高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1对数与对数运算课件新人教A版必修

对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以①

a

为底N的对数,记作②

x=logaN

,其中a叫做对数的③底数

,N叫做④真数

.(1)负数和零没有对数.(2)特殊值:1的对数是0,即loga1=0(a>0,且a≠1);底数的对数是1,即logaa=1(a>0,且a≠1).2.2对数函数2.2.1对数与对数运算(1)当a>0,且a≠1时,ax=N⇔⑧

x=logaN

.(2)对数恒等式:

=N;logaaN=N(a>0,且a≠1).名称定义记法常用对数以⑤10

为底的对数叫做常用对数⑥

lgN

自然对数以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数⑦

lnN

对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=⑨

logaM+logaN

;(2)loga

=⑩

logaM-logaN

;(3)logaMn=

nlogaM

(n∈R).

对数换底公式及其推论(1)对数换底公式:logab=

(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1);(2)推论:lo

bn=

logab,logab=

(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;m≠0).

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.以e为底的对数叫做自然对数.

(√)a(xy)=logax+logay(a>0,且a≠1).

(

✕)当x<0,y<0时,可知结论错误.a(-2)2=2loga(-2)(a>0,且a≠1).

(

✕)公式logaMn=nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数,故结论错误.4.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4.

(

✕)对数的底数a应满足a>0且a≠1.x2=

(x>0,且x≠1).

(√)由对数的换底公式得logx2=

=

,故结论正确.2(-2a+1)有意义的a的取值范围是

.

(√)要使对数log2(-2a+1)有意义,必须使-2a+1>0,解得a<

,故结论正确.“改变世界面貌的十个数学公式”被写到邮票中,第4枚是纳皮尔指数与对数关

系公式:elnN=N,其中e=2.71828….伽利略曾发出豪言壮语:“给我时间、空间和对

数,我可以创造出一个宇宙来.”对数性质与对数运算的应用问题ln4+1?提示:eln4+1=eln4·e=4e.aN=x和指数式ax=N推出

=N(a>0,且a≠1,N>0)?提示:把x=logaN代入ax=N,得

=N.3.在指数与对数的互化中,要注意什么?提示:要注意底数的范围,如(-2)2=4,不能写成log(-2)4=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有ax

=N⇔x=logaN.利用对数的运算性质可以将同底对数式进行恒等变形,解题时要注意下列问题:(1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方的对数运算转化为对数的加、

减、乘法运算,反之亦然.因此在计算时,要灵活运用运算性质.(2)在使用公式的过程中,要注意公式成立的条件.

计算下列各式:(1)log535-2log5

+log57-log5

;(2)lg25+

lg8+lg5×lg20+(lg2)2.解析

(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-(log59-log55)=log55+log57-2log57+2

log53+log57-2log53+log55=2log55=2.(2)原式=2lg5+2lg2+(1-lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+1-(lg2)2+(lg2)2=2+1=3.

对数换底公式及其应用

对不同底的对数式进行恒等变形时,可以用对数换底公式将底数换为相同的

数,可以根据题目的特点换为指定的底数,也可以换为常用对数或自然对数.

(2)已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645为

.解析

(1)原式=

+

×

=

log23×

=

.(2)解法一:∵18b=5,∴log185=b,∴log3645=

=

=

=

=

.解法二:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18,∴log3645=

=

=

=

=

.解法三:∵log189=a,∴18a=9.(1)化简:(log43+log83)(log32+log92)=

;又∵18b=5,∴45=5×9=18b·18a=18a+b.令log3645=x,则36x=45=18a+b,即36x=

=18a+b,∴

=18a+b,∴xlog18

=a+b,∴x=

=

.答案(1)

(2)

解题模板用已知对数式表示未知对数式,此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”,

然后用指定字母换元.跟踪训练2(

)已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,

+

+

=0,求abc的值.思路点拨思路一:设ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),可得x=logat,y=logbt,z=logct,代入

+

+

=0,利用对数的运算性质即可求得abc的值.思路二:设ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),可得x=

,y=

,z=

,代入

+

+

=0,利用对数的运算性质即可求得abc的值.解析解法一:设ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),∴x=logat,y=log