专题08尺规作图与几何初步(共60题)-5年(2016-2020)中考1年模拟数学试题分项详解(原卷版+解析)(北京专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题08尺规作图与几何初步（共60题）五年中考真题五年中考真题一．选择题（共6小题）1．（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠52．（2017•北京）如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度3．（2018•北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A． B． C． D．4．（2017•北京）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱5．（2016•北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45° B．55° C．125° D．135°6．（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD二．填空题（共2小题）7．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．8．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三．解答题（共2小题）9．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（∴∠ABP=12∠10．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝，CB＝，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共18小题）1．（2020•东城区一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP2．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD3．（2020•顺义区一模）已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP=12BQ D．若PQ＝PA，则∠4．（2020•海淀区校级二模）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的同样的长为半径作弧，两弧交于M，N②作直线MN，交CD于点E，连接BE．若直线MN恰好经过点A，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，则BE＝47 D．tan∠CBE=5．（2020•朝阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于12GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四边形CDFB=12CF•④∠BCF＝∠BCE．所有正确结论的序号为（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④6．（2020•北京模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在AB的中垂线上 D．S△DAC：S△ABD＝1：37．（2020•朝阳区二模）如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长 D．线段PD的长度8．（2020•顺义区二模）如图所示，l1∥l2，则平行线l1与l2间的距离是（）A．线段AB的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段DE的长度9．（2020•石景山区一模）如图，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF∥AC交AD于点G，若∠DGF＝40°，则∠BAD的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．80°10．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70° B．∠BAD＝80° C．CE＝CD D．CE＝AE11．（2020•东城区一模）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48° B．78° C．92° D．102°12．（2020•丰台区模拟）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°13．（2020•石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．150°14．（2020•昌平区二模）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．40° B．45° C．135° D．140°15．（2020•密云区二模）如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是（）A．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=12CD D．CE16．（2020•西城区二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（）A． B． C． D．17．（2020•东城区二模）如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处．则∠ABC等于（）A．130° B．120° C．110° D．100°18．（2020•丰台区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥二．填空题（共5小题）19．（2020•房山区二模）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．20．（2020•门头沟区二模）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，那么∠1的度数为°．21．（2020•门头沟区二模）如图所示，a∥b，表示直线a与b之间距离的是线段的长度．22．（2020•丰台区二模）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到∥，依据是．23．（2020•北京模拟）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2＝．三．解答题（共27小题）24．（2020•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；④分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：连接PQ．在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（）．（填写推理依据）∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（）．（填写推理依据）25．（2020•门头沟区二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．作法：如图2，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点Q④作直线PQ；所以直线PQ就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（）（填依据1）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直线PQ∥直线l．（）（填依据2）．26．（2020•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝，BQ＝，∴四边形PABQ是平行四边形（）（填推理依据）．∴PQ∥l．27．（2020•平谷区二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠＝∠，又∵OB＝OP，∴∠＝∠，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（）（填推理的依据）．28．（2020•顺义区二模）下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：菱形ACBD．作法：如图，①以点A为圆心，以AB长为半径作⊙A；②以点B为圆心，以AB长为半径作⊙B，交⊙A于C，D两点；③连接AC，BC，BD，AD．所以四边形ACBD就是所求作的菱形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（）（填推理的依据）．同理∵点A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴═＝＝．∴四边形ACBD是菱形．（）（填推理的依据）．29．（2020•西城区二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴＝（）（括号里填推理的依据）．30．（2020•北京二模）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）求证：∠BCD＝∠CAE．31．（2020•东城区二模）下面是“作一个45°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝45°．作法：如图，①作射线AB；②在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；③分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D，作射线OD交⊙O于点E④作射线AE．则∠EAB即为所求作的角．（1）使用直尺和圆规．补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠＝°．∴∠EAB＝°．（）（填推理的依据）32．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．33．（2020•丰台区二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．34．（2020•海淀区二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求．根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，（）（填推理的依据）．∵AP＝，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（）（填推理的依据）．即PQ∥l．35．（2020•海淀区校级模拟）已知：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法作出这两条直线所成角的角平分线？