高中数学-条件概率教学设计学情分析教材分析课后反思

【条件概率】教学设计

（一）教材分析

本节主要在必修课程概率的基础上，研究通过简单事件求复杂

事件的概率，而主要内容为条件概率、概率的乘法公式和全概率公式。

所以我把本节课划分为2课时。

第1节课：新授课。主要是结合古典概型研究条件概率的定义、概率

乘法公式、相互独立事件与条件概率的关系及其应用（本视频课内容）。

第2节课：新授课。探究条件概率的相关性质并解决例3,同时探究

全概率公式。

（二）教学目标

结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率

与独立性的关系，能计算简单的随机事件的条件概率。

（三）教学重点与难点

重点：条件概率的定义及计算，概率的乘法公式及其应用，条件概率

和独立性的关系。

难点：对条件概率中的“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率

的比较，条件概率和积事件概率的区别和联系。

（四）教学过程设计

一•问题情景

情景L一个袋子中有5个大小相同的小球，其中白球3个，黑球2

个。每次从中摸1个小球

（1）若有放回的抽取2次，求第1次摸到白球，第2次摸到黑球的

概率.

(2)若无放回的抽取2次，求第1次摸到白球，第2次摸到黑球的

概率.

(3)若无放回抽取2次。

已知第1次抽到白球，那么第2次摸

到黑球的概率是多少呢？

【师生活动】

学生：

(1)读题，审题，快速自主完成。

(2)交流展示

第1问：两种不同解法：古典概型计算公式和独立事件同时发生的概

率积公式；

教师：引导学生回顾古典概型特征及计算公

式，相互独立事件同时发生的概率公式

第2问：发现用独立事件同时发生的概率积公式产生冲突，学生产生

探究新知的欲望。

教师：点评引导。

在第(2)问中除了用古典概型求解的方法，我们若要想用公式求解

不独立的两个事件同时发生的概率，则需要认知第3问中的概率模型。

引出学生对条件概率的初步认知。

师生共同完成解题过程：

解：设事件A="第1次摸到白球"，事件B="第2次摸到黑球”

(1)方法1：有放回的抽取2次，

则A6=”第1次摸到白球，靠次摸到黑球’

则样本空间Q包含5X5=25个等可能的样本点，

l3x26

且九(A6)=3x2=6P(AB)=———=

方法2：有放回的抽取2次，

则A6=”第1次摸到白球，第2次摸到黑球’

则样本空间Q包含5x5=25个等可能的样本点，

「3x535x22

且〃(A)=3x5=15,w(B)=5x2=10P(A)=---==----=—

5x555x55

事件A与笈相互独立P(AB)=P(A)P(B)=—

2-5

(2)无放回的抽取2次，

则48=”第1次摸到白球，第2次摸到黑球’

则样本空间Q包含5x4=20个等可能的样本点，

or

且八(AN)=3X2=6「.P(AB)=---=——=——

5x42010

教师：重点解析第(3)问的概率模型，让学生从具体的情景例子中

初步认知条件概率。给出具体做题步骤如下：

⑶无放回的抽取2次，

已知第1次摸到白球求微次摸到黑球的概率

就是“在事件4发生的条件下求事傍发生的概率,

记作：P(3|A),此时以A为样本空间，

那么在新的样本空间中事件5就是积事件45,

且〃(A)=3x4=12,〃(AB)=3x2=6

n(AB)6_1

P⑻A)

"(A)12~2

【设计意图】通过具体特殊古典概型的实例，让学生体会条件概率的

直观概念，使学生初步认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空

间，条件概率P(BIA)本质上是在新的样本空间A中求事件AB的概率

即P(川加=喏。

"(A)

教师：类似于情景1的第(3)问中的这类概率模型在实际生活中很

多，继续给出情景2让学生对于条件概率模型进一步加深认识。

情景2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家

庭。随机选择一个家庭，

(1)该家庭中两小孩都是女孩的概率是多少？

(2)如果已知这个家庭有女孩，那么两小孩都是女孩的概率又是多

大？

【师生活动】

学生：自主完成并展示。

教师：点评总结解题思路

①判断每个问题是否满足古典概型的特征

②用符号表示样本空间并设出相关事件

③列举并计算样本空间和相关事件包含的样本点及个数

④运用古典概型的知识计算P(B)与P(B|A)

教师追问：

【思考1】在情景1的第(3)问和情景2的第(2)问中，事件A的

发生作为条件去求事件B发生的概率，是增大还是缩小了样本空间？

尸(6|A)与P(8)相等吗?

