第4讲函数的表示法（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第4讲函数的表示法

一、教学目标

1.掌握作函数图像的两种基本方法，学会用函数的图象解决相关问题

2.掌握常见函数解析式的求法，并能够熟练的应用

二、知识点梳理

知识点一：函数的三种表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

1、解析法

圆的面积S是半径x的函数，可用式子5=衣2(彳＞0)来表示，这种常把常量和表示自变量的字

母用一系列的运算符号连接起来得到的式子叫做解析式

若在函数y=/(x)(xeA)中，/(x)是用代数式表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法。

2、图像法

用图像表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图像法

函数图像的特征：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等

3、列表法：

通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银

行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.

函数的三种表示方法的优缺点比较

优点缺点联系

解1、简明、全面地概括不够形象、直观、具体，而解析法、图象法、

析了变量间的关系.且并不是所有的函数都能用列表法各有优缺

法2、通过解析式可以求解析式来表示点，面对实际情境

出任意一个自变量所时，我们要根据不

对应的函数值同的需要选择恰

列不需要计算机就可以只能表示出自变量取较少的当的方法表示函

表直接看出与自变量的有限值时的对应关系数

法值对应的函数值

图能形象直观地表示出只能近似地求出自变量所对

象函数的变化情况应的函数值，而且有时误差

法较大

例1、某种笔记本每个5元，买xe{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x

为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.

解：这个函数的定义域集合是U,2,3,4},函数的解析式为y=5x,xe{1,2,3,4}.它的图

象由4个孤立点A(1,5)B(2,10)C(3,15)D(4,20)组成,如图所示.

例2、国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g

付邮资160分，依次类推，每封xg(0<xV100)的信函应付邮资为(单位：分)，试写出以x

为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.

解：这个函数的定义域集合是0<x<100,函数的解析式为丁

8O,x

G(0,20],«o*----

160,xe(20,40],

y=〈240,xe(40,60],320----------'

240)-----------,

320,xe(60,80],

KO-----------

400,XG(80,100],

这个函赘的图象是5条线段(不包括左端点)，都平行于x.

轴，如图所示，'®―mj

这一种函数我们把它称为分段函数.

知识点二：函数图像的变换

1、作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线;

2、变换作图法：

(1)平移：“上加下减(y),左加右减(x)”

⑵对称：/(%)关于,轴对称〉y=/(%)关力轴对称=/(-%),

俐3-%)

翻折：〜*柿部偏篝/尸心)

(3)

y=/(%)保留)，轴右边的图像，再把

y轴右边的图像对称到y轴左边=

例3、作出函数y=/,｝；=。+1)2,丁=犬-1的图像

例4、作出函数、=—匚，y=」_,丁=二1广=——的图像

X+1—X+1X+1-X+1

例5^作出函数y=,一2工-31及y=/-2凶-3的图像

例6、作出函数丁=x+，的图象

x

列表描点：

知识点三:求函数的解析式的方法

由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的

等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围.

求函数解析式的常用方法有：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法或消元法、

分段函数求解析式等。

代入法

例7、已知=求/(2x-l)的解析式.

变式训练

已知/(X)=2X2-3X+4,求/(3x-2)的解析式.

配凑法

原函数的表达式为/(f)=g(x),f是关于x的式子，要求f(x)的解析式，这时要把g(x)通

过变形、整理，使其变为只含有f与常数的式子，然后将f换成X,即可得到f(x)的解析式，

这种方法叫做配凑法.

例8、f(x+l)=x2-2x,求/1(x)的解析式.

变式训练

已知/(x+1)=x?-3x+2,求/(x)；

换元法

解题时，把某个式子看做一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使问题简化，这种

方法叫做换元法.

例9、已知函数/(«+l)=x+2&,求函数“X)的解析式.

变式训练

已知/(±W)=E，则“X)的解析式为.

1+X1+X

待定系数法

有些问题中，常用字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求确定这些系数,

从而使问题得以解决，这种方法叫做待定系数法.

例10、如果/(/(x))=2x-1,那么一次函数/*)=.

变式训练

1、已知/(x)是一次函数，且/V(x))=4x-1,求/(x).

2、已知/(x)是二次函数，且满足/(0)=l,/(x+l)—/(x)=2x,求/(x).

解方程组法或消元法

在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依

据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程

组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.

例11、已知/(x)+2/(-x)=/+2x,求/(x)的解析式.

变式训练

已知/(幻+2/山=无*工0),求f(x).

赋值法

在某些求函数解析式问题中，通过对自变量赋予特殊值，使其展现出其内在联系或减少变量个

数，从而解决问题的方法叫做赋值法

例12、设/(x)是R上的函数，且满足/(())=1,并且对任意实数,都有

f(x-y)=f(x)-y(2x-y+\),求/(x)的解析式.

三、课堂练习

1、下列各图中，能作为y=/(x)的图象的是()

2、已知函数/(x),g(x)分别由下表给出:

123

/(%)131

123

g(x)321

则f(g⑴)=，满足/(g(x))>g(/(x))的x的值是.

3、一个面积为100°疗的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，把它的高>表示

成x的式子为()

B

A-y=50x(x>0)y=100x(x>0)。、=4(》>0)=122(%>0)

XX

4、某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求出售出彩电数量x(台)与新进彩电销

售总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来。

5、求下列函数的解析式：

(1)已知/(%)=*2+2羽求/(2x+l)；(代入法)

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求函数f(x)的解析式。(待定系数法)

(3)已知f(2x+D=3x-2,求函数f(x)的解析式。(配凑法)

(4)已知/(五-l)=x+2,求/'(x)；(换元法)

(5)已知/(x)-2/(1)=3x+2,求/(x).(消去法)

四、课后作业

1、函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，再向上平移b(b>0)个单位，所得图象的函

数解析式是()

A.y=f(x—a)+bB.y=f(x+a)—bC.y=f(x—a)—bD.y=f(x+a)+b

2、一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%,成

本y是经过年数x的函数(OVxVm),其关系式为()

A.y=a(l+p%)x(O<x<m)B.y=a(l—p%)x(O<x<m)

C.y=a(p%)x(0VxVm)D.y=a一(p%