a是一个平面，则a、b在a上的射影可能是①两条平行

直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结

论中，正确结论的编号是①②④（写出所有正确结论的编号）.

7.①②④解析：①、②、④对应的情况如下：

用反证法证明③不可能.

8平面a、£相交，在a、尸内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定

个平面.

8：1或4

解析：分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面，如果这四点不共面，则任意三点可确定一个

平面，可确定四个.

9如图所示，在三棱锥C-ABD中，E、F分别是AC和8。的中点，若CQ=2AB=4,EF

1AB,则EF与CD所成的角是.

9：30°

解析：取CB的中点G,连结EG、FG,

:*EG//AB,FG//CD,

EF与CD所成的角为NE尸G.

51.'：EFLAB,J.EFVEG.

在RSEFG中，EG=148=1,FG=^CD=2,

sinZEFG=1,AZ£FG=30°,

；.EF与CD所成的角为30。.*网

【规律总结】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用

图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.计算

异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

10如图所示，正方体ABCC-AJBICQI中，给出下列五个命题：

①直线ACt在平面CGBiB内；

②设正方形A8CD与ABiGA的中心分别为。、。1，则平面A4GC与平面B8NQ的交线

为001；

③由点A、。、C可以确定一个平面；

④由A、G、8确定的平面是AOCIi；

⑤若直线/是平面AC内的直线，直线机是平面OC内的直线；若/与〃?相交，则交点一定

在直线CD上.

其中真命题的序号是.

10.②@5）；解析：①错误.若NC1U平面CC1&3,2BCt平面CC出3,平面CCB3,与A8评:

面CCiBiB矛盾；

②正确.。、5定两平面的两个公共点；

⑧错误.筋4。、C共缭*

④正确./、Ci、Bi不共线，.•.确定平面a,又为平行四边形，WC】、相交于5点，而S€a,|

31£a,

^.BiOica,而DWB1Q2,，。毛幻.J

⑤正确.若/与〃?相交，则交点是两平面的公共点，而直线C。为两平面的交线，所以交点

一定在直线CD上.

11设如图所示，空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE：EB=CF:

FB=2：1,CG：GD=3：1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.

(1)求AH：HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点.

"4E°CF

11解析：(D解V—=—=2.-.EF//AC.

EBFB

.'.EF〃平面ACD.fTnEFU平面EFGH,

且平面EFGH：平面ACD=GH,

.\EF/GH而EF//A(

.,.AC//GH.

JTT

------=------=3.即AH:HD=3:1.

,HDGD

EF1GH1

(2)证明；EF〃GH,且」=—,——=-,

AC3AC4

EF#GH，二四边形EFGH为梯形.

令EHC1FG=P,则PGEH,而EHu平面ABD,

PGFGFGu平面BCD,平面ABDC平面BCD=BD,

•,.PeBD.AEH,FG、BD三线共点.学％

［知识拓展］证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两

平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.

12.如图所示，已知正三棱柱ABC—ABiG的底面边长为1,若点M在侧棱上，且AM

与侧面BCGBi所成的角为a.

⑴若a满足条件：aG序TT卦7T求的取值范围;

(2)若a为会求AM与BC所成的角的余弦值”

12解析：⑴设3c的中点为D,连结.4D.W,在主UBC中，易失［MD1BC,

又侧面3CG31与底面43c互相垂直，侧面BCCB,即/4WD为4W与侧面BCCB所成的角,

/AXID—a

，在RIA4DM中

cos4MD=H0设瓦"=x,依题意，

2gqi+x2,

",C0Sa=2^B，由已知各令

即生小芈,

所以cos^<cosa<cos1,€0

./'l+4x,道-l+4x),

'•"--l+x-53-

,,22

-2A/?77-

解得芈/S.

和的取值范围是［半，s］

(2)若&=煮，即x=加时，即BM=啦,

作MM/BC交CG于M，连结AM,

所以AM与MM.所成的不大于90。的正角即为异面直线AM与BC所成的角,

222

*»AM+MMi-AM]1小

1

在AAMMi中，cosZAMM,-2AM-MM,=丽=6

所以此时AM与BC所成的角的余弦值是坐.