小明的做法是：（1）如图2，画PC∥a；（2）以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；（3）连结AD并延长交直线a于点B；请你先完成下面的证明，然后完成第（4）步作图：∵PC∥a，∴∠1＝∠PDA（）∵以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D，∴PA＝PD，∴∠PAB＝∠，∴∠PAB＝∠1，∴以直线a，b的交点和点A、B为顶点所构成的三角形为等腰三角形．根据上面的推理证明完成第（4）步作图：（4）请在图2画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），尺规作出图形，并保留作图痕迹．第（4）步这么作图的理论依据是：．36．（2020•石景山区一模）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝，PA＝，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．37．（2020•顺义区一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：四边形ABCD是菱形．38．（2020•丰台区三模）下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．作法：①在直线AB上取一点M；②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．④连接PQ，交AB于点O．⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，∴四边形PMQN是．∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（）．（填写推理依据）∵在Rt△POC中，sin∠PCB=POPC∴∠PCB＝30°．39．（2020•密云区一模）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．已知：△ABC中，AC＞BC．求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．作法：如图：①分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN②分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D③连接AD和BD，④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．所以∠ADB＝2∠C．根据小菲设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD，∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，∴CD＝AD＝．∴⊙D是△ABC的外接圆．∵点C是⊙D上的一点，∴∠ADB＝2∠C．（）（填推理的依据）40．（2020•西城区一模）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图3，①延长BC至点E；②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ与CP交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四边形DBCF是平行四边形．请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．41．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．42．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．43．（2020•北京模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，D在BC的延长线上，连接AD，E为AD中点．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，与线段AC交于点F，连接EF；（2）根据（1）中所作的图形，证明：EF∥BC．44．（2020•延庆区一模）已知，如图，点A是直线l上的一点．求作：正方形ABCD，使得点B在直线l上．（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，∠BAD＝90°的依据是什么？45．（2020•朝阳区校级模拟）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．46．（2020•北京模拟）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．47．（2020•丰台区模拟）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接PA；②作∠PAC的平分线AD；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．48．（2020•丰台区模拟）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴PA=∴∠PBA＝∠QPB（）（填推理的依据）．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．49．（2020•北京模拟）如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；（2）如果AB＝5，cos∠ABD=35，求50．（2020•海淀区校级模拟）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以A为圆心，AO为半径作圆，交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．根据小芸设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接OM，由作图可知，A为OP中点，∴OP为⊙A直径，∴∠OMP＝°，（）（填推理的依据）即OM⊥PM．又∵点M在⊙O上，∴PM是⊙O的切线．（）（填推理的依据）5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题08尺规作图与几何初步（共60题）五年中考真题五年中考真题一．选择题（共6小题）1．（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误；故选：A．2．（2017•北京）如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解析】由题意，得点P到直线l的距离是线段PB的长度，故选：B．3．（2018•北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A． B． C． D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解析】A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．4．（2017•北京）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．5．（2016•北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】由图形可直接得出．【解析】由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选：B．6．（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解析】由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON=13∠MON＝20°，故设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM=180°−α∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN=12∠CON＝∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．二．填空题（共2小题）7．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义等．．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解析】该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．8．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．【解析】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA＝AQ，PB＝QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三．解答题（共2小题）9．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（∴∠ABP=12∠【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．【解析】（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠∴∠ABP=12∠故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．10．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；一年模拟新题一年模拟新题1．（2020•东城区一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．【解析】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP＝2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP＝∠BOP，当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴CP∥OB，故A错误，符合题意；故选：A．2．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD=CD，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断【解析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴BD=∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．3．（2020•顺义区一模）已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP=12BQ D．若PQ＝PA，则∠【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．【解析】连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．4．（2020•海淀区校级二模）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的同样的长为半径作弧，两弧交于M，N②作直线MN，交CD于点E，连接BE．