2024新高考数学基础知识梳理与课本题目巩固-模块16-计数原理

模块十六：计数原理1、分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1m2种不同的方法⋯,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有:N注:(1)分类加法计数原理的特点:分类加法计数原理又称为分类计数原理或加法原理,其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情,强调每一类中的任何一种方法都可以完成要做的事,因此共有m1+(2)分类的原则:分类计数时,首先要根据问题的特点,确定一个合适的分类标准,然后利用这个分类标准进行分类,分类时要注意两个基本原则:一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类;二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法,只要满足这两个基本原则,就可以确保计数时不重不漏.2、分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要n个步骤,在第1个步骤中有m1m2种不同的方法⋯,在第n个步骤中有mnN=_注:(1)分布乘法计数原理的特点是在所有的各步之中,每一步都要使用一种方法才能完成要做的事情,强调依次完成各个步骤才能完成要做的事情,因此共有m1×(2)分类的原则:(i)明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事。怎样才能完成这件事,弄清要经过哪几步才能完成这件事;(ii)完成这件事需要分成n个步骤,只有每个步骤完成了,才算完成这件事,缺少任何一步,这件事就不可能完成;(iii)根据题意正确分步,要求各步骤之间必须连续(不能缺少步骤),只有按照这n个步骤逐步去做,才能完成这件事,各个步骤既能不重复也不能遗漏.3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析(1)区别与联系区别分类加法计数原理分步加法计数原理(1)针对的是“分类问题”;针对的是“分步问题”;(2)各种方法相互独立;(2)各种步骤之间的方法相互依存;(3)用其中一种方法都可以完成这件事(3)只有各个步骤都完成才算完成这件事联系解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题(2)分类加法计算原理与分步乘法计数原理的合理选择在解决有关计数问题时,应注意合理分类,准确分步,同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.4、排列(1)排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出mm≤n,n,m∈N′个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n(2)排列概念的理解:1)排列的定义中包含两个基本内容,一是取出元素;二是按照一定的顺序排列.2)两个排列相同的条件(1)元素完全相同;(2)元素的排列顺序也相同.3)定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关.(3)排列的判断判断一个问题是不是排列问题的关键:判断是否与顺序有关,与顺序有关且是从n个不同元素中取出mm≤n5、排列数一般地,从n个不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*个元素的所有不同排列的个数,叫从n注:(1)排列数公式的特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n−m+1,共有(2)全排列与阶乘:A(3)Ann(1)组合的定义一般地,从n个不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*(2)对组合概念的理解1)组合的概念中有两个要点:(1)要求n个元素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的特征性质.2)两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,无论元素的顺序如何,都是相同的组合.(3)排列与组合的区别与联系联系:都是从n个不同元素中取出m m区别:排列是把取出的元素按顺序排成一列,它与元素的顺序有关,而组合只要把元素取出来就可以,取出的元素与顺序无关,可以总结为:有序排列,无序组合.7、组合与组合数一般地,从n个不同的元素中,任取m1≤m≤n个元素为一组,叫作从nC8、组合数的性质（能解释其中原理）(1)Cnm(2)Cn0+Cn1(3)mCnm=9、二项式定理一般地,对于任意正整数n,都有aC(*)公式*叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做a+bn的二项展开式,其中各项的系数Cnkk∈{0,1,2,⋯,n}10、二项展开式的规律说明(1)项数:n+1(2)第r+1项的二项式系数是(3)在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等.(4)如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等.(5)通项公式:Tr+1=Cn11、二项式系数的性质对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C增减性当k<n+12最大值当n是偶数时,展开式的中间一项T42+1的二项式系数Cn12最大;当n是奇数时,展开式的中间两项Tn−1各二项式系数的和各二项式的系数和C奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和C(2)杨辉三角一一二项式系数表(阅读课本选择性必修三P39-P41)当n依次取1,2,3,⋯系数:CC10C20⋅C3aaa(i)每一行的二项式系数是对称的,即C(ii)每一行两端都是1,而且从第二行起,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.(iii)从第二项起,每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大;(iv)所有二项式系数和Cn0(1)ax+(1)常数项a(2)所有项的系数和:a(3)奇数项与偶数项系数的差:a13、二项展开中系数最大(小)项的求法:设第k项的系数Ak最大(小),由Ak≥Ak−1Ak≥(1)利用二项式定理解决整除问题,关键是要巧妙构造二项式,其基本做法:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按照二项式定理展开后个各项均能被另一个式子整除即可.(2)用二项式定理处理整除问题时,通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑(或者前面)一两项就可以了.(3)要注意余数的范围,a=c⋅r+b【课本优质习题汇总】人教A版选择性必修三P74.在1,25.由数字1,2人教A版选择性必修三P111.乘积a1+4.用1,5,9,135.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有6个小球,所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球,共有多少种不同的取法?6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在A={(2)在平面直角坐标系内,斜率在集合B={1,3,5,7}内取值,人教A版选择性必修三P1211.在国庆长假期间,要从7人中选若干人在7天假期值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班2天,有多少种可能的安排方法?12.2160有多少个不同的正因数?人教A版选择性必修三P266.(1)空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作多少个平面?(2)空间中有10个点,其中任何4个点不共面,过每4个点为顶点作一个四面体,可以作多少个四面体?人教A版选择性必修三P268.