数学选择性必修第一册5数学选择性必修第一册22排列数公式

2.2排列数公式

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［教材要点］

要点排列数公式

A™==(，"W〃).

状元随笔(1)排列的定义中包含两个基本内容：一是取出元素，二是按一定顺序排列.

(2)一个排列就是完成一件事情的一种方法，不同的排列就是完成一件事情的不同方法.

(3)两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序相同.

(4)AS1表示一个数，且A,eN*.

(5)AR="!,0!=1.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数.()

(2)若A^=10X9X8><7X6,则〃=10,巾=6.()

(3)〃！=1X2X3X-X(n-l)Xn.()

(4)某班从8名运动员中选取4名参加4X100米接力赛，有A3种不同的参赛方案.()

2.90X91X92X…X100可以表示为()

A.A|Q0B.A|OOC.A|oOD.A|g0

3.若A鼠=10A>则”=()

A.6B.7C.8D.9

4.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有种.

W"卅卅加州卅冏州勿倡/明"伽卅加伽勿川川州州，©国陶扇,|课|堂［解透］皿"冏/卅"川卅州多加川川川川明州"卅"明加制"川,

题型一排列数的计算

例1⑴已知a”+2绘=10,则〃的值为()

A.4B.5C.6D.7

⑵计算：然4

810人

方该何何

排列数的计算方法

(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以

写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个

数，这是排列数公式的逆用.

(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，

这样往往会减少运算量.

跟踪训练1(1)竺9等于()

A.12B.24C.30D.36

(2)媒一6四+5思=.

题型二排列的应用

角度1特殊元素或特殊位置问题

例2六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站右端，也不站左端；

(2)甲、乙站在两端；

(3)甲不站左端，乙不站右端.

状元随笔对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时

有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两

端，再考虑其他的情况.

方法超林

特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：

(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安

排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再

减去不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化如图.

当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先

分类，然后在每一类中再分步解决.

跟踪训练2从6名短跑运动员中选出4人参加4X100m接力赛，甲不能跑第一棒和第

四棒，问共有种参赛方案.()

A.120B.240C.300D.360

角度2相邻问题

例3已知4,B,C,D,E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方

法数.

(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A,8必须相邻；

(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A,8必须相邻，C,D,E也必须相邻；

(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且4,B必须相邻.

状元随笔⑴符合“捆绑法”的要求，可直接利用“捆绑法”解题；(2)由于A,B必须

相邻，C,D,E也必须相邻，可考虑将二者各自视为整体，先对这两个整体进行排列，再对

整体内部进行排列；(3)先把同学和座位“绑到一起"，进行排列，然后把剩余的空位插到中

间.

“捆绑法”主要用于解决元素相邻的问题，解题思路是先整体，后局部.由第(2)题可知，

只要是相邻元素问题，即使是受多个相邻条件限制的排列问题，都可以采用“捆绑法”解题.

方注粗他

解决“相邻”问题用“捆绑法”.将〃个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻

位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：

(1)先将这％个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；

(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有Am种；

(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有A女种；

(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有4仁4%种.

跟踪训练3某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1

天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不

同的安排方案共有()

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

角度3不相邻问题

例4已知A,B,C,D,E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方

法数.

(1)把5名同学排成一排且A,B不相邻；

(2)把5名同学排成一排且A,8都不与C相邻；

(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A,B不相邻.

状元随笔(1)由于要求A,B不相邻，先将无限制条件的C,D,E排列好，然后将不

相邻的A,B插入已经排好的同学之间及两端，也可用间接法进行计算.

(2)先排不受限制的D,E,然后按要求将不相邻的A,C插入已经排好的同学之间或两

端，再按要求把B插入已经排好的同学之间或两端.

(3)可以采用间接法进行计算，即先不考虑限制条件进行排列，然后减去不符合条件的排

列方法数；也可用直接法，先排A,B,C,D,E,再对A,B相邻和不相邻进行分类讨论.

方法拉洞

解决不相邻问题用“插空法”.将〃个不同的元素排成一排，其中&个元素互不相邻

-)1+1),求不同排法的种数，具体求解步骤如下：

(1)将没有不相邻要求的元素共(〃一%)个排成一排，其排列方法有A"工种；

(2)将要求两两不相邻的A个元素插入(〃-k+1)个空隙中，相当于从(〃一hH)个空隙中选

出k个分别分配给两两不相邻的％个元素，其排列方法有A%k+i种；

(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为4仁卜.

跟踪训练46把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()

A.144B.120C.72D.24

角度4定序问题

例5(1)用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一

定，则有个七位数符合条件.