13.四棱锥P—ABC。的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱锥(如图)，使得截面四

边形是平行四边形,则这样的平面a()

A.不存在B.只有1个

C.恰有4个D.有无数多个

13.D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为孙«,直线叭”确定了一个平面£作与£平行的平

面a,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形.而这样的平面a有无数多个.

14已知两异面直线a、b所成角为全直线I分别与a、b所成的角都是。，则9的取值范围

解析：作空间任一点0,过。作a,匕平行线，，b',将/平移过。点，."在过"，〃角平

分线且垂直a',〃所成平面的平面内,

••冬俱.&网

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(五)

02空间平行问题的证明方法

线、面平行关系是一种特殊的空间位置关系，是高考考查重点，为使同学们能熟练掌

握证明平行的判断与性质，下面从证明平行的方法和引入例题进行剖析。

-.证明平行的方法技巧：

知识点一：1、线线平行的四种证明方法：

(1)线线平行的定义：证明线线共面且无公共点；

(2)基本性质4:证明两线同时平行于第三条直线。

(3)线面平行的性质定理：/〃d///民。口/=加=>/〃机把证线线平行转化为证线

面平行，这是最基本也是最重要的方法。

(4)平行平面的性质定理：ailP，yCa=a,yCB=b=aHb.

知识点二：判断直线与平面平行的三种方法

(1)利用定义：证明直线与平面没有公共点，这一点直接证明是比较困难的，往往借

助于反证法来证明。(2)直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直

线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。模式：

lqa,mua,lHmnlH&使用定理时,一定要说明''平面外的一条直线和平面内的一

条直线平行"，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完备。因此要证明/〃&,

则必须在平面a内找一条直线m,使得"/m,从而才能达到证明的目的。

(3)面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另

一个平面。推理模式：aH/3,aua=a//0.

知识点三：判断面面平行的三种方法(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，往往

采用反证法。

(2)根据判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这

两个平面互相平行。推理模式：au0,bu0,anb=P,a/ia=0Ha.；(3)

平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的

两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推理模式：

aCb=P,aua,bua,P',a'u/3,b'c.尸,a〃〃,>〃〃=>a〃/?.还可以用''垂直

于同一条直线的两个平面平行”作为依据证明面面平行。

二注意点剖析：一

1.证明平行问题，一般地说，就是要证线线平行。事实上，线面平行、面面平行都可

转化为证线线平行。如果已知线面平行、面面平行也可用来证线线平行，要注意掌握它

们之间的转化关系。

2.线线平行，线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，

在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位

置关系一定能推导低一级位置关系，下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如

下：

面面平行的性质

性质4线面平行的判定面面平行的判定

占线线平行

平面几何性质|线面平行|、、面面平行

线面平行的性质面面平行的性质~I：—

面面平行的判定+线面平行的判定

在完成证明题时，总是由已知想性质，由求证想判定。

3两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行

的问题，即''线面平行，则面面平行”，必须注意这里的''线面"是指一个平面内的两条相

交直线和另一个平面。

4.辅助线、面是解决有关线面问题的关键，要充分发挥辅助线、面在化空间问题为平面

问题中的转化作用。转化思想在立体几何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体

几何问题转化为平面问题来解决。

三.典例印证

例1（2018春•东湖区期中）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形，/BAD=60。,

Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMWPC,PAII平面MQB，则实数t的值为（）

A.LB.kC.LD.L

5432

【分析】连AC交BQ于N,交BD于0,说明PAII平面MQB,利用PAIIMN，根据三角

形相似，即可得到结论.

解：连AC交BQ于N,交BD于O,连接MN,如图

则。为BD的中点，又•「BQ为aABD边AD上中线,/.N为正三角形ABD的中心，令菱

形ABCD的边长为a,贝！JAN=虫a,AC=石a.

3

,「PAII平面MQB,PAu平面PAC,平面PACC平面MQB=MN

.'.PAIIMN,.'.PM：PC=AN:AC,即PM=-PC,t=-.故选：C.

33

【点评】本题考查了线面平行的性质定理的运用，关键是将线面平行转化为线线平行，

利用平行线分线段成比例解答，考查运算求解能力。考查空间想象能力。

例2（2018•东莞市二模）如图，平面CDEFL平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形

CDEF为直角梯形,zADC=120r0,CF±CD,且CFllDE,AD=2DC=DE=2CF.

