高中数学三维设计浙江专版必修1讲义1．3　函数的基本性质

函数的基本性质

1.3.1单调性与最大(小)值

第一课时函数的单调性

预习课

电电谢Eaf雁区、课前自主学习，基稳才能楼高本P27~

29,思考并完成以下问题

(1)增函数、减函数的概念是什么？

(2汝口何表示函数的单调区间？

(3)函数的单调性和单调区间有什么关系？

1.定义域为/的函数Ax)的增减性

。三/,对任意力］,，2《。

1增函数—(gg)—减函数

&V42时，都有和VZ2时,都有

/(X|)</(X2)——(@)——

函数H6在区间——(@)——函数/G)在区间

。上时增函数D上时减函数

yy

卜

————：/(Xl)；/(X2)

0XIX2XOX\X2x

1点睛1定义中的XI,*2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取XI,X2"中“任意"二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定X1<X2；

(3)属于同一个单调区间.

2.单调性与单调区间

如果函数y=/lx)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数7=式幻在这一区间上具有(严格的)单

调性,区间。叫做v=/U)的单调区间.

1点睛1一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U”连接，而应该用“和”连接.如函

数y=［在(-8,0)和(0,+co)上单调递减，却不能表述为：函数在(一oo,0)U(0,+8)上单调递减.

1.判断(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数在R上是增函数.()

(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性.()

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.()

答案：⑴X(2)X(3)X

2.函数y=/（x）的图象如图所示，其增区间是（）

A.[-4,4]

B.[-4,-3]U[1,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4]

答案：C

3.下列函数火X）中，满足对任意Xl,X2e（0,+~）,当X]<X2时，都有八X1）*X2）的是（）

A.J（x}=x2B.Ax）=]

C..Ax)=|x|D.f(x)=2x+l

答案：B

4.函数Ax）=-*2—2x的单调递增区间是

答案：（-8,—1]

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一函数单调性的判定与证明

[例1]求证：函数八X）=E在（0，+8）上是减函数，在（一8,0）上是增函数.

j11比-X??X2—X1??X2+X1?

[证明]对于任意的XI,必£(-8,0),且X1VX2,有/Ui)-AX2)=3_J=或出=而.

'-"Xl<X2<0,

---X2-Xl>0,Xi+x2<0,xi启>0・

■,•/(XI)—/(X2)<0,即/(©)</(%2)・

二・函数/(x)=g在(一8,0)上是增函数.

对于任意的Xl,X2^(0,+°°),且X1<X2,有

?22一工1??必+工1?

/(©)-AM)=xixi'

■."0<xi<X2j.--X2~~xi>0,X2+xi>0,xfxi>0.

即/UD/X2）・

二函数八x）=1在（0,+8）上是减函数.

利用定义证明函数单调性的4个步骤

02/32

<^>—设为-2是该区间内的任意两个值，且为<42

作差/(方)~/(%2)或f(42)-/(*l)，并通过因式分解、

配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的

方向变形，一般化为积的形式

确定差/(«1)-/(«2)或〃牝)于(如)的符号，当符号不

确定时，可以进行分类讨论

<^>—根据定义得出结论

［活学活用］

1.证明函数八x)=x+1在(0,1)上是减函数.

证明：设Xi,X2是区间(0,1)上的任意两个实数，且X1<X2,则/Ul)一/lX2)=(xi+g—(由+J=(X1一

X2)+d-j

=(X1-X2)-F

XIX2

(,…噂―1旬A=?-X-1—-X-2?-?—-14--X-1X-2?■

,:O<X1<X2<1,

/.XI—X2<O,O<X1X2<1,—l+xiX2<0,

?X1-X2??-1+xi%2?

>0,即｛X|)》X2),

X1X2

.\/(x)=x+:在(0,1)上是减函数.

题型二求函数的单调区间

［例2］画出函数y=-x2+2\x\+l的图象并写出函数的单调区间.

-x2+2x+l,x20,

I解］y=

—x2—2x+l,x<0,

_-?x-l?2+2,x》0,

一［—?X+1?2+2,X<0.

函数的大致图象如图所示，单调增区间为(一8,-1］,［0,1］,单调减区间为(一1,0),(1,4-00).

求函数单调区间的2种方法

法一：定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.

法二：图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.

［活学活用］

2.如图所示为函数xC［—4,7］的图象，则函数人*)的单调递增区间是

解析：由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6].