(2)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列，要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,

C”或"C,B,A”(可以不相邻).这样的排列方法有种(用数字作答).

方法切林

解决“定序”问题用“倍缩法”.有("?+〃)个元素排成一列，其中帆个元素之间的先后

顺序确定不变，将这(/"+”)个元素排成一列，有4股郭种不同的排法；然后任取一个排列，

固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A盘种排法，其中只有一个排列

Ain+n

是我们需要的，因此共有雪沪种满足条件的不同排法.

跟踪训练5《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开

场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望

岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前

面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()

A.144种B.288种

C.360种D.720种

易错辨析忽略排列的有序性致错

例68人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有

________种排法.

解析：先排甲、乙，有&种排法，再排丙，有用种排法，其余5人有延种排法,

故不同排法共有A分用-4=5760(#).

答案：5760

【易错警示】

易错原因纠错心得

求解本题时容易出现下列两种错解.

错解一：甲、乙两人在前排，前排还少2人，

从余下5人（不含丙）中选2人排在前排，有4：

种排法;丙在后排,余下的3人有脸种排

法,故不同排法共有岭•用=120（种）.

错解二：甲、乙两人在前排，有A刍种排法，排列问题中，若对元素的位置没有要求，则

再从余下5人（不含丙）中选2人排在前排，有各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把

Ag种排法；其余4人（含丙）在后排，有4：握这一“原则”.

种排法,故不同排法共有的•收・花=

960（种）.导致错解的原因是甲、乙两人在前

排，但甲、乙两人的位置不能确定，需对甲、

乙两人的位置进行排列，同样，丙在后排，

丙的位置也不能确定，丙的位置也需排列.

［课堂十分钟］

1.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（）

A.1种B.3种C.6种D.27种

2.从a,b,c,d,e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛,

则不同的选法有（）

A.16种B.12种C.20种D.1（）种

3.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两

本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

4.把5件不同产品摆成一排.若产品4与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则

不同的摆法有种.

5.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

（1）这些四位数中偶数有多少个？

（2）这些四位数中大于6500的有多少个？

2.2排列数公式

新知初探•课前预习

要点

〃(〃一1)(〃-2)1)

(n-m)!

［基础自测］

1.(1)X(2)X(3)J(4)J

2.解析：由排列数公式可知原式为A笈o.

答案：B

3.解析：因为A：n=10A3所以"23,nSN*,

所以有2”・(2〃-1>(2"-2)=10"・("-1〉(〃-2),即2(2〃-1)=5(〃-2),解得：〃=8.

故选C.

答案：c

4.解析：3名女生先排好，有“梆排法，让3个男生去插空,有％种方法,故共有*■

"=144种.

答案：144

题型探究•课堂解透

例1解析：（1）4几+"照=M?+1）一〃（〃-1）=10,化简得2〃=10,所以〃=5.故选B.

融垢卡:土_4$+湍_9x8x7x6x54-9x8x7x6_（5+l）x9x8x7x6_6_3

畤・A^Q-AIQ10X9X8X7X6X5-10X9X8X7X6（5-1）X10X9X8X7X64020,

者让一4J+幺：—5/g+4g_64力_3

一^io-^io50瑞-10瑞40瑞20'

9!9!

者注二毋端_丁十7_5X9!+9!_6X9!_3

―A^Q-AIQ10!1。！5x10!-10!4X10!20

4!5!

答案：(1)B(2喘

跟踪训练1解析：(1)”答一7X6/德=7X6—6=36.

解析：原式=43一就+鹿=5X4X3X2X1=120.

答案：(1)D(2)120

例2解析：(1)方法一(位置分析法)因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中

任选两人站在左右两端，有Ag种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，

有A：种站法，由分步乘法计数原理知，共有Ag飞々=480种站法.

方法二(元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位

置上，有A；种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有Ag种站法，由分步乘法计

数原理知，共有A/述卷=480种站法.

方法三(间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有A?

种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数

2Al，于是共

有A?-2Ag=480种站法.

(2)方法一(元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A,

种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有A%

种站法，根据分步乘法计数原理，共有A,"々=48种站法.

方法二(位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有A,

种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A%

种站法，根据分步乘法计数原理，共有A4-A：=48种站法.

⑶方法一（间接法）甲在左端的站法有Ag种，乙在右端的站法有Ag

种，而甲在左端且乙在右端的站法有A：种，故共有A昌-2Ag+A1=504种站法.

方法二（直接法）从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有Ag

种站法；第2类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有

种站法，故共有Ag+A，A1•A%=504种站法.