（I）求证：BFII平面ADE；

（n）若AD=2,求该几何体的各个面的面积的平方和.

【分析】（I）取DE的中点H,连接AH,HF,通过证明四边形ABFH为平行四边形得

出BFIIAH,故而结论得证；（II）利用勾股定理计算各棱长，得出各侧面的面积.

证明：（I）取DE的中点H,连接AH,HF.•.四边形CDEF为直角梯形，DE=2CF,

H是DE的中点，，HF=DC,且HF"DC.•四边形ABCD是平行四边形，」.ABuDC,且

ABIIDC,.-.AB=HF，且ABIIHF四边形ABFH是平行四边形,

.'.BFIIAH,又"曲平面ADE,BFC平面ADE,，BFll平面ADE.

（H）..在平行四边形ABCD中，AD=2,CD=1,zADC=120°,

ABCD=2X；X2X1X

••・S四边形曰=73,SAADE^-X2X2=2,SABCF^|-X2X1=1.»

连结BD,

贝！IDE±BD,且DE=2,BD=K,,，BE=5,又AE=2&,AB=1,.-.AE2=AB2+BE2,即

x一

zEBA=90°,SAABEX1V7=^y-•

又EF=A/2，BF=A/5,.-.BF2+EF2=BE2,即NEFB=90。，

灰在邛.梯形

••SABEF4XXSCDEF（DE+CF）XCD4X3X1=1.

.•.该几何体的各个面的面积的平方和为

222222=

（v3）+2+i+（f）+4）+（^f-

【点评】本题考查了线面平行的判定，判定直线与平面平行的主要依据是直线与平面平

行的判定定理，即''线线平行，则线面平行”，其关键是在平面内找到一条与平面外的直

线平行。通常的做法是：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行。…

例3（2018•四川模拟）如图,在长方体ABCD-AfiCQi中,AB=1,AD=2,E,F分

别为AD,AAi的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=AQC（入＞0）.当入=1时，求证：

平面BEFII平面AiDQ；

【分析】A=1时，推导出四边形BEDQ是平行四边形，从而BEIIQD,进而BEII平面

AiDQ.再推导出EFII平面AiDQ.由此能证明平面BEFII平面AiDQ.

解：（1）入=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，所以ED=BQ,EDIIBQ,则四

边形BEDQ是平行四边形，所以BEIIQD.又BEU平面AQQ,DQu平面AQQ,所以

BEII平面AiDQ.又F是A3中点，所以EFIIAQ，因为BFC平面AQQ,AQu平面AQQ,

所以EFII平面AjDQ.因为BEnEF=E,EFu平面BEF,BEu平面BEF,所以平面BEFII

平面AiDQ.

【点评】本题考查面面平行的证明，考查空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结

合思想，证明面面平行转化为线面平行即可解决问题。

例4（2018•保定期中）P为"BC所在平面外一点，平面a||平面ABC,a分别交线段

PA、PB、PC于Ai、Bi、Ci,若PAi:AiA=2：3,贝（j:S1sAec~°-

【分析】作出图形，由面面平行得到△AIBIQSAABC,再由相似三角形得到面积比为相

似比的平方，即可得到面积比.

解：由图知，・•・平面aII平面ABC,，ABII平面a,又由平面an平面PAB=AE，则AE

IIAB,,.PAi：AiA=2：3,即PAi：PA=2：5,「.AB：AB=2：5

同理得到BQ：BC=2:5,A1C1:AC=2:5,由于相似三角形得到面积比为相似比的平

方，所以％用6:（|）2=2，故答案为言

【点评】本题通过面面平行证明线面平行到线线平面的转化，利用相似于三角形的面积

之比等于边长的平方之比来求解.