答案：[一L5,3]和[5,6]

3.求函数八》)=圈的单调减区间.

解：函数式x)=^j的定义域为(一8,1)U(1,+°°),

设XI,孙£(—8,1),且X[<X2,则

]]必―X1

/1)-JlX2)=4一1-%2-1=?XL1??X2-1?。

因为X1<X2<1,所以孙―Xl>0,X1-1<0,X2—1V0,

所以/Ui)—/U2)>0,即於1)»以2).

所以函数A")在(一8,1)上单调递减，同理函数人的在(1,+8)上单调递减.

综上，函数人外的单调递减区间是(一8,1),(1,4-00).

题型三

题点一：利用单调性比较大小

1.若函数/U)在区间(-8,+8)上是减函数，则下列关系式一定成立的是()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.fia2+a)<f(a)D.f(a2+l)<f(a2)

解析：选D因为.«x)是区间(-8,+8)上的减函数，且"2+]>“2,所以八。2+1)5/).故选D.

题点二：利用单调性解不等式

2.已知函数y=7U)是(-8,+8)上的增函数，且八2x—3)»(5x+6),求实数x的取值范围.

解：\,函数y=_/(x)是(-8,+8)上的增函数，且3)»(5x+6),.*.2x—3>5x+6,解得x<一3.

.♦.X的取值范围为(一8,—3).

题点三：已知单调性求参数范围

3.已知函数人x)=x—W+3在(L+8)上是增函数，求实数a的取值范围.

解：设l<Xi<X2,，X1X2>1.

•・,函数•/U)在(1,+8)上是增函数，

=(XLX2)(1+舟<0.

VXl-X2<0,/.1+->0,即。>一占》2.

X1》2

V1<X1<X2,X1X2>1,A—X1X2<—1,工。，—1.

.•.a的取值范围是［—1,+°°).

04/32

函数单调性的应用

(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单

调性可以确定函数中参数的取值范围.

(2)若一个函数在区间[a,切上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.

层级一学业水平达标

1.如

屋统课后层级训练，步步提升能力图是函数y

=Ax)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()

C.3D.4

解析：选B由图象，可知函数y=/(x)的单调递减区间有2个.故选B.

2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A.j=|x|B.y=3—x

c.D.y=—x2+4

解析：选A因为一IvO,所以一次函数y=—x+3在R上递减，反比例函数在(0,+8)上递减，

二次函数y=一炉+4在(0,+8)上递减.故选A.

3.函数的单调递减区间是()

A.(0,+°°)B.(—8,0)

C.(—8,0)和(0,+<»)D.(—8,0)U(0,+8)

解析：选C函数的定义域是(一8,0)U(0,+8).由函数的图象可知在区间(一8,0)和

(0,+8)上分别是减函数.

4.若函数/U)=(2a—l)x+〃在R上是单调减函数，则有()

A.a*B.

C.a>^D.a<^

解析：选D函数I/U)=(2aT)x+b在R上是单调减函数，则2“一1<0,即舄.故选D.

5.函数八x)=|x|,g(x)=x(2—x)的递增区间依次是()

A.(-8,0],(一8,1]B.(-8,0],(1,+8)

C.[0,+oo),(-00,1]D.[0,+°o),[1,+oo)

解析：选c分别作出/U)与g(x)的图象得：/U)在[0,+◎上递增，g(x)在(-8,1]上递增，选c.

6.若Ax)在R上是减函数，则人一1)4苏+沙填“>,，或“V”或，，》”或“w”).

解析：；/{x)在R上是减函数，，对任意X1,X2,若X1<X2均有_A©)MX2).又,.,一1<层+1,.•.八一1)/a

+1).

答案:>

7.已知函数/(x)为定义在区间上的增函数，则满足Ax)<娘的实数x的取值范围为.

一1士，

解析：由题设得《1

x<29

解得一1<X<1.

答案：[-1,{)

8.如果二次函数/(x)=x2—(a—l)x+5在区间(},1)上是增函数，则实数a的取值范围为.

解析：■.■函数大幻=*2—(a—l)x+5的对称轴为」且在区间弓，1)上是增函数，

二号即心2.

答案：(一8,2]

9.判断并证明函数人幻=一1+1在(0,+8)上的单调性.