师生活动：教师引导学生思考、交流、总结。

【设计意图】通过情景1与情景2,引导学生发型对于一般的古典概

型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是P(B|A)=32,同

"(A)

时发现P(B)与尸(身A)不一定相等。

二.抽象概念

问题3：结合以上两个问题，你能探索一般的古典概型中P(8|4)与

P(A),P(B),P(AB)之间的关系吗?

【师生活动】借助下图，进行探究

已知事件A发生，则A成为样本空间，此时事件B发生的概率就是积

事件AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即

n(AB)

「(团人)=3=上黑=吆2。于是，

n(A)"(A)p(A)

H(Q)

【生成条件概率的一般定义】

教师板书：

条件概率:

一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称尸(8|A)=g^

为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。

【设计意图】由具体实例抽象概括共同特征并形成数学概念。条件概

率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，体现了

数学概念的一般性。

【思考2】由条件概率的定义，对于任意两个事件A,B,若P(A)〉O,则

如何计算P(AB)呢？

【师生活动】学生思考并回答，教师点评总结并板书：

积事件的概率乘法公式：对任意两个事件A与B,若P(A)>0

P(AB)=P(A)P(B|A).

同时回扣情景1的第(2)问，除了古典概型的计算方法还可以用概

率乘法公式。

【思考3】由情景1和情景2我们知道P(B)与P(B|A)一般不相等，那

么若P(3|A)=P(3)则事件A与B应满足什么关系呢？

【师生活动】学生同位进行简单讨论后进行个人展示。

直观意义：当事件A与B相互独立时，事件A的发生与否不影响事件

B发生的概率，所以P(3|A)=P(8)。

数学本质：事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)且P(A)>0,所以

P(B|A)=£9==尸(⑶反之，若尸(8|4)=尸(3)成立，则

尸(A)尸(A)

曳3=p(8),所以有P(AB)=P(A)P(B)即事件A,B相互独立。

P(A)

教师：点评总结并板书：

当尸(A)>0时，

A3相互独立台P(A3)=P(A)P(B)㈡P(B|A)=P(8)<=>P(A|8)=P(A)

【设计意图】

通过对问题的进一步研究，得到两事件A,B相互独立的充要条件,

有了条件概率的定义，条件概率与独立性的关系，概率乘法公式，就

初步具备了解决较复杂概率问题的能力。

三.典例应用

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1

道题，抽出的题不再放回，求：

(1)已知第1次抽到代数题，则第2次抽到几何题的概率。

(2)第1次抽到的代数题且第2次抽到几何题的概率

【师生活动】

教师：提出审题任务：

①“抽出的题不再放回”的意义是什么？

②第(1)问和第(2)问分别是求什么概率？

③两问分别有哪些求解方法？

学生：思考，写出解题过程并交流展示。

教师：点评总结并板书：

(1)求条件概率尸(例A)

_n(AB)

法1：样本空间缩减法尸(阴④二二丁

在A发生的条件下，缩小样本空间为A,则

求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。

P(B|A)=———-

法2：定义法尸(A)

(2)求积事件概率P(AB)

