二次函数学案

第二十六章二次函数

第一课时二次函数

【知识复习】

1、函数定义、一次函数定义：

已知函数y=(1—2k)x+k,

(1)k=时，它是一次函数；

(2)k=时，它是正比例函数。

2、反比例函数定义：

已知函数旷=£"-7是正比例函数，则m=

已知函数y=3x%7是反比例函数，则m=

【新知探究】

1、思考：

(1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少？

(2)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y

平方厘米，试写出y与x的关系式.

(3)某公司的生产利润原来是10万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年

增长的百分数都是x,试写出y与x的函数关系

请观察上面列出的式子，s是不是a的函数？y是不是x的函数。为什么？如果是函数，

请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.

2、定义：

形如的函数叫做二次函数，其中是自变量,mb,c是且匈.

3、巩固：

1)、写出下列二次函数的二次项系数a,一次项系数b,常数项c

⑴y=-2x2a=,b=,c—.

(2)y=-2x2+4xa—,b—,c—.

(3)y--2x2+4x-6a—,b—,c—.

2)、把下列二次函数化成一般式

(1)y=(x+3)2+4(x-1)(2)y=-2(x+3)2+4

【例题分析】

例1、m取哪些值时，函数y=(〃/一〃?)/++Q〃+1)是以X为自变量的二次函数？

若函数y=(m2-m)x2+/nr++1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

(1)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系：

(2)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间

的函数关系.

【课堂检测】

1、下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y-x2=0(2)y=(x+2)(x-2)-(x-l)2

(3)=x2+—(4)y=Vx2+2x-3

x

2、(1)当@=—时，关于x的函数y=(a-2)x1-2是二次函数？

(2)当1<=一时，函数y=(左一1)-2+"+1为二次函数？

3、写出下列二次函数的“，b,c.

(1)y=V3x-x2a=，b=,c=.

(2)y=x2a=,b=，c=.

1

(3)y=-x29+5x-10a=，b=，c=

2

(4)y=-6--x2a=,b=，c=.

3

4、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的

部分做成一个无盖的盒子.

(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；

(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积

5.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的

函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.

第二课时二次函数丫=2*2的图象与性质

【知识复习】

一次函数，反比例函数的图象分别是、o

【问题引入】

二次函数y=/的图象是什么呢？

【新知探究】

1、对于函数y=/,自变量x的取值范围是什么？

2、描点法画函数y=/的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x

取互为相反数的值时，y的值如何？

列表：

x...-3-2—10123...

y=x?____________________________________________________________…

(2)描点；(3)连线.

3、观察函数y=/的图象，你能得出什么结论？

【例题分析】

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

(1)y=2x2(2)y=-2x2

共同点：都以一轴为对称轴，顶点都在.

不同点：y=2/的图象开口向,顶点是抛物线的最—点，在对称轴的一边，曲线自

左向右下降；在对称轴的一边，曲线自左向右上升.

y=-2/的图象开口向_,顶点是抛物线的最—点，在对称轴的左边，曲线自

左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右.

例2、已知函数丫=-|/,不画图象，回答下列各题.

(1)开口方向；(2)对称轴；(3)顶点坐标；

(4)当后0时，y随x的增大而；(5)当x时，y=0；

(6)当x时，函数),的最值是.

例3、二次函数丫=元的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.

(1»=*如图()；(2)>=夫2如图()；(3»=—/如图()；

(4)》=」一如图()；(5)y='/如图()；(6)/=」/如图().

399

例4、已知正方形周长为Cem,面积为Scm2.

(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=lcm2时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S>4cm2.

y

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-101234x

-1

小结：

1、抛物线y=ax2的性质

升11对称有最高或

图象(草图)顶点最值

方向轴最低点

当X=___

时，y有最

a>0

_______值，是

当X=___

时，y有最

a<0

_______值，是

2、抛物线y=x2与y=-X?关于对称，因此,抛物线y=ax?与y=-ax2关于

对称，开口大小.

3、当a>0时，a越大，抛物线的开口越；

当a<0时，|a|越大，抛物线的开口越；

因此，IaI越大，抛物线的开口越,反之，IaI越小，抛物线的开口越.