解：函数A*)=—；+1在(0,+8)上是增函数.证明如下：

设Xl,*2是(0,+8)上的任意两个实数，且X1<X2,则兀⑺―兀3)=(-5+1)一(一2+1)=?才，

由Xi,X2G(O,+°°),得*1*2>0,

又由X1<X2,得Xl—X2<0,

于是人为)一人*2)<0,即凡n)勺口：2),

.\Ax)=—q+1在(0,+8)上是增函数.

—x-3,xWL

10.作出函数式x)=的图象，并指出函数大用的单调区间.

?x-2?2+3,x>l

X-3,xWl,

解:的七—2?2+3,x>l的图象如图所示.

06/32

由图可知，函数式x)='二、'的单调减区间为(一8,1]和(1,2),单调增区间为[2,+8).

l?x—2?2+3,x>l

层级二应试能力达标

1.若函数人用在区间(a,勿上是增函数，在区间(方，c)上也是增函数，则函数大x)在区间(a,"US，

c)±()

A.必是增函数B.必是减函数

C.是增函数或减函数D.无法确定单调性

解析：选D函数在区间(a,b)\J(b,c)上无法确定单调性.如y=一1在(0,+8)上是增函数，在(一

8,0)上也是增函数，但在(一8,0)U(0,+8)上并不具有单调性.

2.下列四个函数在(一8,0)上为增函数的是()

①y=|x|+l；②产?③/=一俞;④产x+点

A.①②B.②③

C.③④D.①④

解析：选C①y=|x|+l=—x+l(x<0)在(一8,0)上为减函数；②尸曰=-1(*<0)在(一8,0)上既

X?Y

不是增函数也不是减函数；③y=一而=*(*<0)在(一8,0)上是增函数；④y=x+而=x—l(x<0)在(-8,

0)上也是增函数.

?a—3?x+5,

3.已知函数/U)=(2a是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

—,x>l

A.(0,3)B.(0,3]

C.(0,2)D.(0,2]

a—3<0,

解析：选D依题意得实数“满足<2a>0,解得0va<2.

、?〃-3?+522a,

4.定义在R上的函数｛x),对任意©,X2GR(X1WX2),.?M?三殁"<0,贝(j()

*2X1

A.#)勺⑵勺⑴

B./U)勺⑵勺⑶

c./(2)<AD<A3)

D.A3)勺U)勺(2)

解析：选A对任意X|,X2GR(X1KX2),有“*2?_01?<0,则*2—XI与.人X2)一.八©)异号，则/(x)在R

上是减函数.又3>2>1,则大3）勺⑵勺⑴.故选A.

5,若函数y=一§在（0,+8）上是减函数，则力的取值范围是

解析：设0<Xl<X2,由题意知

,ob.bb?xi—X2?人

^.)-^2)=--+-=>0.

VO<X1<X2,X2<0,XlX2>0,

：.b<0.

答案：（一8,0）

6.函数y=-（x—3）|x|的单调递增区间是.

-r>0

解析：j=—(X—3)|x|=炉一3x,；W。，‘作出其图象如图‘观察图象知单调递

增区间为[o,I].

答案J。，1]

7.已知y=Ax）在定义域（一1,1）上是减函数，且大1一°）勺12。-1）,求a的取值范围.

—1<1—a<l,

解：由题意可知，解得Ovavl.①

-l<2a-l<l,

又/U）在（-1,1）上是减函数,

2-

且—a)</(2a—1),/.1-a>2a—1,即av§,②

由①②可知，a的取值范围是I

ly瓦诿做题

8.设函数大用=由（4乂>0）,求八x）的单调区间，并说明7U）在其单调区间上的单调性.

解：在定义域内任取Xl,X2,且使©<X2,

…xz+axi+a

则/（X2）一软尸亚一赤

_?4+a??xi+b?-?X2+b??xi+a?

=?xx+b??x2+b?

?Z>~a??X2~xi?

?XI+^??X2+A?*

Va>Z»O,X\<X29Aft-a<0,必―xi>0・

只有当Xi<X2<~~b或一》<X1<V2时，函数才单调.

当Xi<X2<一力或一力<X1<X2时，f(X2)~~f(X\)<0.

08/32

在（一8,一5）上是单调减函数，在（一方，+8）上也是单调减函数.

，丁=73）的单调减区间是（一8,一加和（一九4-oo）,无单调增区间.

