高中数学必修二演习册谜底

数学（必修2）第一章空间儿何体［基础训练A组］

一、选择题

I.A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台

2.A因为四个面是全等的正三角形，则S表而积=4s底而积=4x手=G

3.B长方体的对角线是球的直径，

_________5五

/=V32+42+52=5/,2/?=5五,7?==，5=4"/?2=50%

2

4.D正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a

"=2%切球，切切球=］，=2%接球，琢接球=;一，。切球：你接球=1：6

1,3

5.DV=I/大圆锥-V小圆锥=］万广（1+1.5-1））

6.D设底面边长是。，底面的两条对角线分别为//，而片=152—52,/；=92—52,

而/；+/；=4/,即］5?—52+9?-5?=4/,a=8,5to积=c、〃=4x8x5=160

二、填空题

1.5,4,3符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台

2.1:272:3736::弓=1:0:：弓3：弓3=「：陋）3:（G）3=1：2/：3』

3.-o3画出正方体，平面与对角线4。的交点是对角线的三等分点，

6111

三棱锥O—的高/z=^aW=,S〃='x@x2a2x3=La3

333436

或：三棱锥。-也可以看成三棱锥4-。为。显然它的高为A。，等腰三

角形。片，为底面。

4.平行四边形或线段

5.V6设a。=6,be-百,ac=V6,fflijabc—#,c=百,a=V2,c=1

I——3+2+1—V6

15设=3,bc=5,ac=15则(。匕cP=225,V=abc=15

三、解答题

1.解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16〃，则仓库的体积

,11(16?”256”一、

z=-Se/h=—xyrx\—\x4=---n(M')

如果按方案二，仓库的高变成8M,则仓库的体积

“1c；1(12V288»八

V^=-S/i=-x^-xl—Ix8o=—(M)

(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.

棱锥的母线长为I=>/82+42=475

则仓库的表面积5=38*4后=326万(〃2)

如果按方案二，仓库的高变成8M.

棱锥的母线长为/=582+6?=10则仓库的表面积

2

52=^X6X10=60TT(A/)

⑶•.•%>匕，52<5,二方案二比方案一更加经济

2.解：设扇形的半径和圆锥的母线都为/,圆锥的半径为r,则

-?>7r,l-3；空~乂3=2兀r,r=\；

3603

S表Hit积-S侧面+S底而=7vrl+万广=4万，

V=1S/J=-X^X12X2V2=^^^

333

第一章空间儿何体［综合训练B组］

一、选择题

1.A恢复后的原图形为一直角梯形5=3(1+收+1)X2=2+J5

ccR,GR,,12,V3a

2.A2兀r=7iR,r=—,/z=----,V=—7rrh=——TCR

22324

3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则26=2R,

/?=6,5=4万/?2=12不

4.AS侧面积=灯(r+3r)l=84兀,r=7

V1+2+47

5.C中截面的面积为4个单位，'==，

V24+6+919

6.D过点瓦尸作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，

15

V=2x—x—x3x2+—x3x2x—=——

34222

二、填空题

1.64画出圆台，则八=1,4=2,/=2,S圆台侧面储+弓)/=6万

2.16%旋转一周所成的几何体是以为半径，以46为高的圆锥，

121.,

V——7ir~h=—^x4~x3=l6兀

33

3.<设丫=—万/?。=/,〃=，

3丫4万

5„；=6a2=6护=1216-2,s球=4兀*=56兀V?<^216V2

4.V74从长方体的一条对角线的•个端点出发，沿表面运动到另一个端点，有两种方案

附+(3+5)2=闻或42+(3+4)2=774

5.(1)4(2)圆锥

6.哀IE设圆锥的底面的半径为广，圆锥的母线为/,则由4/=2勿得/=2r,

3万

即直径为噜

而S|如锥表=兀f+乃厂•2r=。，即371rl

三、解答题

1.解：V=-(S+VsF+S')h,h=----—

3S+卮+S'

,3x190000”

h=-----------------------=75

3600+2400+1600

29

2.解：^-(2+5)/=^(22+52),/=—

7

空间儿何体［提高训练C组］

一、选择题

1.A儿何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得

2.B从此圆锥可以看出三个圆锥，弓：々：弓=1:2:3,/,:与：4=1：2：3,

5,:52:53=1:4:9,^:(52-:(53-52)=1:3:5

3DV正方体一8丫二棱锥=1-8X!X；X；X；X；=:

32ZZZo

4.D匕：匕=(S/i)：(；S/z)=3：l

5.C匕：匕=8:27/：弓=2:3,5:$2=4:9

6.A此几何体是个圆锥，r=3,/=5,力=4,=^x32+^x3x5=24万

V=-TVX32x4=127r

3

二、填空题

1.竺包乃设圆锥的底面半径为「，母线为/,贝iJ2ir=工7/,得/=6r,

73

15

2

S=71r+7ir・6r=1兀r?\5TV，得r=圆锥的高力=

152573

—=---------71

33777

苧S全=2兀R'+7tR~-3兀R,—Q,R—

2271010

V^-7rR3^7rR2.h,h^-R,S^27rR2+27rR-R^—7rR2^—Q

33339

3.8弓=2不匕=8K

4.---------

4.12V=Sh=7ir2h=/?=^/64x27=12

3

5.28V=++S')/i=1x(4+74x16+16)x3=28

三、解答题

1.解：圆锥的高力=J^H=2j5,圆柱的底面半径r=1,

S表面=2s底面+S伸］面=2万+"x6=(2+省)%

2.解：S表面=S圆台底面+S.倍侧向+S网锥侧面

=^x52+^x(2+5)x3^2+%x2x2^2

=25(夜+1)打

=；万（尸+八弓+42）〃_；乃产//

148

--——71

3

第二章点、直线、平面之间的位置关系［基础训练A组］

一、选择题

1.A⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内

2.D对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；

对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间

出现了有三个直角的空间四边形

3.D垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系

4.B连接则AC垂直于平面V8F,即ACJ.PF,而DE〃AC,；.DE工PF

5.D八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交

6.C当三棱锥O-A8C体积最大时，平面。AC_LABC,取AC的中点。,

则△DB。是等要直角三角形，即NOB。=45°

二、填空题

1.异面或相交就是不可能平行

2.[30°,90°]直线/与平面a所成的30°的角为〃?与/所成角的最小值，当机在a内适当

旋转就可以得到l-Lm,即m与I所成角的的最大值为90°

3.坐作等积变换:+J2+J3+J4）=^x^x/z,=

4.60°或120°不妨固定A6,则AC有两种可能

5.2对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间;

（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的

三、解答题

EHZBCD

1.证明：FGuBCDEHHBCD,BDuBCD=EHHBD

EH//FG

2.略

第二章点、直线、平面之间的位置关系[综合训练B组]

一、选择题

1.C正四棱柱的底面积为4,正四棱柱的底面的边长为2,正四棱柱的底面的对角线为

2起，正四棱柱的对角线为2指，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即2/?=2"，/?=遥,5球=4万/?2=24万

2.D取的中点G,则66=1,尸6=2,后尸_1/6,则后尸与。£）所成的角/£尸6=30°

3.C此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线

4.C利用三棱锥的体积变换：V.=匕ABD，KiJ-x2x4=-x6x/i

111/1|-ABDZl-/1[£7]£_/[33

11cr6a瓦2

5B展即=%川=产=丁万*石-=-^-

6.D一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；

这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

二、填空题

1.27分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分

2.异面直线；平行四边形；80=AC；BDLAC,6。=4。且8。_14。

3.60°

4.60°注意P在底面的射影是斜边的中点

.y［^a

5.

2

三、解答题

1.证明：•.”〃c,.•.不妨设仇c共面于平面a,设aDb=A,anc=8

:.Aea,Bea,Aea,B&a,即aua,所以三线共面

2.提示：反证法

3.略

第二章点、直线、平面之间的位置关系［提高训练C组］

一、选择题

1.A③若加//a,nHa,则加//〃，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系

④若a，7,77_Ly,则a〃尸，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交

2.C设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,贝+=。2,/+12=人2,/+22=。2

得X?+/+/=J_(Q2+匕2+C2),则对角线长为+从+C?)=也Ja」+/+，2

■2V22

3.B作等积变换%一8°=%.他)

4.B8。垂直于CE在平面A8CO上的射影

5.CBCLPA=>BC1.AH

取AC的中点E,取CO的中点/，EF=L,BE=立,BF=2

6.C

222

cos”空=立

BF3

7.C取SB的中点G,则GE=GF=q,在中，EF^—a,NEFG=45°

22

二、填空题

1.5cm或1cm分A,8在平面的同侧和异侧两种情况

2.48每个表面有4个，共6x4个；每个对角面有4个，共6x4个

3.90°垂直时最大4.30°底面边长为26，高为1,tan6=一

V3

5.11沿着PA将正三棱锥P—ABC侧面展开，则4,D,E,A'共线，S.AA//BC

三、解答题：略

第三章直线和方程［基础训练A组］

一、选择题

1.Dtuncc——1,k=—1,—=-1,a=b,a—h=0

b

2.A设2x+y+c=0,又过点P(—1,3),则—2+3+c=0,c=-1,即2x+y—1=0

4-tncaci。八c八

3.B----=—2,m=-84.Cy=—x-\—,k=—>0,—<0

m+2------------------------hbbb

5.Cx=l垂直于x轴，倾斜角为90°,而斜率不存在

6.C筋2+〃］一3,加2一加不能同时为0

二、填空题

,30,|1-(-1)+1|30

1.-------d=■----产-----=------

2722

2.l2:y=-2x+3,/3:y=-2x-3,Z4:x=2y+3,

,-1-01

3.2x-y-5=0k=--,A:=2,y-(-l)=2(x-2)

a

4.8f+V可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d=

2

5.y=§x平分平行四边形ABC。的面积，则直线过8。的中点(3,2)