【课堂检测】

3

1、函数y=,x2的图象开口向,顶点是,对称轴是,当x=

时，有最值是.

2、二次函数y=mx”'-2有最低点，则m=

3、若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是.

4、二次函数y=(m—1)x2的图象开口向下，则m.

5、(08河北)如图所示，直线/过A(4,0)和B(0,4)两点，它与二次函数y=ax2•的图

9

象在第一象限内交于P点，若aAOP的面积为一.

2

(1)求P点的坐标；

(2)求二次函数的解析式；

第三课时二次函数y=ax2+k的图象与性质

【知识复习】

1、若函数y=（，〃-g）x2一+，田是二次函数，则相=.

2、抛物线丫=2r的顶点，坐标为,对称轴是.当x时，y随x增大而减

小；当x_____时，y随x增大而增大；当苫=时，y有最______值是.

3、抛物线y=—右2的开口方向是,它的形状与y=2/的形状,它的顶点坐标

是，对称轴是.

【问题引入】

一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系是怎样的？你能由此推测二次函数y=/

与y=x?+1的图象之间的关系吗？那么y=/与y=/一2的图象之间又有何关系？

2、观察图象得:

开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值

y=x2

y=x2-1

y=x2+l

3、发现：

把抛物线y=x2向平移个单位，就得到抛物线y=x2+l；把抛物线y=x2

向平移个单位，就得到抛物线y=x2-l.抛物线y=x2,y=x2-l与y=x2

+1的形状.

4、小结：函数y+%的图象，可以由函数y=ax2的图象上下平移所得。

【例题分析】

例1、抛物线夕=2/+3的顶点坐标为,对称轴为.当x时，），随x的增

大而减小；当》=时，y有最______值是,它可以由抛物线y=2%2向平

移个单位得到.

例2、一条抛物线是有了二］/的图象平移得到的，且顶点纵坐标是一2,求此抛物线的函数

关系式.

【课堂检测】

1、填表

口

函数顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性

方向

y=—5x2+3

y=7x2—1

2、抛物线y=-1x2-2可由抛物线y=-1x2+3向_

——平移_一__个_单位得

到的.

3、抛物线y=—x2+h的顶点坐标为（0,2）,贝Uh=.

4、抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为.

5、如图，有一抛物线拱桥，当水位线在AB位置时，拱桥离水面2m,水面宽4m,•水面下

第四课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

【问题引入】

函数y=ac2+女的图象，可以由函数y=的图象上下平移所得，那么函数

y=](x—2)2的图象，是否也可以由函数y=平移而得呢？画图试一试，你能从中发

现什么规律吗？

【新知探究】

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=g(x+2)2,y=g(x—2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解：

11

观察：抛物线y=金。+2尸是由抛物线y=~x20向—平移一个单位得到的;

抛物线y=l(x-2)2是由抛物线＞=1尤2向—平移个单位得到的.

思考：如果要得到抛物线y=g(x-4)2,应将抛物线＞=；/作怎样的平移？

例2、不画出图象，你能说明抛物线y=—3/与y=-3(x+2)2之间的关系吗?

小结：y=a(x-h)2(a,h是常数，a/O)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳:

开口方向对称轴顶点坐标

y=a(x-h)2a>0

a<0

【课堂检测】

1、抛物线y=3(x-2)2的开口方向是,顶点坐标为,对称轴是.当x

时，y随x的增大而增大；当》=时，y有最值是,它可以由抛物线y=

3f向______平移______个单位得到.

2、要得到抛物线y=；(x—4)2,可将抛物线>=：/()

A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位

C.向右平移4个单位D.向左平移4个单位

3、顶点为(-5,0),且开口方向、形状与函数旷=一的图象相同的抛物线是()

A.>'=1(x-5)2B.y=-^x2-5C.>=-；(*+5尸D.y=l(%+5)2

4、已知a#),

(1)抛物线y=*2的顶点坐标为,对称轴为.

(2)抛物线>=加+。的顶点坐标为,对称轴为.

(3)抛物线y=a(x—“7)2的顶点坐标为,对称轴为.

5、不画出图象，请你说明抛物线y=5/与y=5(x-4产之间的关系.