法1：古典概型计算公式

法2：概率乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

【设计意图】

通过具体例题让学生归纳总结求条件概率的两种一般方法和求

积事件的概率的乘法公式的熟练运用。

例2.已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放

回的各抽一张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

【师生活动】

教师：提出审题任务

①研究中奖概率与抽奖次序是否有关问题的本质是什么？

②乙、丙中奖的意义是什么？

③设出相关事件后应该如何用事件表示乙、丙中奖？

学生：思考，研究，写出解题过程并展示。

教师：点评总结，展示完整解题过程。

解：设事件A:甲中奖；B:乙中奖；C：丙中奖，则事件A,B,C两两互

斥，所以：

B=AB,C=AB

所以,

尸⑷」

---211

P(B)=P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-

——-——211

P(C)=P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-

故P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。

【思考5】本题中如果是放回随机抽样，中奖的概率与次序有关吗？

获奖的情况会有改变吗？

师生活动：教师引导学生得出

结论：在抽奖问题中，无论是放回或不放回，中奖的概率都与抽奖的

次序无关。

【设计意图】通过生活中的实例，让学生会采用数学的知识对问题作

出正确的判断。通过具体实例，让学生区分积事件的概率和条件概率,

并学会利用概率乘法公式进行化繁为简，使得解题思路清晰，运算量

小。

五.课堂小结

(1)什么是条件概率？求解方法有哪些？

(2)如何求解积事件的概率？乘法公式是什么？

(3)条件概率和积事件概率的联系与区别是什么？

(4)条件概率和独立事件的关系怎样？

六.布置作业

作业1：教科书第48页第1、2题

作业2：探究性作业

已知3张奖券中有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放

回的各抽一张，用今天所学的有关概率公式研究中奖与抽奖

的次序有关吗？

【条件概率】学情分析

学生已经学过古典概型及其计算公式，也学过相互独立事件同时

发生的概率计算公式，所以可以比较轻松的解决本节的问题情景中的

第1问和第2问，对于第3问涉及的新的条件概率模型认知有困难,

但是授课学生为高二学生，有着一定的归纳推理能力，分析转化问题

的能力。本节课从特殊的问题情景入手进而推广到一般形式的条件概

率定义，学生还是比较容易接受，也符合学生的认知规律。

但是学生学习的困难在于：如何判断是条件概率？条件概率模型

中的条件是什么事件？看出是条件概率又如何计算呢？如何区分事

件A,B同时发生的概率和在A发生的条件下事件B发生的概率？

所以，本节课的教学重难点：

教学重点：条件概率的定义和计算方法、计算公式

教学难点：条件概率和积事件概率的区别和联系

重难点突破关键:弄清楚“事件A发生”、“事件A发生且事件B发生”、

“已知事件A发生，事件B发生”的区别.

【条件概率】效果分析

1.本节课，教师在培养学生逻辑推理能力方面比较好，学生思考并回

答方法策略，即从特殊的入手，让学生有意识地将特殊的进行归纳,

自觉地应用到一般形式定义的学习与探究中，特别是学生活动，体现

出本节课在能力方面的培养。

2.本节课，教师也比较注重对于学生分析转化解决问题能力的培养，

通过问题情景循序渐进，得出条件概率定义和计算方法，概率乘法公

式，通过例题1的学生展示，教师和学生总结方法和公式，培养学生

用数学知识解决实际问题，并善于总结，学习效果好，课堂学生学习

积极性很高。

3.教会学生思考比教会学生做题更重要，而本节课对学生各方面能力

的培养恰恰就是在教会学生思考方面做足了文章。学生对于日常生活

中随处可见的实例的研究，激起了学生学习的兴趣，整堂课学生们的

学习积极性非常高，对知识理解到位。

【条件概率】教材分析

本节课是新教材选择性必修三的第七章的第一节：条件概率。

条件概率是新课程标准下数学教材中涉及的一个重要知识点，本

节内容承前启后，一方面，可以巩固古典概型的概率计算方法；另一

方面，学生对于不相互独立的事件同时发生的概率也有了计算公式,

特别是为下一节的全概率公式的推导奠定了基础。

教材先是通过两个特殊问题情景引入条件概率的初步定义，进而

推广到一般形式得到任意两个随机事件的条件概率的定义，体现了让

学生从特殊到一般的推理认知的建立。给出条件概率的定义后，教材

又通过思考探究，让学生探究条件概率有相互独立事件的关系，从而

推出任意两个事件的乘法公式。在学习了条件概率的定义和乘法公式

后，课本给出了例题1,通过例题1让学生学会应用条件概率公式和

概率乘法公式，并通过例题1总结条件概率的性质，用性质来进行例

2和例3的简便求解。

我认为本节内容比较多，所以我安排了两课时，本节课主要通过

问题情景从特殊到一般让学生认知条件概率定义，并推导概率乘法公

式，然后讲解例1和例2让学生体会条件概率和乘法公式的应用，关

于例3和条件概率的性质放到第2课时并同时引出全概率公式。

本节内容是下一节的基础，下一节全概率公式是条件概率的概率

乘法公式的推广。

【条件概率】课后反馈练习

一、选择题

1.下列式子成立的是（）

A.P（A\^）=P{B\A）B.0〈尸（创用＜1C.P（岫=P（A）•尸（引4）

D.夕04门夕|4）=2（而

2.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放

回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红

球的概率为（)

3215

A，5B-5C，10D，9

19

3.已知尸孙）二，山）=引则心知等于（）

5921

A.R--0--n__

T6101515

4.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗

骰子的点数之积大于20的概率是（）

1113

B."C."D.~

JN5

5.一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5

个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿

球的概率是（)

5321

A.TQD，

6433

9

6.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为前，下

雨的概率为;1，既吹东风又下雨的概率为2.则在吹东风的条件下下

OU

雨的概率为（)

9828

BCD

A.1T-H-F-9

7.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后

放回，再摸出一个白球的概率是（）

2121

A.~B.~C.~D.~

o455

8.把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情

况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为（）

111

A.1B.-C.-D.-

二、填空题

9.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4,如果甲答

错，由乙答，答对的概率为0.5,则问题由乙答对的概率为.

10.100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，

已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为.

11.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知

这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是

12.从1〜100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是

不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为.

三、解答题

13.把一枚硬币任意掷两次，事件A="第一次出现正面”，事

件夕="第二次出现正面“，求产（冽心.

14.盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从

盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.

15.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3

个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随

机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概

率是多少？

(2)从2号箱取出