高中数学必修一 精讲精炼基本不等式（精讲）(含答案)

2.2基本不等式(精讲)

思维导图

Va,b£R,有a・+b22ab,当且仅当。=b时，等号成立

重要不等式

如果a>0,b>0,>/ab<^-9当且仅当a=b时等号成立

/如果aX),b>0,而手，当且仅当。=6时，等号成立.

基

本

不4其中审叫做正数。，6的算术平均数，迎叫做正数。，力的几何平均数

等

基

式

本

\ab4(/)2,a,6CR,当且仅当a=b时，等号成立.

不

等

式

用基本不等式手如,求最值应注意：

(1比，J,是正数.

QXD如果划等于定值P,那么当xqy时，和x+j•有最小值9

②如果x+j•等于定值S,那么当工可・时，积亚有最大值卜

基

本(3)讨论等号成立的条件是否满足

不

等(1)拼凑法：就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项

式(2)常数代换法：构造和式或积式为定值的式子，应把“1”的

求表达式与求最值的表达式相乘求积或相除求商.

最

值<

不等式成立的条件是a,b都是正数

“当且仅当”的含义

(1)“一正"各项必须为正数；

(2)“二定"

概念理解要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；

要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立

的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这

也是最容易发生错误的地方.

要灵活运用基本不等式，特别注意其变形

应注意成立的条件

比较大小6a+b22[7成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=6

\『十房22ab成立的条件是a,Z>GR,等号成立的条件是a=b

基

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立

基

本

本

不

等②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用

不

证

式③不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模

等

不

明

式

等

式型，再使用.

解

题(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑

出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本

思

求不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注

路

最意脸证等号成立的条件.

值

(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构

的

两造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用

种

常此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘

用求积或相除求商.

方

法

(1)先理解题意，设变量.

解

决

实

际,(2)建立相应的函数关系式.

问

题〕(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值

步

的

骤、(4)正确写出答案

常见考法

考点一基本不等式求最值

【例1-1](1)(2021•湖南邵阳市)若正实数x,y满足2户产1.则灯的最大值为()

1111

A.-B.-C.-D.—

48916

(2)(2021•六安市裕安区新安中学)己知0<x<l,则x(3—3x)的最大值为()

1123

A.—B.-C.—D.一

2434

【答案】(1)B(2)D

【解析】(1)2x+y>2j2x-y.'.I>•.•孙《：当且仅当2x=y=4时取等号,

即盯的最大值为:故选：B

O

(2)因为0<x<l,所以l-x>0,x〉0,

所以x+(l-x)22jx(l-x),当且仅当x=l—即x=g时，等号成立，

所以2"(1-尤)W1,整理得x(l—x)4；,即x(3—3x)4；

3

所以x(3-3x)的最大值为一.故选：D.

4

【例1-2】⑴(2021•北京高一其他模拟)若x>0,则函数〃x)=x+g+3的最小值为

4

(2)(2021•云南文山壮族苗族自治州)己知xc(3,+8),函数y=x+—^的最小值为()

x-3

A.4B.7C.2D.8

【答案】(1)5(2)B

【解析】⑴因为x>0,则函数/(司=%+,+322卜,+3=5,当且仅当x=L即x=l时取等号,

X\XX

此时〃力取得最小值5.故答案为:5.

4

(2)因为%£(3,+8),所以％—3>0,---->0,

x—3

44I~

y=x+----=(%-3)+----+322J(x-3)x----+3=7

x—3x—3vx—3

44

当且仅当X—3二——即x=5时取等号，所以y=x+——的最小值为7.故选：B

x-3X-3

11

一+一

【例1-3](1)(2021•上海市大同中学)设。、》为正数，且。+匕=1,则。〃的最小值为.

(2)(2021•河北石家庄市)已知x>0,y>0,且x+3y-5移=0,则3x+4y的最小值是()

A.4B.5C.6D.9

【答案】(1)4(2)B

【解析】(1)因为。、。为正数，且a+Z?=l，

所以L+—=(—+—)x1=(―+—)x(a+b)-1+—+—+1>2+2.1—x—-4,

abababba\ba

当且仅当a=b=\时取等号即-+-的最小值为4.故答案为：4

ab

(2)由x+3y-5孙=0,得一+—=5,

所以3x+4y=，f，+2](3x+4y)=，(13+旦+包]2』(13+2户口)=5,

51yX)5^yx)5\yx

当且仅当x=l,y=,，取等号.故选：B.