第二课时函数的最大（小）值

预习课

股电丽”尚政昌课前自主学习，基稳才能楼高本P30〜32,

思考并完成以下问题

（1）函数最大（小）值的定义是什么？

（2）从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？

函数的最大（小）值

最大值最小值

一般地，设函数y=Ax）的定义域为/,如果雉实数M满足：对于任意的x

G1,都有

条件

1Ax)的

存在xoG/,使得/Uo)=M

结论称M是函数y=_Ax）的最大值称M是函数y=/（x）的最小值

几何

八X）图象上最高点的纵坐标/（X）图象上最低点的纵坐标

意义

［点睛］最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y=x2（xGR）的最小值是0,有

710）=0.

1.判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）任何函数都有最大值或最小值.（）

（2）函数的最小值一定比最大值小.（）

答案：⑴X（2）7

2.函数》=八幻在［-2,2］上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）

C.-1,2D.eq,2

答案：C

3.设函数八x）=2x-l（x<0）,贝IJ/U）（）

A.有最大值

B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既无最大值又无最小值

答案：D

函数外)=［］则大的最大值为

4.3xG2,4,x)最小值为.

答案：1\

字死除舒I噬谓Q课堂讲练设计，举一能通类题

图象法求函数的最值

I例1］如图为函数y=_/(x),xG［-4,7］的图象，指出它的最大值、最小值.

［解］观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),

所以当x=3时，函数y=/(x)取得最大值，即ymax=3;当*=一1.5时，函数y=/U)取得最小值，即

Jmin=­2.

用图象法求最值的3个步骤

作出函数图象

⑥一|在图象上找到最高点和最低点的纵坐标

U________________________

确定函数的最大(小)值

［活学活用］

ri

一,0<x<L

1.求函数_/k)="X的最值.

解：函数人》)的图象如图所示.

由图象可知八x)的最小值为八1)=1,无最大值.

利用单调性求函数的最值

［例2］已知函数/(X)=X+F

(1)证明：犬X)在(1,+8)内是增函数

(2)求兀0在［2,4］上的最值.

［解］(1)证明：设对于任意Xl,X2G(1,+°°),且©<X2.则八刈)—八*2)=X1+J一应―；=(X1—

•*-1兀2

?X1—X2??X|X2—1?

Ml」思X1X2

10/32

VX2>X1>1,.,.Xi—X2<0,

又/.X1X2-l>0,

?XlX2—1?

故(Xl-X2)「「丫、,<0,即/(XI)勺(X2),

所以/(X)在(1,+8)内是增函数.

(2)由⑴可知/U)在⑵4］上是增函数,

当xG[2,4]时，42)W#x)号A4).

又<2)=2+尹称A4)=4+(=y,

175

.•JU)在［2,4］上的最大值为不，最小值为Q.

函数的最值与单调性的关系

(1)如果函数y=/(x)在区间(a,切上是增函数，在区间屹，c)上是减函数，则函数y=f(x),xG(a,c)

在x—b处有最大值46).

(2)如果函数y=/(x)在区间(a,回上是减函数，在区间［仇c)上是增函数，则函数y=f(x),xe(a,c)

在x=b处有最小值八〃).

(3)如果函数y=/U)在区间［a,切上是增(减)函数，则在区间［a,切的左、右端点处分别取得最小(大)

值、最大(小)值.

［活学活用丁

2.已知函数人X)=M(XC［2,6］),求函数的最大值和最小值.

22

解：设X1,必是区间26］上的任意两个实数，且X1<X2,则/(冷)一八必)=工三一高=［=

2［?必一1?一？处一1?］_2?必一xi?

?xi-1??X2-1?=?X1-1??X2-1?*

由2WX1VX2W6,得X2—XI>0,(XI—1)(X2—l)>0,于是於l)一个2)>0,即/U1)»(X2).

2

所以函数式“)=口■是区间［2,6］上的减函数.

2

因此，函数人X)=J7在区间［2,6］的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，

最大值是2,在x=6时取得最小值，最小值是0・4.

实际应用中的最值

［例3］某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知

总收益满足函数:

1400x—lx2,0Wx<400,

R(x)=J2其中x是仪器的月产量.

18000(),x>400.

(1)将利润表示为月产量的函数凡r);

⑵当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)

［解］⑴设月产量为x台，则总成本为20000+100*,从而

1

-TX2+300X-20000,0WxW400,

贝x)=j2

.60000-100x,x>400.

(2)当0WxW400时，

/(x)=-1(x-300)2+25000,

...当X=300时，[/U)]max=25000.

当x>400时，

1Ax)=60000-100x是减函数，

府)<60000-100X400<25000.

二当x=300时，[Ax)]max=25()0().

