教与考衔接2 比较大小有方法答案

教与考衔接2比较大小有方法例例题展示【例】已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：A∵log53－log85＝log53－1log58＝log53·log58－1log58＜（log53+log582）2－1log58＝（log5242）2－1log58＜（log5252）2－1log58＝0，∴log53＜log85.∵真题溯源与考法探究真题溯源与考法探究1.真题溯源（必修第一册第141页13（2）题）比较下列三个值的大小：log23，log34，log45.教材原题与真题虽然题目不同，但实质均为对数比较大小类问题.该类问题的设置主要考查数学运算，逻辑推理核心素养及必备的理性思维及数学探究能力.求解此类问题的一般思路为：（1）同底但不同真数，可通过构造函数，利用单调性比较；（2）同真数但不同底，可通过作函数图象或换底公式转化解决；（3）真数不同底数也不同的，可将其转化为（1）（2）两种情况或借助中间量（如“1”“0”）等比较.此类试题简洁朴实，但蕴含着丰富的数学思想方法，对学生的理性思维素养要求较高，有很高的拓广探究价值.2.解法探究（以教材原题为例）解法一（比较法）（1）比差法：log23－log34＝（ln3）2－ln2ln4ln2ln3，∵ln2ln4＜（ln2+ln4）24＝（ln8）2＜（ln3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝（ln4）2－ln3ln5ln3ln4，∵ln3ln5＜（ln3+ln5）24＝（ln15）2＜（ln4）2，∴log34－log45＞（2）比商法：log23log34＝lg3·lg3lg2·lg4＝6lg3·lg36lg2·lg4＝lg9·lg27lg8·lg16＞1，log34log45＝lg4·lg4lg3·lg5＝20lg4·lg4方法总结比较法是我们比较大小最常用的方法，换底通分后可以使用对数的运算法则，其中比差法的难点是利用基本不等式时要对式子进行放缩重构，从而使两项合为一项，达到了比较大小的目的.解法二（中间值法）∵log23＞log222＝32，log34＜log3332⇔42＜33，∴log34＜32，∵log34＞log3365⇔36＜45，∴log34＞65，∴65＜log34＜32，∵log45＝log25＜log2265⇔255＜26，∴log45＜65.综上有方法总结中间值法是我们常见的求解对数大小比较的方法，对于既不同底也不同真数的对数，其中间值的寻找不仅依靠数感、经验、估算以及逻辑推理，还需要不断的尝试，可能比较难以发现.解法三（等价转化法）不妨先证log23＞log34⇔证log827＞log916，∵log827＞log927＞log916，∴log23＞log34，再证log34＞log45⇔证log2431024＞log256625，∵log2431024＞log2561024＞log256625，∴log34＞log45.综上有：log23＞log34＞log45.方法总结通过对数运算性质等价变换提升数据的策略，使两个数据变为接近而又立见分晓的数值，其难度是如何提升数据，即将底数、真数同乘以某个数（扩大相同的倍数），如log23→log827，log34→log916，这些数据提升的“度”都需要良好的数感、目标意识以及大胆的探索精神.方法拓展方法拓展方法1单调性法比较大小【例1】设a＝30.8，b＝90.5，c＝（13）－12A.a＞b＞c B.c＞b＞aC.b＞a＞c D.b＞c＞a解析：C因为a＝30.8，b＝90.5＝（32）0.5＝31，c＝（13）－12＝（3－1）－12＝312＝30.5，又函数y＝3x在R上为增函数，1＞0.8＞0.5，所以31＞30.8＞30.5方法总结单调性法在比较大小时的应用技巧（1）底数相同，指数不同，如ax1和ax2，利用指数函数（2）指数相同，底数不同，如x1a和x2a，利用幂函数（3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小.方法2构造函数法比较大小【例2】已知log2a＝a2（a≠2），log3b＝b3（b≠3），log4c＝c4（c≠4），则A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.c＜b＜a D.a＜c＜b解析：C由log2a＝a2⇒lnaln2＝a2⇒lnaa＝ln22，同理lnbb＝ln33，lncc＝ln44，构造函数f（x）＝lnxx，f'（x）＝1－lnxx2，当x＞e时，f'（x）＝1－lnxx2＜0，当0＜x＜e时，f'（x）＝1－lnxx2＞0，可得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，而2＜e＜3＜4，又由ln44＝ln22，a≠2，c≠4，可得a＝4，c＝2，9＞8⇒2ln3＞3ln2⇒ln33＞ln22，又由e＜3，b≠方法总结构造函数法比较大小常见的构造方法（1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小；（2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较数的大小.方法3放缩法比较大小【例3】若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c解析：D∵ab＝log43log54＝log43×log45＜（log43+log452）2＝（log4152）2＜1，a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b，∵410＜59，∴4＜5910，∴b＝log54＜910＝0.9，∵c＝2－0.03＞2－18＝方法总结放缩法比较大小的常见放缩技巧（1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；（2）利用基本不等式进行放缩；（3）利用泰勒公式进行放缩.常用的泰勒公式如下：ex＞x＋1（x≠0）；lnx＜x－1（x≠1）；lnx＞2（x－1）x+1；sinx＜x＜巩固练习1.若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A.logab＞logbc＞logcaB.logcb＞logba＞logacC.logbc＞logab＞logcaD.logba＞logcb＞logac解析：B法一（特殊值法）取a＝8，b＝4，c＝2，则logab＝log84＝log24log28＝23，logbc＝log42＝14，logca＝log28＝6，故A、C不正确；logcb＝log24＝4，logba＝log48＝32，logac＝log82法二（中间值法）由于a＞b＞c＞1，∴logab＜logaa＝1，logbc＜logbb＝1，但logca＞logcc＝1，从而A、C不正确；∵a＞b＞1，∴logba＞logbb＝1，又∵a＞c＞1，∴logac＜logaa＝1，∴logba＞1＞logac.logcb－logba＝lgblgc－lgalgb＝（lgb）2－lga·lgclgb·lgc.由已知得b2＞ac＞1，∴lgb2＞lga＋lgc，∴2lgb＞lga＋lgc，∴（lgb）2－lga·lgc＞lga＋lgc22－lga·lgc＝（lga－lgc）24＞0，即（lgb）2.已知13a＝log3a，3b＝log13b，13c＝log13c，则aA.c＜b＜a B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析：C在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝13x，y＝log3x，y＝3x，y＝log13x因为13a＝log3a，3b＝log13b，13c＝log13c，所以a是y＝13x与y＝log3x图象交点的横坐标；b是y＝3x与y＝log13x图象交点的横坐标；c是y＝13x3.已知a＝1010，b＝911，c＝119，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜a＜b B.b＜a＜cC.a＜b＜c D.c＜b＜a解析：A令f（x）＝（20－x）lnx（x