2

【例1-4](2021•永丰县永丰中学高一期末)函数/Xx)=三土四(%>1)的最小值为()

X-1

A.273B.3+26C.2+20D.5

【答案】B

【解析】因为x>l,所以x—1>0,

所以f（X）=厂+x+l=（xT）~+3（-=*_］）+_2_+3>2,（x-l）.—+3=26+3,

x-1x-\x-\Vx-\

3

当且仅当x—1=——，即X=6+1时取等号，

x—1

所以函数f（x）==2（x>l）的最小值为3+2石，故选：B

x-\

【一隅三反】

1.（2021.•浙江高一期末）已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy（）

A.有最大值为1B.有最小值为1C.有最大值为!D.有最小值为g

22

【答案】C

【解析】•.•x>0，y>0,且x+2y=2,.•・孙=$2%2y）2=；x⑴?=g,

当且仅当x=2y=l,即x=l,y=，时，取等号，故孙的最大值是：；，故选：C.

2.（2021•山西晋中市•高一期末）已知a>0,b>0,且2a+匕=4,则仍的最大值为（）

11

A.—B.4C.—D.2

42

【答案】D

【解析】•.•”>（），b>0.•.2a+匕=4N2j^石（当且仅当2a=。时取等号）

:.2ab<4,解得：ab<2,即ah的最大值为2故选。

3.（2021•苏州市苏州高新区第一中学高一月考）若％<0,则x+'（）

x

A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为-2D.有最大值，且最大值为-2

【答案】D

【解析】x<0,;「x>0,—x+（-L）N2,当且仅当x=-l取"=”所以x+44—2故选：D

XX

4.（2021•北京师范大学万宁附属中学）当％>1时，X+一匚取得最小值时x的值为（）

X-1

3

A.0B.-C.3D.2

2

【答案】D

【解析】因为％>1,所以x+」一=x—l+」一+122j（九一1>-I-+1=3,

x-\x-\vx-1

当且仅当X—1=——即％=2时等号成立，所以X+」一取得最小值时x的值为2.故选：D.

X—1X—1

19

5.（2021.安徽省泗县第一中学）函数〃幻=片+^^>1）的最小值为（）

【答案】A

尤9191lx-19—113

【解析】因为％>1，所以x-l>0,所以/。)='+二=上(彳一1)+<+!..2,土」-'+上=旧.

4x-14x-14V4x-144

x-]013

当且仅当上」==，即x=7时等号成立，所以的最小值为'.故选：A.

4x-14

12

6.（2021•北京师范大学万宁附属中学）已知。>0,。>0,—+—=2,则a+匕的最小值为（)

ab

3-2后3+2血

C.3-272D.3+2拒

22

【答案】B

【解析】因为a>0,b>Q，且,+2=2,

ab

,If12、/八'Jb2a

_+_,(fl+z,)=_3+_+_

当且仅当人=&0即4=也上L八=正=时，。+从有最小值3±2亚.故选：B.

222

21

7.（2021•苏州市第五中学校高一月考）正实数x,V满足：2x+y=\,则当一+一取最小值时，%=_

xy

【答案】《

3

【解析】x>0,y>0,2x+y=l

.•.-+-=f-+-l（2x+j）=5+^+—>5+2^^=5+2V4=9,当且仅当义=生，即

xy\xyfxy\xyxy

x=y=1时，等号成立.故答案为：

-33

8.（2021•浙江高一期末）若正数x,y满足x+3.y=5刈，则3x+4y的最小值是.

【答案】5

31

【解析】由条件x+3y=5孙，两边同时除以得到一+一=5,

%y

那么3x+4y=—(3x+4_y)(—+—)=—(13++—)>—(13+2I—^-x—)=5

'5xy5xy5\xy

12y3x1

行工成"的条件是——二—.即内=2、;Cx=Lv=—.

%y2

所以3x+4y的最小值是5,

故答案为：5.

x2+5

9.（2021•全国高一课时练习）函数y=-j的最小值是___________.

yjx2+1

【答案】4

,____x?+54

【解析】令"Jf+iN],则丁=/、=/+—―4,当且仅当/=2,即x=土石时，ymin=4.