若直线MN恰好经过点A，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，则BE＝47 D．tan∠CBE=【分析】A、根据作图过程可得，AE是DC的垂直平分线，连接AC，可得三角形ABC是等边三角形，即可判断；B、根据点E是CD的中点，可得S△ADE＝S△BCE=12S△C、根据A选项可以证明∠BAE＝90°，AE的长为23，再根据勾股定理即可求出BE的长，进而可以判断；D、过点E作BC的垂线，垂足为F，结合C选项，根据三角函数即可求出tan∠CBE的值，进而可以判断．【解析】如图，A、根据作图过程可知：AE是DC的垂直平分线，连接AC，∴AC＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．所以A选项正确；B、∵点E是CD的中点，∴S△ADE＝S△BCE=12S△∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项正确；C、∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∠CAE=12∴∠BAE＝90°，∵AB＝AD＝4，∴AE＝23，∴在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE=AB2所以C选项错误；D、过点E作BC的垂线，垂足为F，∴∠EFC＝90°，∵∠ECF＝60°，设CE＝2，则BC＝4，CF＝1，EF=3∴在Rt△EBF中，BF＝BC+CF＝5，∴tan∠CBE=EF所以D选项正确．所以下列说法错误的是C选项．故选：C．5．（2020•朝阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于12GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四边形CDFB=12CF•④∠BCF＝∠BCE．所有正确结论的序号为（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④【分析】①由作图过程可得，CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，可以证明△BCD≌△BFD，根据全等三角形的性质进而可以判断；②根据BC≠BE，即可判断；③根据S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD即可判断；④根据△BCE与△BCF不全等，∠BCE≠∠BCF，即可判断．【解析】如图，连接CF，交BD于点H，由作图过程可知：CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，设CE与AB交于点Q，∴∠CQA＝∠DFA＝90°，∴CQ∥DF，∴∠CED＝∠FDE，∵BD是∠CBF的平分线，∴∠CBD＝∠FBD，∵∠BCD＝∠BFD＝90°，BD＝BD，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴∠CDB＝∠FDB，∴∠CDB＝∠CED，∴CE＝CD，所以①正确；∵△BCD≌△BFD（AAS），∴BC＝BF，但是BC≠BE，∴②不正确；∵S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD=12BD•CH+1=12CF•∴③正确；∵△BCE与△BCF不全等，∴∠BCE≠∠BCF，∴④不正确．所以正确结论的序号为①③．故选：B．6．（2020•北京模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在AB的中垂线上 D．S△DAC：S△ABD＝1：3【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【解析】根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝60°，故②正确；∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，∴AD＝DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD＝30°，∴CD=12∵AD＝DB，∴CD=12∴CD=13S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12∴S△ACD：S△ACB＝1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，故④错误，故选：D．7．（2020•朝阳区二模）如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长 D．线段PD的长度【分析】按照平行线间的距离的定义即可得出答案．【解析】平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度．观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段．故选：B．8．（2020•顺义区二模）如图所示，l1∥l2，则平行线l1与l2间的距离是（）A．线段AB的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段DE的长度【分析】利用平行线间距离的定义判断即可．【解析】如图所示，l1∥l2，则平行线l1与l2间的距离是线段BC的长度．故选：B．9．（2020•石景山区一模）如图，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF∥AC交AD于点G，若∠DGF＝40°，则∠BAD的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．80°【分析】根据EF∥AC，可以得到∠DAC＝∠DGF，再根据AD平分∠BAC，可以得到∠BAD＝∠DAC，从而可以得到∠BAD的度数．【解析】∵EF∥AC，∠DGF＝40°，∴∠DAC＝∠DGF＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠BAD＝40°，故选：B．10．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70° B．∠BAD＝80° C．CE＝CD D．CE＝AE【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解析】∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．11．（2020•东城区一模）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48° B．78° C．92° D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解析】∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．12．（2020•丰台区模拟）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】利用平行线的性质解决问题即可．【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不变性可知：∠2＝∠4=1故选：A．13．（2020•石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】根据平角的定义和角的和差即可得到结论．【解析】看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，故选：C．14．（2020•昌平区二模）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．40° B．45° C．135° D．140°【分析】根据角的定义即可得到结论．【解析】看内圈的数字可得：∠AOB＝45°，故选：B．15．（2020•密云区二模）如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是（）A．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=12CD D．CE【分析】根据线段中点的定义即可得到结论．【解析】∵点D恰好为CE的中点，∴CD＝DE，∵CD＝AB，∴AB＝DE=12即CE＝2AB＝2CD，故A，B，D选项正确，C选项错误，故选：C．16．（2020•西城区二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（）A． B． C． D．【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：D．17．（2020•东城区二模）如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处．则∠ABC等于（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根据方向角的定义求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．【解析】如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBE＝70°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°．故选：C．18．（2020•丰台区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．二．填空题（共5小题）19．（2020•房山区二模）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．．【分析】先根据作图得出OB＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD＝60°，再根据圆周角定理知∠DAC=12∠【解析】如图，连接OD、OC，由作图知，OB＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD＝60°，∴∠DAC=12∠综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．20．（2020•门头沟区二模）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，那么∠1的度数为15°．【分析】根据平行线的性质可得∠A＝∠FDE＝45°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FDE＝45°，又∵∠C＝30°．∴∠1＝∠FDE﹣∠C＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15．21．（2020•门头沟区二模）如图所示，a∥b，表示直线a与b之间距离的是线段PB的长度．【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．【解析】由题可得，a∥b，PB⊥b，∴直线a与直线b之间的距离是线段PB的长度，故答案为：PB．22．