四、达标测试题

1.（2018•桃城区校级模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-AiBiG,M,N分

别为线段AiB,BiC上的动点，且MNII平面ACCA,则这样的MN有（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

2（2018•青州市三模）如图,在正方体ABCD-ABQD1中，M,N分别是BQ,CDt

的中点，则下列说法错误的是（）

A.MN±CCiB.MN,平面ACCA

C.MNIIABD.MNII平面ABCD

3.（2018•攀枝花三模）已知m、n为异面直线，m_L平面a,n_L平面B.直线I满足

l±m,l±n,lea,letp，则（）

A.。邛，且Illa,I邛B.a±p，且Illa,1邛

C.a与0相交，且交线垂直于ID.a与B相交，且交线平行于I

4（2018•德阳模拟）以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将4ABD

与aACD折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD」平面ACD;②&ABC为

等边三角形；③平面ADC,平面ABC；④点D在平面ABC内的射影为AABC的外接圆

圆心.其中正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

5.（2018•聊城二模）如图，矩开乡ABCD中,AB=2AD,E边AB的中点，将MDE沿直

线DE翻折成^AiDE（A母平面ABCD），若M为线段ArC的中点,则在aADE翻折过程

中，下列结论正确的是—.（写出所有正确结论的序号）

°①VA-AJE•'VArBCDE=1•'3•，

②存在某个位置,使DEJLAIC；

③总有BMII平面AiDE；

④线段BM的长为定值.

6（2018春•武清区期中）如图,在四边形ABCD中，ADllBC,AD=AB,zBCD=45°,

ZBAD=9O°,将从BD沿BD折起，使平面ABD_L平面BCD，构成四面体ABCD,在四

面体ABCD的四个面中，与平面ADC垂直的平面为（写出满足条件的所有平面）

7.(2018•黄山一模)如图,在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,zABC=90°,

平面PABJ_平面ABC,D,E分别为AB,AC中点.

(1)求证：DEII平面PBC；

(2)求证：AB±PE.；

(3)求三棱锥P-BEC的体积.

8(2018•铜山区模拟)如图，在直三棱柱ABC-AiBiC中，已知NACB=90。，BC=CCX,

E,F分别为AB,AAi的中点.

(1)求证：直线EFII平面BCM；

(2)求证：EFJ_B£.一

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(五)

02空间平行问题的证明方法

线、面平行关系是一种特殊的空间位置关系，是高考考查重点，，为使同学们能熟练掌

握证明平行的判断与性质，下面从证明.平行的方法和引入例题谴行剖析。

-.证明平行的方法技巧：

知识点一：1、线线平行的四种证明方法：

(1)线线平行的定义：证明线线共面且无公共点；

(2)基本性质4:证明两线同时平行于第三条直线。...

(3)线面平行的性质定理：/〃d///民。口，=加=>/〃机把证线线平行转化为证线

面平行，这是最基本也是最重要的方法。

(4)平行平面的性质定理：ailP，yCa=a,yCB=b=aHb.

知识点二：判断直线与平面平行的三种方法

(1)利用定义：证明直线与平面没有公共点，这一点直接证明是比较困难的，往往借

助于反证法来证明。(2)直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直

线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。模式：

/加uc,/〃加=>/〃&使用定理时，一定要说明】'平面外的一条直线和平面内的一

条直线平行"，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完备。因此要证明/〃《,

则必须在平面a内找一条直线m,使得"/m,从而才能达到证明的目的。

(3)面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另

一个平面。推理模式：aH/3,aua=a//0.

知识点三：判断面面平行的三种方法(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，往往

采用反证法。

(2)根据判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这

两个平面互相平行。推理模式：au0,bu0,anb=P,a/ia=0Ha.；(3)

