2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 第四节 解直角三角形的实际应用 课件

成都8年真题子母题21考点精讲第四章

第四节解直角三角形的实际应用

课标要求成都8年高频点考情及趋势分析命题点解直角三角形的实际应用(8年8考)1.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022版课标将“能用”调整为“运用”)

考情及趋势分析考情分析考查类型年份题号题型分值问题类型模型涉及角度考查设问解一个直角三角形201617解答题8仰俯角问题解一个直角三角形＋矩形32°求高度解两个直角三角形2021188仰俯角问题母子型＋矩形33°和45°求高度2020188仰俯角问题背靠背型22°和45°求高度2019188仰俯角问题母子型＋矩形35°和45°求高度2018188方向角问题母子型70°和37°求距离2017188方向角问题背靠背型60°和45°求距离考情分析考查类型年份题号题型分值问题类型模型涉及角度考查设问实物模型202316解答题8探究“太阳光线照射遮阳篷”实物16°和45°求光线照射到遮阳篷上产生阴影的长2022168探究“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”150°和108°求顶部边缘距离桌面的高度【考情总结】考查特点：1.常考查解两个直角三角形，且以母子型和背靠背型为主；2.问题类型以俯仰角问题居多，近两年连续考查实物模型；3.考查角度以一个特殊角和一个非特殊角居多.锐角三角函数的实际应用锐角三角函数解直角三角形的实际应用特殊角的三角函数值仰角、俯角坡角、坡度(坡比)方向角考点精讲锐角三角函数定义：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则有∠A的正弦：sinA＝

＝______∠A的余弦：cosA＝

＝______∠A的正切：tanA＝

＝______图①特殊角的三角函数值

α三角函数

30°45°60°

sinα________________cosα________________tanα________1锐角三角函数的实际应用1.仰角、俯角：如图②，图中仰角是______，俯角是______2.坡角、坡度(坡比)：如图③，坡角为______，坡度(坡比)i＝tanα＝_____3.方向角：如图④，A点位于O点的__________方向，B点位于O点的__________方向，C点位于O点的____________________方向图②图③图④∠1∠2∠α

北偏东30°南偏东60°北偏西45°(或西北)成都8年真题子母题命题点解直角三角形的实际应用8年8考类型一解一个直角三角形1.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量操场上大树高度的实践活动．如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得大树顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到大树底部C的水平距离AC＝20m．根据测量数据，求大树CD的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)第1题图

解：由题意得BE＝AC＝20m，在Rt△DBE中，∵tan∠DBE＝

，∴DE＝BE·tan∠DBE≈20×0.62＝12.4m.又∵CE＝AB＝1.5m，∴CD＝CE＋DE＝13.9(m).答：大树CD的高度约为13.9m.第1题图类型二解两个直角三角形(8年7考)模型一背靠背型(8年2考)满分技法模型模型分析背靠背型

基础模型

通过在三角形内部作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键模型演变

AD＋CE＋BF＝AB2.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．(结果精确到1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)第2题图第2题图

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.E∵DE⊥AB，AB⊥BC，CD⊥BC，∴四边形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝CD＝61米．在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，∵tan∠BDE＝

，∴DE＝

≈＝152.5米．在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE＝152.5米，∴AB＝AE＋BE＝152.5＋61≈214(米).答：观景台的高AB的值约为214米．模型二母子型(8年3考)满分技法模型模型分析母子型

基础模型通过在三角形外部作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键模型演变

AD＋DC＝FE，BC＋AF＝BE3.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第3题图解：由题可知∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80，在Rt△ACD中，∵cos∠ACD＝

，∴CD＝AC·cos70°≈80×0.34＝27.2海里．在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝

，∴BD＝CD·tan37°≈27.2×0.75＝20.4(海里).答：还需航行的距离BD的长约为20.4海里．第3题图4.越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长.(结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)第4题图第4题图

解：如图，延长BC交MN于点F.F由题意得AD＝BE＝3.5米，AB＝DE＝FN＝1.6米，∠MBF＝33°.在Rt△MFE中，∵∠MEF＝45°，∴MF＝EF.在Rt△MFB中，∵tan∠MBF＝

，∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，∴MF＝

≈6.5米，∴MN＝MF＋FN＝6.5＋1.6≈8(米).答：电池板离地面的高度MN的长约为8米．模型三实物模型(8年2考)5.2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)第5题图

解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°，∴在Rt△AOC中，OA＝2AC＝20cm，∴OA′＝OA＝20cm.∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°，∴在Rt△A′OD中，A′D＝OA′·sin∠A′OD≈20×0.95＝19(cm).答：此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19cm.第5题图6.(2023成都16题8分)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)第6题图解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，第6题图GF则四边形AFCG是矩形．由题可知，∠BAG＝16°，AB＝5米，在Rt△ABG中，GB＝AB·sin∠BAG＝5·sin16°≈5×0.28＝1.