跟踪训练2解析：方法一从人（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：

第1类，甲不参赛，有Ag种参赛方案；

第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，有

Ag种排法，此时有2Ag种参赛方案.

由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A3+2Ag=

240（种）.

方法二从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中

选2人，有Ag种选法；其余两棒从剩余4人中选，有A%种选法.

由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共有AgA/=240（种）.

方法三（间接法）不考虑甲的约束条件，有A%种安排方法，甲跑第一棒或第四棒有2Ag

种安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A2一2Ag=240（种）.故选B.

答案：B

例3解析：（1）第一步，把A,B这2名同学看作一个整体，和C,D,E共四个元素进

行排列，其排列方法有A：

种；第二步，对"捆绑到一起"的A,B这2个元素进行内部排列，即"松绑"，其排列方法有

A泳;

第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有A：=48（种）.

（2）第一步，把A,B这2名同学看作一个整体，把C,D,E这3名同学看成一个整体，

故这两个整体排成一列的方法有A名

种；第二步，对"捆绑到一起”的A,B这2个元素进行内部排列，即"松绑"，其排列方法有

A豺中，

对“捆绑到一起"的C,D,E这3个元素进行内部排列，即“松绑"，其排列方法有Ag种；

第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有AQAg-Ag=24（种）.

（3）第一步，先看成A,B,C,D,E这5名同学带着座位排列，而且满足A,B相邻的

要求，由（1）可知，其排列方法有48种；第二步，把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学

中间（包括两端）插空，且不能插在A,B之间，其排列方法有Ag种；第三步，根据分步乘法

计数原理知，符合题意的排列方法有48-Ag=240（种）.

跟踪训练3解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有A孤后=1

440（种），其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有A刍Ag=

240（种）；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁排在10月7日值班的方案共有AgAg=

240（种）；满足甲、乙两个值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的

方案共有A斜：=48（种）.

因此，满足题意的方案共有1440—2X240+48=1008（种）.故选C.

答案：C

例4解析：（1）方法一第一步，先排不受限制的同学C,D,E,其排列方法有Ag种.第

二步，由于已经排好的C,D,E间（包括两端）形成了4个空，把有限制条件（不相邻）的同学

A,B插到这4个空中，其排列方法有A：种.由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有

Al-Aj=72（种）.

方法二先不考虑4,B不相邻这个限制条件，把5名同学全排列有Ag

种排列方法，其中A,B相邻的排列方法有A,AH中，故满足条件的排列方法有Ag-A'A2=

72（种）.

（2）第一步，先排不受限制的同学。，E,其排列方法有A4种.第二步，由于已经排好的

D,E之间（包括两端）形成了3个空，把有限制条件（不相邻）的同学A,C插到这3个空中，

共有排列方法A专种.第三步，由于已经排好的A,C,D,E之间（包括两端）形成了5个空，

但由于B不能与C相邻，所以把8插入已经排好的4,C,D,E中时只有3种选择，其排列

方法说冬种.由分步乘法计数原理知，符合条件的排列方法有A,A专A^=36（种）.

（3）方法一（间接法）先不考虑A,B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位

中的5个空位上，其排列方法有种；把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且A,

B相邻的排列方法有A如之种，所以满足条件的排列方法有正-尚展=480（种）.

方法二（直接法）先排A,B,C,D,E,再将剩余的空位插到中间.①当A,B不相邻

时，由（1）知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，有6种插

入的方法，由分步乘法计数原理知，其排列方法有6X72=432（种）；②当A,B相邻时，其

排列方法有A3A打中，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，欲使A,B不相邻，其

插入方法只有1种，故其排列方法有A2-A,X1=48（种）.由分类加法计数原理知，共

有432+48=480种排列方法.

跟踪训练4解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人

带椅子插在这四个位置中，共有Ai=24种放法，故选D.

答案：D

例5解析：（1）若1,3,5,7的顺序任意，则排法有A：=24（种），而1,3,5,7的顺

序一定的排法数占总排法数的或，故符合条件的七位数有点A刁=210（个）.

解析：方法一（整体法）5个元素无约束条件的全排列有A1

种排法，由于字母A,B,C的排列顺序为％,B,C"或"C,B,A”,因此，在上述的全排列中恰好符

AS

合"A,B,C"或"C,B,A”的排列方法有*X2=40（种）.

出

方法二（插空法）若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”，将字母。，E插入这时

形成的4个空中，分两类：

第一类，若字母D,E相邻，则有A/A孑种排法；

第二类，若字母D,E不相邻，则有A%种排法，

则不同的排列方法