-Vx2+1t

炉+5

所以函数y=—7=^的最小值是4.故答案为：4

VX+1

x1-3x4-4

10.（2020•河北联邦国际学校高一月考）已知x<3,则y=―〜上的最大值是

x-3

【答案】-1

.也〃工厂Yx~-3x+4(x—3)~+3(x-3)+44

【解析】y=---------=-^------------------=(zx-3)+----+3

x-3x-3九一3

4

x<3»「・尢一3<0,----<0,

x—3

4「41I4~

（X-3）H-----=-（3-x）+<-2.（3-x）x----=-4

x-3L3-x」V3-x

4

当且仅当工-3=——，即x=l时，等号成立，

x—3

f—3x4-4

所以y=”"十一的最大值为T+3=-1

x—3

11.（2020•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）函数y=3x+」一（x>l）的最小值是_____

x-1

【答案】273+3

士+3川3g)x去

【解析】因为x>l,所以y=3（x—1）++3=26+3，当且仅当

3（x—l）=J~j即x=1+也时等号成立.所以函数丁=3%+白（%>1）的最小值是2档+3.选：【）.

考点二利用基本不等式求参数

【例2】（1）（2021•北京东直门中学）若对任意的xe（0,+8）都有x+则。的取值范围是（）

X

A.（-8,2]B.（-oo,2）

C.(2,+oo)D.[2,+«>)

（2）（2021•浙江高一期末）a>0,b>0,且a+»=l,不等式'——/〃20恒成立，则山的范围

2ba+b

为.

【答案】（1）A（2）加〈夜

2

【解析】因为xe（0,+8），则=当且仅当了=!，即产1时等号成立，所以aV2,

X\XX

故选：A

(2)解：因为。+2/?=1,

匚”11/111心心1[b3a+bb

2ba+h\2ba+hJ2b2a+b22ba+b

b

a+b

当且仅当牛=4,即a=（0-1）/;时，取等号,

2ba+b

因为不等式」-+」一一加20恒成立，所以加小于等于」-+二一最小值，所以加4收+之，

2ha+h2ba+b2

_3

故答案为：/篦<J^十不

2

【一隅三反】

}T[31

1.（2021•广东深圳市）已知〃>0*>0,若不等式一y—二—恒成立，则团的最大值为（)

3a+bab

A.13B.14C.15D.16

【答案】D

【解析】因为。>0力>（）,所以3。+人>0,

（鸿）（3»）

所以加V（3a+6）恒成立，只需

因为。>0力>0,

QQ1

当且仅当机==时，即a=b时取等号.所以加<16.即机的最大值为16.故选：D

ba

2.（2021•江苏苏州市）当x>-l时，不等式恒成立，则实数。的取值范围为（）

\+x

A.a<2B.a>2C.a>\D.a<\

【答案】D

【解析】•.•当x>-l时，x+l>0,

.-.X+—!—=（x+l）+—--1>2J（X+1）--!—-1=1,

x+i'7x+iVx+\

当且仅当x+l=-L,即x=0时等号成立，故选：D.

x+1

3.（2021•临澧县第一中学）已知1>0,y>0,且2x+y=l,若恒成立，则正实数〃的最小值

xy

为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】因为2x+y=L，+0之8恒成立，即（2x+y）[，+y]N8

xy[%y）

「laxy、02axy、，

所以2+——+—+d?>8,即——+二26-。，

y%

乂浊+42-----?=2yl2a,所以6-a22J2an（6—a）~W（2J2aJ

y尤

所以20a+36W0=（a—2）（。一18）40,所以2«aW18,

所以正实数。的最小值为2.故选：A.

4.（2021•浙江）当0<x<，时，不等式L+」——机20恒成立，则实数机的最大值为（）

4xl-4x

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

1141

【解析】不等式一+-------加20恒成立化为机W—+-----恒成立，

xl-4x4xl-4x

因为Ovx<,，所以l-4x>0，

4

所以汽+，=（4川一甸（且+，］=5+工+址3

4xl-4x'\4x\-4x）l-4x4x

25+20匚三三五=5+4=9,当且仅当=-=4（l：4x）,即尤时，等号成立

Vl-4x4xl-4x4x6

所以mW9,所以加的最大值为9.

故选：C

考点三利用基本不等式比较大小

【例3】2021•全国高一课时练习）已知xy都是正数，且xwy.

求证：（1）上+*>2；（2）—<\/xy.

xyx+y

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】⑴门>0,丁>0,.」>O,£>。，，2+益？口曰=2,由于当且仅当上=2，即x=y时取

等号，但xwy,因此不能取等号，••・y上+—x>-2；

（2）;x>0,y>0,:.x+y>2^,，:六《才;=而’当且仅当％=旷时取等号，但了^丫，因此不

能取等号，，过<而.