平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的

两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推理模式：

aC\b=P,aaa,bu为'=P',a'cz0,bu尸,a〃〃,>〃〃=>a〃/?.还可以用''垂直

于同一条直线的两个平面平行”作为依据证明面面平行。

二注意点剖析：

1.证明平行问题，一般地说，就是要证线线平行。事实上，线面平行、面面平行都可

转化为证线线平行。如果已知线面平行、面面平行也可用来证线线.平行,要注意掌握它

们之间的转化关系。

2.线线平行，线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，

在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位

置关系一定能推导低一级位置关系，下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如

下：

面面平行的性质

性质4线面平行的判定面面平行的判定

占线线平行

平面几何性质|线面平行|、、面面平行

线面平行的性质面面平行的性质~I：—

面面平行的判定+线面平行的判定

在完成证明题时，总是由已知想性质，由求证想判定。

3两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行

的问题，即''线面平行，则面面平行”，必须注意这里的''线面"是指一个平面内的两条相

交直线和另一个平面。

4.辅助线、面是解决有关线面问题的关键，要充分发挥辅助线、面在化空间问题为平面

问题中的转化作用。转化思想在立体几何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体

几何问题转化为平面问题来解决。

三.典例印证

例1（2018春•东湖区期中）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形，/BAD=60。,

Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMWPC,PAII平面MQB，则实数t的值为（）

A.LB.LC.LD.L

R439

【分析】连AC交BQ于N,交BD于0,说明PAII平面MQB,利用PAIIMN,根据三角

形相似，即可得到结论.

解：连AC交BQ于N,交BD于O,连接MN,如图

贝（I0为BD的中点，又「BQ为MBD边AD上中线,/.N为正三角形ABD的中心，令菱

形ABCD的边长为a,贝I」AN=^a,AC=ga.

3

「PAII平面MQB,PAu平面PAC,平面PACC平面MQB=MN

.'.PAIIMN,.'.PM：PC=AN:AC,即PM=-PC,t=-.故选：C.一

33

【点评】本题考查了线面平行的性质定理的运用，关键是将线面平行转化为线线平行，

利用平行线分线段成比例解答，考查运算求解能力。考查空间想象能力。

例2（2018•东莞市二模）如图，平面CDEFL平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形

CDEF为直角梯形,zADC=120°,CF±CD,SCFllDE,AD=2DC=DE=2CF.

（I）求证:BFII平面ADE;

（n）若AD=2,求该几何体的各个面的面积的平方和.

【分析】（I）取DE的中点H,连接AH,HF,通过证明四边形ABFH为平行四边形得

出BFIIAH,故而结论得证；（II）利用勾股定理计算各棱长，得出各侧面的面积.

证明：（I）取DE的中点H,连接AH,HF.•.四边形CDEF为直角梯形，DE=2CF,

H是DE的中点，,HF=DC,且HFIIDC.•四边形ABCD是平行四边形，」.ABuDC,且

ABIIDC,.-.AB=HF，且ABIIHF四边形ABFH是平行四边形,

.-.BFIIAH,又.AHu平面ADE,BFC平面ADE,..BFII平面ADE.

（H）..在平行四边形ABCD中，AD=2,CD=1,zADC=120°,

ABCD=2X；X2X1X

，S四边形曰=73,SAADE^-X2X2=2,SABCF^|-X2X1=1.

连结BD,

贝！IDE±BD,且DE=2,BD=K,,，BE=5,又AE=2&,AB=1,.-.AE2=AB2+BE2,即

NEBA=90O".S△.卷XIX正醇

又EF=V2，BF=V5,.-.BF2+EF2=BE2,即NEFB=90。，

灰在邛.梯形

••SABEF4XXSCDEF（DE+CF）XCD4X3X1=1.

.•.该几何体的各个面的面积的平方和为

222222=

（v3）+2+i+（f）+4）+（^f-

【点评】本题考查了线面平行的判定，判定直线与平面平行的主要依据是直线与平面平

行的判定定理，即''线线平行，则线面平行”，其关键是在平面内找到一条与平面外的直

线平行。通常的做法是：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行。

例3（2018•四川模拟）如图,在长方体ABCD-AfiCQi中,AB=1,AD=2,E,F分

别为AD,AAi的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=AQC（入＞0）.当入=1时，求证：

平面BEFII平面AiDQ；

【分析】A=1时，推导出四边形BEDQ是平行四边形，从而BEIIQD,进而BEII平面

AiDQ.再推导出EFII平面AiDQ.由此能证明平面BEF"平面AiDQ.

解：（1）入=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，所以ED=BQ,EDIIBQ,则四

边形BEDQ是平行四边形，所以BEIIQD.又BEU平面AQQ,DQu平面AQQ,所以

BEII平面AiDQ.又F是AiA中点，所以EFllAjD，因为BFC平面AQQADu平面AiDQ,

所以EFII平面AjDQ.因为BEnEF=E,EFu平面BEF,BEu平面BEF,所以平面BEFlI

平面AiDQ.

【点评】本题考查面面平行的证明，考查空间想