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利泗为25000元.

解实际应用问题的5个步骤

(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系.

⑵设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数.

(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系.

(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式.

⑸答：回归实际，明确答案，得出结论.

［活学活用］

3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销

售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？

解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(*-50)元，销量减少10(丫一50)个，销量为500—10(*—50)

=(1000-10X)个，则j=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000W9000.

故当x=70时，jmas=900().

即售价为70元时，利润最大值为9000元.

题型四二次函数的最大值，最小值最爱*麦

［例4］求二次函数八x)=*2—2ax+2在［2,4］上的最小值.

12/32

［解］•.,函数图象的对称轴是x=a,

二当a<2时，/(X)在［2,4］上是增函数，

.,.#x)min=f(2)=6—4a.

当a>4时，兀r)在［2,4］上是减函数，

•\Ax)min=/l4)=18—8a.

2

当2WaW4时，f(x)min=f(a)=2—a.

6—4%a<2,

2~a2,2«4,

(18-8a,a>4.

［一题多变］

1.I变设问1在本例条件下，求人x)的最大值.

解：•.•函数图象的对称轴是x=a,

当aW3时,人x)m»x=A4)=18—8a,

当a>3时，f(x)max=f(2)=6—4a.

［18—8a,aW3,

1.6—4a,a>3.

2.［变设问］在本例条件下，若八x)的最小值为2,求。的值.

6—4a,a<2,

2—a2,2《aW4,

(18—8a,a>4.

当〃V2时，6—4a=2,a=l;

当2Wa<4时，2—“2=2,。=0(舍去);

7

当a>4时，若18-8a=4,a=J舍去).

・・・a的值为1.

3.|变条件，变设问］本例条件变为，若/(的=好一2"+2,当“£［2,4］时，人幻《。恒成立，求实数〃

的取值范围.

解：在［2,4］内,人幻《。恒成立，

即。212—20¥+2在［2,4］内恒成立,

即a21/U)m,x,xe［2,4］.

18—8a,aW3,

由本例探究1知大X)max

6—4a,〃>3.

(1)当aW3时，0218—8”，解得022,此时有2WaW3.

(2)当a>3时，a26-4a,解得a招此时有a>3.

综上有实数。的取值范围是［2,+oo).

求解二次函数最值问题的顺序

(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图.

(2)在图象上标出定义域的位置.

⑶观察单调性写出最值.

层

^£0课后层级训练，步步提升能力

级一

学业水平达标

1.函数y=/(x)(—2WxW2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别

为()

A.f(2),J(-2)

B.周，/(-I)

C局,

D.£)，10)

解析：选C根据函数最值定义，结合函数图象可知，当*=一号时，有最小值4一!);当x=T时,

有最大值./Q)

2.函数^=/-2*+2在区间［-2,3］上的最大值、最小值分别是()

A.10,5B.10,1

C.5,1D.以上都不对

22=

解析：选B因为j=x—2x+2=(x-1)+1,且2,3],所以当x=l时，jminl,当x=—2

时，Jmax=(-2-l)2+l=10.故选B.

3

3.函数y=7^(xW—2)在区间［0,5］上的最大值、最小值分别是()

XI/

A.eq,0B.eq,0

31

C.eq,早D.最小值为一I，无最大值

33

解析：选C因为函数丫=苔；在区间［0,5］上单调递减，所以当X=0时，ymax=X，当X=5时，Jmin

3

=,.故选C.

4.若函数y=ax+l在［1,2］上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()

A.2B.-2

C.2或一2D.0

解析：选C由题意知aWO,当a>0时，有(2a+l)—(a+l)=2,解得a=2;当a<0时，有5+1)一

14/32

(2fl+l)=2,解得a=-2.综上知Q=±2.

5.当0WxW2时，aV—x2+2x恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(一8,1］B.(一8,0］

C.(一8,0)D.(0,+8)

解析：选C令JU)=-X2+2X,

则,小0=-x2+2x=-(X-1)2+1.

又・・"£［0,2］,・・J(x)min=1A0)=A2)=0.

Aa<0.

6.函数产一匕xG［-3,T］的最大值与最小值的差是.

解析：易证函数尸一：在［-3,—1］上为增函数，所以ymin=；,Jmax=l,

12

所以Jmax-Jmin=1-

答案::

7.已知函数4x)=-/+4x+a,xG［0,l］,若兀r)有最小值一2,则/(x)的最大值为.