6、将抛物线y=向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,

3),求a的值.

第五课时二次函数y=a(x—h)?+k的图象与性质

【知识复习】

函数y=2/的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数y=2/

的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象。

【问题引入】

函数＞=2/的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x—3产+2的图象呢？

【新知探究】

例1、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.＞=；/，y=g(x—1＞，

y=](X—1)2—2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解：列表：

X-3-2-10123

12

y=一%

2

2

y=1(A--1)

2

3)=1(X-1)-2

观察：它们的开口方向都向,对称轴分别为、、,

顶点坐标分别为、、.请同学们完成填空，并观察三个图象

之间的关系.

归纳：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-〃)2+k中的—值；左右平

移，只影响—的值，抛物线的—不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移

前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.

思考：你能说出函数y=a(x—〃)2+k(a、h、k是常数，a/))的图象的开口方向、对称轴

和顶点坐标吗？

小结：

开口方向对称轴顶点坐标

y—a(x—h)2a>0

a<0

例2、y=/+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=Y,求b、

c的值.

【课堂检测】

1、填表:

解析式开口方向顶点坐标对称轴

y=(无一2)2—3

y=-(x+3)2+2

1

y=-/(x+5)29-5

^=—(X-—)2+1

32

y=3(x-2)2

y=­3/+2

2、抛物线y=-g(x+3)2—1有最点，其坐标是.当》=时，y的最

值是;当x______时，y随x增大而增大.

3、将抛物线〉=」一向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为

3

4、一抛物线和抛物线尸=一"的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1,3),则该抛

物线的解析式为()

A.y=-2(x-1产+3B.y=-2(A+1)2+3

C.y=-(2x+1)2+3D.>=一(2%—1产+3

5、把二次函数y=a(x—Zz)2+Z的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二

次函数y=g(x+l)2-l的图象.

(1)试确定。，力，k的值；

(2)指出二次函数y=“(x-/z)2+%的开口方向、对称轴和顶点坐标.

第六课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

【知识复习】

函数y=2/的图象，向_平移_个单位，可以得到函数y=2/+2的图象；函数

y=2/的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，函数y=2/的图象，

如何平移，才能得到函数y=2(x-3)②+2的图象呢？

【问题引入】

对于二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样

的？通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+%的形式吗？

【新知探究】

例1、通过配方，确定抛物线y=-2/+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点

画图.

解：配方

因此，抛物线开口向,对称轴是直线x=,顶点坐标为(，)

由对称性列表:

描点并画图:

提示：列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，

要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用

平滑曲线顺次连结各点.

思考：对于二次函数y=o?+〃x+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？

配方：y=ax1+bx+c=

/2bC.「28/b、2/屋2c]Zb24〃C一。2

Q（XdXH）=QXHX+（）一（）4=Q（XH---）XH---------

aa\_a2a2aa]2a4a

由此可见函数y=4犬+6x+c的图像与函数y=ax?的图像的形状、开口方向均相同，只

是位置不同，可以通过平移得到。

小结：二次函数^=幺2+加;+c的图像特征

（1）二次函数,=必2+必+，5#））的图象是一条抛物线：

（2）对称轴是直线x=-上h>，顶点坐标是为（-jh•，4i7f-b'）

2a2a4a

（3）①当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；

②当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

例2、已知抛物线）=/―3+2）》+9的顶点在坐标轴上，求a的值.

【课堂检测】

1、二次函数y=———2%的对称轴是.

2、二次函数^=2--2%一1的图象的顶点是,当x时，y随x的增大而

减小.

3、抛物线y=ax?-4》一6的顶点横坐标是-2,则。=.

4、二次函数y=2x?+bx+c的顶点坐标是（1,-2）,则b=,c=.

5、已知抛物线了=*2-4%+〃的顶点人在直线丁=-4%—1上，求抛物线的顶点坐标.

第七课时用函数的观点看方程与不等式

【知识复习】

1、求二次函数y=x2+3x—4与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标

2、二次函数y=x?+3x—4的顶点坐标为,对称轴为.

3、一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=.

4、二次函数y=x?+bx过点(1,4),则b=.