（2020•丰台区二模）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC∥DE，依据是内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题．【解析】小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC∥DE，依据是内错角相等，两直线平行．故答案为：AC，DE，内错角相等，两直线平行．23．（2020•北京模拟）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2＝40°．【分析】依据AB∥CD，可得∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，再根据折叠可得，∠4＝∠5＝70°，进而得出∠2＝40°．【解析】∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣110°＝70°，由折叠可得，∠4＝∠5＝70°，∴∠3＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠2＝40°，故答案为：40°．三．解答题（共27小题）24．（2020•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；④分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：连接PQ．在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（SSS）．（填写推理依据）∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（等腰三角形三线合一）．（填写推理依据）【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用全等三角形的判定，等腰三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图所示：△ABC即为所求．（2）在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（SSS），∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（等腰三角形三线合一）．故答案为：SSS，等腰三角形三线合一．25．（2020•门头沟区二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．作法：如图2，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点Q④作直线PQ；所以直线PQ就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（等边对等角）（填依据1）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直线PQ∥直线l．（内错角相等，两直线平行）（填依据2）．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定即可完成证明．【解析】（1）补全的图形如图2；（2）证明：由作图可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（等边对等角）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直线PQ∥直线l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行．26．（2020•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理依据）．∴PQ∥l．【分析】（1）根据尺规作图过程即可补全图形；（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可完成证明．【解析】（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：连接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴PQ∥l．故答案为：AB，AP，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．27．（2020•平谷区二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）结合（1）根据圆周角定理即可完成证明．【解析】（1）补全图形如下：（2）证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CPB，APB，OBP，OPB，内错角相等，两直线平行．28．（2020•顺义区二模）下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：菱形ACBD．作法：如图，①以点A为圆心，以AB长为半径作⊙A；②以点B为圆心，以AB长为半径作⊙B，交⊙A于C，D两点；③连接AC，BC，BD，AD．所以四边形ACBD就是所求作的菱形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（圆的半径）（填推理的依据）．同理∵点A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴AD═AC＝BC＝BD．∴四边形ACBD是菱形．（四边相等的四边形为菱形）（填推理的依据）．【分析】（1）根据作法画出几何图形；（2）利用圆的半径相等得到四边形ACBD的边长都等于AB，然后根据菱形的判定可判断四边形ACBD就是所求作的菱形．【解析】（1）如图，四边形ACBD为所作；（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（圆的半径相等），同理∵点A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴AD＝AC＝BC＝AD，∴四边形ACBD是菱形．（四边相等的四边形为菱形）．故答案为：圆的半径相等；AD、AC、BC、AD；四边相等的四边形为菱形．29．（2020•西城区二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF（角平分线的性质）（括号里填推理的依据）．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质即可得到结论．【解析】（1）补全图形如图所示；（2）证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF（角平分线的性质），故答案为：DE，DF，角平分线的性质．30．（2020•北京二模）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）求证：∠BCD＝∠CAE．【分析】（1）作∠BAC的平分线AE交BC于点E即可．（2）根据等角的余角相等，即可得到∠BCD＝∠CAE．【解析】（1）补全的图形如下图：（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴∠ACB+∠CAE＝90°．∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAE．31．（2020•东城区二模）下面是“作一个45°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝45°．作法：如图，①作射线AB；②在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；③分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D，作射线OD交⊙O于点E④作射线AE．则∠EAB即为所求作的角．（1）使用直尺和圆规．补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠COE＝90°．∴∠EAB＝45°．（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半）（填推理的依据）【分析】（1）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D，作射线OD交⊙O于点E；作射线AE，则∠EAB（2）依据AD＝CD，AO＝CO，即可得到∠AOE＝∠COE＝90°，再根据一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，即可得到∠EAB＝45°．【解析】（1）如图所示，（2）证明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠COE＝90°，∴∠EAB＝45°（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半）．故答案为：COE；90；45；一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．32．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA=2BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF【解析】（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA=2BE理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=2BE∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA=2BE33．（2020•丰台区二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．【解答】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．34．（2020•海淀区二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求．根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，（等边对等角）（填推理的依据）．∵AP＝PQ，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．即PQ∥l．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质和平行线的判定求解可得．【解析】（1）如图所示，直线PQ即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行），即PQ∥l．故答案为：等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行．35．（2020•海淀区校级模拟）已知：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法作出这两条直线所成角的角平分线？小明的做法是：（1）如图2，画PC∥a；（2）以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；（3）连结AD并延长交直线a于点B；请你先完成下面的证明，然后完成第（4）步作图：∵PC∥a，∴∠1