尢+y

【一隅三反】

23

1.（2021•全国高一课时练习）设了>0，求证：x+---->-.

2x+l2

【答案】证明见解析;

【解析】证明：因为尤>0,所以x+4>0,

2

2=1111^(Ml

所rr以pIXH--2-x-+--lX-\--"----=XH--2-1----1----2-22AX-\2)....1-

22V2

y_|________I

当且仅当2~—T,即尤=—时，等号成立.

x+-2

故不等式得证.

a2h2

2.（2021•全国高一课时练习）已知：。、匕是正实数，求证：—+^-^a+b.

ba

【答案】见解析.

2

【解析】由基本不等式得出幺+b>2J--b^2a>—+a>22b，

bVba

上述两个不等式当且仅当a=力时，等号成立,

2.22r2

由同向不等式的可加性得3•+幺+a+bN2a+2b,即巴•+幺2”+从

baba

3.（2021•长沙市南雅中学）已知a>0,b>0,a+b=\,求证：

(1)a2+b2>-；(2)-+-+—>8.

2abab

【答案】证明见解析.

【解析】证明：（1）因为。>0,>>0且。+人=1,而W竺2=_1（当且仅当。=人=_1时取等号），即

222

ah<—,—Icih2—»所以1—2ab2—,

422

又(。+=/+2ab+/=1,

所以“=1—2ab2—；

2

(2)因为a+/=1,a>0力>0,

11111a+b

所以一+：+一7=—+—+----

abababab

>4J-x-+4=8，

h

当且仅当a=〃=1时，等号成立，所以，+工+-!-38.

2abab

4.（2021•湖南）已知“，Z?eR.

（1）求证：a2+b2>2（a+b-i）；

149

（2）若。>0,b>0,。+力=3,求证：一+----2—.

a〃+14

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）/+加一2（4+8-1）=（42-2〃+1）+（从一28+1）=（4-1）2+9一1）2之0,

当且仅当。=力=1时等号成立，

所以/+〃223+6—1）,当且仅当。=8=1时等号成立；

（2）由条件有a+（/?+l）=4,且a>0,8+1>0，

14141"

又-+-=-5+a+

4+4+4

当且仅当?=必-,即h+l=2a时等号成立,

ab+\

45

此时由。+/?=3得。=—，b=—,即证.

33

考点四基本不等式的概念理解

[例4]（1）（2021•广东深圳市）（多选）下列结论不正确的是（）

A.当x>()时，\[x+-^=>2

x2+5

B.当x>0时，\的最小值是2

《X2+4

25

C.当x<0时，2x—l+-----的最小值是己

4x-52

,八c149

D.设x>（）,y>0,且x+y=2,则一+一的最小值是一

xy2

（2）（2021•江苏南通市江多选）当x>0,y>0时，下列不等式中恒成立的有（)

2xyI—114D」+六5

A.—―<JxyB.-+->-----

x+yxyx+yxyyjxyx+y

【答案】(1)BC(2)ABD

2,当旦仅当41

【解析】（DA.当x>0时,y[x+1—’N2~j=»即尤=1时等号成立，A

yJX

正确；

B.当X>()时，=&+4+_^=。2kx2+4X_=2,当且仅当Jf+4=/-

Jf+4Jf+4'VX2+4y/x2+4

时等号成立，但Jf+4=无实解,故最小值2取不到，B错;

VX2+4

25

C.当x<0时，2x-l+-~~-<0,最小值显然不是正值二，C错;

4x—52

D.设x>0,y>0,Rx+y=2,则

141、45+4土]小2乒、9y4x

_+_=q(zx+y)当且仅当上=——，即

xy2J4)2ly)2l5yJ2xy

24

x==］时等号成立，D正确.故选：BC

2xyi2xyi-

(2)对于A,工7<素7=J孙当且仅当工=>时取等号'正确.

对于B,I-+-|(^+^)=2+-^+->4,当且仅当x=y时取等号，正确.

y)%>

11x+y2

对于c,-+-=-=—,当且仅当x=y时取等号，错误.

Xy孙孙yjxy

对于D,(x3+/)(%+=(x+>')2(%2+y2-xy)^4x2y2,当且仅当x=y时取等号，正确.