解析：函数/{x)=—A^+dx+au—(x—2户+4+凡［0,1］,且函数有最小值一2.

故当x=0时，函数有最小值，

当x=l时，函数有最大值.

V当x=0时，f(0)=a=—2,."./(x)=—x2+4x—2,

2

...当x=l时，/(x)max=/(l)=-l4-4X1-2=1.

答案：1

8.函数y=Ax)的定义域为［-4,6］,若函数人x)在区间［-4,-2］上单调递减，在区间(-2,6］上单调递

增，且八—4)勺S),则函数Ax)的最小值是,最大值是.

解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知/U)min=_A-2),Ax)max=/S).

答案：f(-2)-6)

9.求函数八刈=舌在区间［2,5］上的最大值与最小值.

解：任取2<XIVX2W5,

小］O、NXiXI___________XLM

则大必)一八处)一X2-1一刈一1一?*2—1??*1一1?.

因为2WXI<X2W5,

所以Xl—X2〈o,X2~1>0,Xj-l>0.

所以AM)—八xi)〈0.

所以人M)勺3).

所以人工)=旨在区间［2,5］上是单调减函数・

255

所以=[=2,/Wmin=人5)=彳_]=/

XJL311f

10.已知函数兀冷=一“2+2依+1—。在x£[0,l]时有最大值2,求。的值.

22

解：f(x)=—(x—a)+a—a+l9

当时，JU)max=/U)=Q；

2

当0<nvl时，f(x)max=f(a)=a-a+l;

当“W0时，f(x)max=fW=l—a.

根据已知条件得，[『0<a<l,/aWO,

2或，,或

层一。+1=2[1—a=2,

解得a=2或a=—1.

层级二应试能力达标

1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是()

A.j=~+2B.y=3x—2

C.y=x2D.j=l-x

解析：选AB、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，

故选A.

2x+6,xG[1>2],

2.函数_/U)=ur,,,则贝X)的最大值与最小值分别为()

[x+7,xG[—1,1],

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

解析：选A•.,xG[l,2]时，式X)max=2X2+6=10,

_Ax)min=2X1+6=8；Xe[-l,l]Bf,大X)max=l+7=8,/X)min=-1+7=6,

，

•./(X)max=10,1AX)min=6.

3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,刈上有最大值3,最小值2,则机的取值范围是()

A.[1,+oo)B.[0,2]

C.(一8,2]D.[1,2]

2

解析：选D/lx)=(x-l)+2,-：f(x)min=2,/(x)max=3,且八1)=2,40)=42)=3,；.1W，"W2,故

选D.

4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为心=一

/+21x和心=2元若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()

A.90万元B.60万元

C.120万元D.120.25万元

解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15—x)辆，公司获利为L=—*2+21*+2(15—x)

=—x2+19x+30=—(x—与2+30+号，

16/32

当x=9或10时，L最大为120万元.

5.已知一x2+4x+a》0在xG[0,l]上恒成立，则实数a的取值范围是.

解析：法一：一炉+4》+“20,即a》》?一44[0,1],也就是a应大于或等于火x）=x?-4x在[0,1]

上的最大值，函数犬x）=x2-4x在xG[0,l]的最大值为0,...a》。.

法二：设人工）=一产+4*+凡

|/?0?=心0,

由题意知解得

[/?!?=-l+4+a^O,a20.

答案：[0,+~）

6.已知函数式x）=*2—6x+8,xG[l,a],并且八x）的最小值为｛a）,则实数a的取值范围是.

解析：如图可知人x）在[1,0内是单调递减的，

又..Vlx）的单调递减区间为（一8,3],

...lvaW3.

答案：（1,3]

7.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单

位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：

X4550

y2712

（1）确定x与y的一个一次函数关系式y=/（*）（注明函数定义域）.

（2）若日销售利润为尸元，根据⑴中的关系式写出尸关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少

元时，才能获得最大的日销售利润？

45a+b=27,

解：（1）因为兀r）是一次函数，设式x）=ax+〃，由表格得方程组,

50a+/>=12,

\a=­i,

解得

[。=162,

所以y=f(x)=~3x+162.

又yNO,所以30WxW54,

故所求函数关系式为y=-3x+162,xG[30,54].

⑵由题意得，

P=(x-30)j=(x-30)(162-3x)

=-3X2+252X-4860

=-3(x72)2+432,xG[30,54].

当x=42时，最大的日销售利泄产=432,即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.

|?”云题

8.已知大X)=