直线与直线垂直教案设计

8.6.1直线与直线垂直教案

课题直线与直线垂直单元第八单元学科数学年级高二

本节内容是空间直线与直线垂直，由常见立体图形导入，进而引出本节要学的内容。

教材

分析

教学1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察直线与直线垂直关系。

目标2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

与核3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利

心素于数学建模中推理能力。

养4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点直线与直线垂直，异面直线夹角

难点直线与直线垂直判定，求异面直线夹角

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中学生思考问问题导入引出新

的垂直又是什么样的呢？题，引出本节知。

n/新课内容。

讲授新课根据实例观察段炼学生空间想

1.探究：如图在正方体ABCD~A'B'CD'中，

体会线线垂直象能力

直线A'C与直线AB,直线A'D'与直线AB都

是异面直线，直线A'C与A'D'相对于直线

AB#了位置关系相同吗？

D'_____________________C

B,

A'

1

1

1

1________

/DC

✓/

A3

讲授新课不同

2.异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间

任意一点0分别作a'//a,b'//b,我们把a'与b'

探究异面直线掌握异面直线所

所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）

夹角成角范围

3.如果两条异面直线夹角为90°,那我们就说这两

条异面直线互相垂直。记作a±b当两条直线平行

时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°

Wa<90°

4.想一想：在平面几何中，垂直于同一直线的两直

线互相平行，在空可中这个结论还成立吗？

不成立反例如图。

5.练习一

1.异面直线所成的角的大小与0点的位置有关，即

学生独立完成段炼学生解决问

0点位置不同时，这一角的大小也不同.（

练习一题能力，培养其

）

空间想象能力

2.异面直线a与b所成角可以是0°.（）

3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，

那么另一条直线也与这条直线垂直.（）

注意：1.异面直线所成的角的大小与。点的位置

无关.

2.当直线a与b所成角是0。时，两直线平行，即

共面.

例一：如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'学生独立思考段炼学生空间想

(1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直？例一象能力

(2)求直线BA'与CC'所成角的大小

(3)求直线BA'与AC所成角的大小

:0

解(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C,CD',D'

A,所在直线分别与AA'垂直。

(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以

BB'〃(:C',因此NA'BB'为直线BA'与CC'

所成的角。又因为NA'BB'=45°,所以直线BA'

与CC'所成角等于45°。

(3)如图，连接A'C',因为ABCD-A'B'C'

D'是正方体，所以AA'//CC且AA'=CC',

从而四边形AA'CC'是平行四边形，所以AC〃A'

C'。于是NBA'C为异面直线BA'与AC所成

的角。连接BC',易知BC'是等边三角形，

所以NBA'C'=60%从而异面直线BA'与AC

所成角等于60%

O

求两条异面直线所成的角的一般步骤

(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线

或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.

(2)计算角：求角度，常利用三角形.

(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就让学生总结求段炼学生总结能

是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则异面直线夹角力，有助有数学

它的补角就是所求异面直线所成的角.的步骤建模

6.例二：如图在正方体ABCD-A'B'C'D'中，

0'为底面A'B'CD'的中心，求证：A0'±

BD

(---_

0.

学生独立思考

例二

证明:如图，连接B'D',：ABCD-A'B'CD'

是正方体加深对知识的掌

握

BB/〃DD',BB'=DD'

四边形BB'DD'是平行四边形

AB'D'//BD

二直线AO'与B'D'所成角即为直线A。’与

BD所成角

连接AB',AD'易证AB'=AD*

又O'为底面A'B'CD'的中心...O'为B'

D'的中点

/.A0,JLB'D,,A0*±BD

p,e

,0.

AB

7.例三

如图所示，四面体A-BCD中，E,F分别是AB,CD

的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=

2.求EF的长度.

小组讨论例三

A

并给出答案

培养其逻辑推理

能力

c

解:取BC中点0,连接0E,0F,如图。

VE,F分别是AB,CD的中点，.•.0E//AC且

0E=l/2AC,0F//AC且0F=l/2BD,A0E与0F所成的锐

角就是AC与BD所成的角

TBD,AC所成角为60°,/.ZE0F=60o或120°；

BD=AC=2,

...OE=OF=1当NE0F=60°时，EF=OE=OF=1,当N

E0F=120°时,取EF的中点M,连接0M,则0MLEF,

且NE0M=60°.*.EM=T,；.EF=2EM=6

4

ACxl/T

c

8.练习二通过练习逐步培

如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB做一做养学生将理论应

与CD的位置关系为（）用实际的。

A.相交B.平行C.既不相交，也不平行D.

不能确定

解：由题，则正方体的直观图如图所示,

易知，AB与CD既不平行，也不相交，

故选:C

9.练习三

四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面

互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为

解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连

接DE,则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于

三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的

角为60°

10.利用勾股定理证直线与直线垂直

在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和

CD所成的角

解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接

EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB

AZEMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角

MF=ME=2,EF=z近

.4.MF2+ME2=EF2

:.ZEMF=90°

二异面直线AB和CD的夹角是90°。

11.练习四

如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1,CC1,AD

的中点，则异面直线D1N与MP所成角的大小是

()

A90°B60°C45°D30°

___.C,

卜

k______1

课堂练习

一、已知长方体ABCD-A.B.CiD,,AB=1,AD=2,AAFI

独立完成练习加深对本节新知

则异面直线AB与AC所成角的余弦值为

的掌握

二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A'B'C

D'的棱A'B'与AA'的中点，平面DNM与平面

ABCD的交线记为1,则1与CM所成角的大小为

三、在正方体ABCD-A'B'CD'中，直线AC'