5、一元二次方程y=ax?+bx+c(aM),△>()时，一元二次方程有,

△=0时，一元二次方程有,△<()时，一元二次方程.

【问题引入】

给出三个二次函数：(1)y=x?-3x+2；(2)y=x2-x+1；(3)y=x2-2x-\-\.

观察图象：与x轴的交点个数，分别是一个、一个、一个.你知道图象与x轴的

交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数y=ax?+Z?x+c的图象寻找方程a/+bx+c=0(a/0),

不等式ax?+bx+c>0(aN0)或ax?+bx+c<0(a声0)的解？

【新知探究】

例1.已知函数y=f-3x+2的图象，根据图象回答下列问题.

(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程3x+2=0有什么关系？

(3)x取什么值时，函数值y大于0?x取什么值时，函数值y小于0?

例2、如图，由图可得：a0；b.

例3、已知二次函数y=x2+kx+9.

(1)当k为何值时，对称轴为y轴；

(2)当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点;

(3)当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点.

【课堂检测】

1、求抛物线y=2x2—7x—15与x轴交点坐标,与y轴的交点坐标为.

2,抛物线y=4x2—2x+m的顶点在x轴上，则m=.

3、看图填空：a0：b0：c0；A=b2-4ac0

4、看图填空：a+b+c0；a—b+c0；2a_b0

5、已知二次函数＞=/一3尤一4的图象如图，则方程为2-3%-4=0的解是

(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点;

(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

(3)m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

第八课时用待定系数法求二次函数的解析式

【问题引入】

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出

函数关系式.例如：我们在确定一次函数y=H+O(ZrO)的关系式时，通常需要两个独

立的条件：确定反比例函数＞=4(%wO)的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定

X

二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的关系式，又需要几个条件呢？

【新知探究】

例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的

距离为2.4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.

小结：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什

么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a0),给出三点坐标可利用此式来求.

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a^0),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.

(3)交点式：y=a(x-X1)(x-X2)(。。°)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点

(匹,0)、(x2,0)时可利用此式来求.

【课堂检测】

1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5)；

(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1)；

(3)己知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).

2、二次函数图象的对称轴是x=-1,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,10),求此

二次函数的关系式.

3、已知二次函数的图象与一次函数y=4x—8的图象有两个公共点P(2,m)、Q(n,-8),

如果抛物线的对称轴是x=-1,求该二次函数的关系式.

4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m,顶部C离地面

高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度

为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

C

AB

第九课时二次函数的最值

【知识复习】

把二次函数y=ax2+6x+c(存0)配方成y=a(x—力>+后形式为,顶点坐标是

(对称轴是直线.当x=时，y最值=；当a<0时,x

时，y随x增大而减小：x时，y随x增大而增大.

【问题引入】

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最''字的问题，如问题：某商店将每件进价为

80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销

售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约

10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为

二次函数y=-10/+100%+2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取

得最大值？你能解决吗？

【例题分析】

例1.求下列函数的最大值或最小值.

(1)y——2r—3x—5；(2)y———3x+4.

例2、当2SxW5时，求二次函数y一2%-3的最值.

(思考：改成当-2WxW0时？当03W3时？)

通过上面的例子，你是否能够总结一下求二次函数的最值的方法？

小结：

例3、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y

（件）之间关系如下表：

X（元）130150165

y（件）705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多

少元？此时每日销售利润是多少？

（分析：日销售利润=日销售量x每件产品的利润.）

【课堂检测】

1、抛物线丫=2^—3x—5的顶点坐标为.当尸时，y有最______值是.

2、把二次函数y=/-4x+5配方成y=a（x-〃）2+k的形式，得,这个函

数有最—值为.

3、对于二次函数y=x?-2x+/找，当x=时，y有最小值.

4、已知二次函数y=a（x—l）2+8有最小值-1,则a与b之间的大小关系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

5、已知二次函数y=/-6x+，w的最小值为1,求m的值.

6、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满

足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43（0Vx430）.y值越大，表示接受能力越强.

（l）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降

低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

第十课时实际问题与二次函数

【情景引入】

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛

场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你

知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

【新知探究】

例1、如图26.3.1,一位运动员推铅球，铅

球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的

I25

关系是y=—」••？+*%+三,问此运动