三、解答题

1.解：(1)把原点(0,0)代入Ax+5y+C=0,得C=0；(2)此时斜率存在且不为零

即4/0且8*0；(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即5=0且C/0；

(4)A=C=O,且BwO

(5)证明：•.•P(Xo,%)在直线Ax+5y+C=0上

Ax0+Byn+C=0,C=-AXQ-By0

A(x-x0)+B(y-y0)=0o

,19

2x+3y-5=01347

2.解：由《，得《2,再设2x+y+c=0,则。=——

3x—2y-3=0913

'Iy=一13

2x+y----=0为所求。

■13

3.解：当截距为0时，设y=Av，过点A(l,2),则得女=2,即y=2x：

当截距不为0时,设土+上=1,或+上=1,过点A(l,2),

aaa-a

则得a=3,或。=一1,即x+y-3=0,或x—y+l=O

这样的直线有3条：y=2x,x+y—3=0,或x—y+l=O。

4

4.解:设直线为y+4=k(x+5),交x轴于点(一一5,0),交y轴于点(0,5左一4),

S=—x---5x|5左一4|=5,40---25k

k

得25公_30%+16=0,或25k2—5(U+16=0

9Q

解得女=±，或k=2

55

2x-5y-10=0,或8x-5y+20=0为所求。

第三章直线和方程［综合训练B组］

一、选择题

线段48的中点为(2,g),垂直平分线的左=2,y-|=2(x-2),4x-2y-5=0

-2-3m+21

-------二-；------jn=—

3.B令x=0,则y=-〃

fx—3=0

4.C由京一y+1=3攵得左(x—3)=y-1对于任何Z£R都成立，则＜

y—1=0

5.Bcos^-sin^+sin^-(-cos^)=0

6D把3x+y—3=。变化为6x+2y-6=o,则公穿=噜

二、填空题

1.2方程国+卜|=1所表示的图形是一个正方形，其边长为J5

2.7x+24y+70=0,或7x+24y-80=0

设直线为7x+24y+c=0,d==3,c=70,或一80

3.3巧丁的最小值为原点到直线3x+4y=15的距离：J=y

44

4.—点(0,2)与点(4,0)关于丁一1=2(1一2)对称，则点(7,3)与点(也与

〃+3.~〃z+7〜23

--------1=2(---------2)m--

也关于)，-1=2(X—2)对称，贝/22，得5

〃一3121

------——n=——

、机一7215

5.(：,：)ax+by=1变化为ax+(k-a)y=l,a(x-y)+6一1=0,

x-y=0

对于任何aeR都成立，则《

6T=0

三、解答题

1.解：设直线为y-2=A(x+2),交x轴于点(二一2,0),交)，轴于点(0,2%+2),

122

S=-x-+2x|2k+2|=l,4+-+2左=1

2k11k

得2A2+3k+2=0,i^2k2+5k+2=0

解得后=—_1,或k=-2

2

x+3y-2=0,或2x+y+2=0为所求。

得两直线交于(V，*记为号*则直线位

2.解：由＜4

垂直于所求直线/,即勺==4,或匕=兰24

，315

4T,24

；.y=1X,sKy-l=—x,

即4x—3y=0,或24x—5y+5=0为所求。

3.证明：•.•4,£。三点共线，；."C="8

U|J-------------------------------------------------------

c-ah-a

c-ci

二—)=7一[/(&)-/(«)]

b-a

即以=/(。)+产"())一/(。)]

b-a

〃c)的近似值是：/(«)+1[/(^)-/(«)]

b-ci

4.解：山已知可得直线CP〃,设CP的方程为y=—鼻x+c,(c>1)