求证:(1)An+1n+19.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10人教A版选择性必修三P2711.一个数阵有m行n列,第一行中的n个数互不相同,其余行都由这n个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同,那么m的值最大可取多少?12.(1)从0,2,4,6(2)由数字0,113.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.(1)如果4人中男生女生各选2人,那么有多少种选法?(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有多少种选法?(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有多少种选法?(第17题)(4)如果4人中必须既有男生又有女生,那么有多少种选法?14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.(1)如果必须有人去,去几个人自行决定,有多少种不同的去法?(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去,有多少种去法?17.如图,现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色,要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色,共有几种不同的着色方法?人教A版选择性必修三P2819.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军."对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列可能有多少种不同情况?人教A版选择性必修三P314.x−1(A)C106(B)−C106(C)5.在x−1x−2x人教A版选择性必修三P341.填空题(1)C(2)C人教A版选择性必修三P357.证明:(1)x−1x2n(2)1+x2n的展开式的中间一项是8.已知1+x9.用二项式定理证明:(1)n+1n−1(2)9910−10.求证:2n−人教A版选择性必修三P37(6)正十二边形的对角线的条数是人教A版选择性必修三P38(1)已知Cn+1n(2)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,不同排法种数是__(4)以正方体的顶点为顶点的三棱雉的个数是人教A版选择性必修三P384.(1)平面内有n条直线,其中没有两条平行,也没有三条交于一点,共有多少个交点?(2)空间有n个平面,其中没有两个互相平行,也没有三个交于一条直线,共有多少条交线?5.(1)求1−2x51+(2)求9x+(3)已知1+xn的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列,求(4)求1+x+x21(5)求x2+x+y56.用二项式定理证明5555+9能被8整除.(提示:7.(1)平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这两组平行线相交,可以构成多少个平行四边形?(2)空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个,第三组有l个,不同两组的平面都相交,且交线不都平行,可以构成多少个平行六面体?8.某种产品的加工需要经过5道工序.(1)如果其中某道工序不能放在最后,那么有多少种加工顺序?(2)如果其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有多少种加工顺序?(3)如果其中某2道工序必须相邻,那么有多少种加工顺序?(4)如果其中某2道工序不能相邻,那么有多少种加工顺序?9.在1+x3+1+10.你能构造一个实际背景,对等式Cnk人教B版选择性必修二P8(3)已知n是一个小于10的正整数,且由集合A=x x∈N(4)如图所示,把硬币有币值的一面称为正面,有花的一(第4题)面称为反面.抛一次硬币,得到正面记为1,得到反面记为0.现抛一枚硬币5次,按照每次的结果,可得到由5个数组成的数组(例如,若第一、二、四次得到的是正面,第三、五次得到的是反面,则结果可记为1,1(5)已知A是一个有限集,且A中的元素个数为n,求A的子集的个数.人教B版选择性必修二P15(3)用0,1(1)没有重复数字的四位数?(2)没有重复数字且被5整除的四位数?(3)比2000大且没有重复数字的自然数?(4)四对夫妇坐成一排照相:(1)每对夫妇都不能被隔开的排法有多少种?(2)每对夫妇都不能被隔开,且同性别的人不能相邻的排法有多少种?将2个男生和4个女生排成一排:(1)男生排在中间的排法有多少种?(2)男生不在头尾的排法有多少种?(3)男生不相邻的排法有多少种?(4)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种?(5)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种?人教B版选择性必修二P23(2)解方程:C18x(4)利用组合数公式证明Cnm(4)甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛,决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩,组织者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军."对乙说:“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况.将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组:(1)要求有3人分到甲组,2人分到乙组,1个人分到丙组,共有多少种不同的分法?(2)要求三个组的人数分别为3,2人教B版选择性必修二P(2)已知从n个不同对象中取出2个对象的排列数等于从n−4个不同对象中取出2个对象的排列数的7倍,求正整数n(5)(1)已知圆上有10个点,过任意3个点都可画一个圆内接三角形,一共可画多少个圆内接三角形?(2)已知空间中有10个点,且任意4个点都不共面,即以任意4个点为顶点都可构造一个四面体,则一共可以构造多少个四面体?(1)(1)平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,不同组的平行线都相交,其中m,n都是大于1的正整数,这些平行线一共构成了多少个平行四边形?(2)空间中有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个,第三组有l个,不同组的平面都互相垂直,其中m将4封不同的信全部投入3个邮筒:(1)不加任何限制,有多少种不同的投法?(2)每个邮筒至少投1封信,有多少种不同的投法?(3)某乒乓球邀请赛,参加的有三个组,第一、第二组各有7个队,第三组有6个队,首先各组进行单循环赛,然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，该乒乓球邀请赛一共需要比赛多少场?人教B版选择性必修二P24(2)在不小于3000且不大于7000的正整数中,有多少个没有重复数字的5的倍数?人教B版选择性必修二P25某班有35名学生，其中正、副班长各1名，现要从该班选派5名学生参加某种活动:(1)如果正、副班长必须在内,共有多少种不同的选派方法?(2)如果正、副班长必须有一人在内,且只能有一人在内,共有多少种不同的选派方法?(3)如果正、副班长都不在内,共有多少种不同的选派方法?(4)如果正、副班长至少有一人在内,共有多少种不同的选派方法?(3)有6个座位连成一排,安排3个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种?(3)有10个人围着一张圆桌坐成一圈,共有多少种不同的坐法?人教B版选择性必修二P(1)求C22(2)求证:Amm(3)如图所示,一个地区分为5个行政区域,现(第3题)给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里,每个袋中至少一本,一共有多少种不同的装法?(3)把分别标有1号、2号、3号、4号的4个不同的小球放入分别标有1号、2号、