故选：ABD

【一隅三反】

1.（2021•淮安市阳光学校）（多选）下列判断正确的有（）

416

A.x+—>4（%^0）B.xd------>6（%>0）

xx+2

9D.J^i>2(xeR)

C.4X27+^>12(X^0)

xVX2+2

【答案】BD

44(4)

【解析】选项A中，尤>0时，x+->4,l<0时，x+—=--1+―<-4,故错误;

XX\-X)

选项B中，x〉0时，x+2>2,故XH--------=X+2H------2N2yl16-2=6，故正确;

x+2x+2

QQ03

选项C中，XH0时/>0,贝1」4/+二2214/、二=12,当且仅当4尤2=F时，即/=一时取等号,

x2Vx2X22

故错误;

I.—*2+3*+2+1I~2-1

选项D中,XGR时E?夜’则E=忑==G+B"'当且仅当

____/+3

+2=1时取等号,故Jx2+220知等号取不到,但-/>2（XEH）是正确的.

\JX+2

故选：BD.

2.（2021•江苏常州市）（多选）设正实数。、b满足a+8=l,则（）

A.J益有最大值;11

B.-----F有最小值3

a+2b2a+b

C./+〃有最小值gD.6+脑有最大值

【答案】ACD

【解析】设正实数。、。满足a+8=L

对于A选项，由基本不等式可得J拓W"=!，当且仅当时，等号成立，A选项正确;

222

由基本不等式可得二7+丁二=!(3a+3b)]—!+丁二]

对于B选项,7r

。+2。2。+/?3v\a+2b2a+b)

）+（2。+知（七+熹只2a+ba+2h

-----F

4+2〃2a+h

1f_行la+2b2a+b4

3\N2a+ba+2b3

当且仅当Q=〃=L时，等号成立，B选项错误;

2

对于C选项，6Z2+=（6Z+/7）2-2^>（6Z+/7）2-2X1,

当且仅当Q=〃=1时，等号成立，C选项正确；

2

对于D选项，•;（«+&）=a+b+2y[ab<2（tz+Z?）=2,则G+血4后，

当且仅当〃=〃=一时，等号成立，D选项正确.

2

故选：ACD.

3.（2021•全国高一课时练习）（多选）已知。、方均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（）

a+b+-^>3

A.B.11>4

yfaha+b

2ab1—r

C.D.-->\/ab

yJab7ya+b

【答案】AD

【解析】对于A,a+b+-^=>24ab+-i=>2y/2<3,当且仅当°=。=也时等号同时成立；对于B,

yjab7ab2

,1ahcJab,

a+b）\—I—=2H1—>2+2./-----=4,当且仅当a=〃时取等号;

\ab）ba\ba

对于c,安上*（a+匕）=a+b，当且仅当。=匕时取等号;

\Jab2y/aba+b

对于D,当〃二,，人=』时，

23

_2abf—r

所以/<\lab.

7a+b

故选AD.

4.（2020•江苏镇江市•高一月考）（多选）已知。、b、ceR.若。>。>0,则（）

•,c、2abf—r11

A.ac~>be2B,a~<ab<b~C.-----<\]abD.—>—

a+bab

【答案】AC

【解析】对于A选项，Q/NO，Q>人>0,.,.QC?，A选项正确；

对于B选项，•・・a>b>0,.•.c/>ab,ah>b2,即片〉。/?〉"，B选项错误；

对于c选项，因为。>。>0,由基本不等式可得。+。>2，石=第，.-.2吆〈疝，C选项正确；

7aba+b

对于D选项，—>—，可得一V—，I）选项错误.

ahahab

故选：AC.

5.（2021•辽宁大连市）（多选）已知正数〃，b,则下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\/abB.++N4

C.（a+b）2>2（a2+b2}D.>疝

''a+b

【答案】AB

【解析】对A,•••。>03>0,a+石，当且仅当。=力时等号成立，故A正确；

对B,•.♦•>（）力>0,（a+^）|-!-+-!->|=-+-+2>2J---+2=4,当且仅当时等号成立，故B

\ab）ah\ah

正确；

对C,（a+b）2-2（a2+b2）=-a2+2ab-b2=-（a-b）1<0,即（a+/?）242（Y+〃），故C错误；

Xjl）,-.-a>0,b>0,a+b>2\[ab:\a+b）\[ab>2ab,即一^当且仅当a=8时等号

成立，故D错误.故选：AB.

6.（2021•山东高一期中）（多选）若a,be/?*,则下列不等式中正确的是（）

A.X而

B.

2

D.（a+匕）]，+\）24

C.

ab

【答案】ACD

【解析】由基本不等式a+b..2J益可知空2..2JZ石，当且仅当。=b时等号成立，选