C-\J3r-1

则-j==A8x-y=g,c=3,y=--^-x+3过尸。

Jl+g232

得1=一直机+3,〃？=迪

232

第三章直线和方程［提高训练C组］

一、选择题

1

l.Atana=——

3

2.D\PQ\=^(a-c)2+(Z>-J)2=yl(a-c)2+m2(a-cy=\a-c\\J\+m2

3.DA(—2,1),B(4,—3)4.AB(2,5),C(6,2),忸C|=5

5.D斜率有可能不存在，截距也有可能为0

6.B点尸(1,1)在直线3x+y—4=0上，则过点尸(1,1)且垂直于已知直线的直线为所求

二、填空题

131

1.-24:y=2x+3,:-x=-2y+3,y——x+———k3=—2

2.X+y—7=02(3,4)l的倾斜角为45°+90°=135°,tan135°=-1

3.4x-y+16=0,或x+3y-9=0

设y—4=《(x+3),y=0,x=/—3;x=0,y=3Z+4;?—3+3A:+4=12

3Z-3-11=0,3/—11%—4=0,k=4,或％=」

k3

x=------<0

ky-x=2kk-\

4.15.二

kx-y=k-V2k-\八

y=------->0

k-\

三、解答题

1.解：过点加(3,5)且垂直于。仞的直线为所求的直线，即

33

Z=-1,y-5=一《(x-3),3x+5y-52=0

2.解：x=l显然符合条件；当A(2,3),8(0,—5)在所求直线同侧时，kAB=4

y-2=4(x.1),41一y-2=0

4x-y-2=0f或x=l

3.解：设尸⑵J),

则归欧+|尸却2=(2f-l)2+(f-l)2+(2-2)2+(f-2)2=10产一14f+10

79977

当"一时，|PA「+|P司取得最小值，即P(一,一)

10llll510

4.解：/(X)="(X-1)2+(0—1)2+J(x—2)2+(0—2)2可看作点(X,0)

到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于无轴对称的点(1,-1)

22

•••/wmin=^+3-Vio

第四章圆和方程［基础训练A组］

-、选择题

l.A(x,y)关于原点尸(0,0)得(-x,-y),则得(-x+2)2+(-y)2=5

2.A设圆心为C(l,0),则A6_LCP,Zc/)=—1,心B=l，y+l=x—2

3.B圆心为C(l,1),r=1,dmm=V2+1

4.A直线2x—y+/l=0沿x轴向左平移1个单位得2x—y+/l+2=0

圆f+y2+2x—4y=0的圆心为C(-l,2),r=6,d==区九=—3,或丸=7

75

5.B两圆相交，外公切线有两条

6.D(x—2)2+/=4的在点P(l,5处的切线方程为(1-2)(x—2)+Gy=4

二、填空题

1.1点尸(―1,0)在圆厂+y-+4x—2y+3=0上，即切线为x—y+l=0

2.x2+y2=4\OP\=2

3.(x-2)2+(y+3)2=5圆心既在线段AB的垂直平分线即y=-3,又在

2x-y-7=0上，即圆心为(2,—3),r=V5

4.5设切线为。T,贝“。丹・|。。|=|O7f=5

5.2V2当CP垂直于已知直线时，四边形P4CB的面积最小

三、解答题

1.解：,5—1)2+._1)2的最小值为点(1,1)到直线x+y+1=0的距离

33V2r~^7^~~——3^2

而d=忑=—^~,(yja-+b--2a-2b+2)min=—^~.

2.解:(x+l)(x-5)+(y-2)(y+6)=0

得工2+/-41+4),-17=0

3.解：圆心显然在线段48的垂直平分线y=6上，设圆心为(。,6),半径为r,则

(%—a)2+(y—6)2=r~,得(I-。)？+(10-6)2=/,而r=」

(。—1尸+16=,a=3,r=25/5,

・・.--3)2+-6)2=20。

4.解:设圆心为(3"),半径为7=|3小令d=l^l=囱

而（疗）2=「2一12,9产一2f2=7"=±1

（x-3）2+（y-l）2=9,或（x+3>+（y+l）2=9

圆和方程［综合训练B组］

一、选择题

1.Dd=」/I=V2,|a-2|=2,a=4,或a=0

2.D弦长为4,S==x4义士==巫

2V55

3.CtanCL——=――,相切时的斜率为

2V244

3〃+4

4.D设圆心为（a,0）,（。〉0）,^—=2,a=2,（x—2产+丁=4

5.A圆与y轴的正半轴交于（0,石）,0<k<6

6.D得三角形的三边2,1,JL得60°的角

二、填空题

1.475（x-3f+（y-iy=25,1=6,7=5,42—/=2也

2.y]x0+y（）+Dx0+Eya+F

\lk\\lk\

3.相切或相交「।=2；

J（3A+2）2+-4e

另法:直线恒过(1,3),而(1,3)在圆上

4.x-2y-l=0,（xw1）圆心为（2加+1,机），尸=帆|,（机工0）,

令x=2m+1,y=m

三、解答题

1.解：显然x=2为所求切线之一；另设>一4=火(了-2),区—)，+4—2女=0

而=2,/=3,3x—4y+10=0

止l=+^i4

...》=2或38—分+10=0为所求。

2

2.解：圆心为(0,1),则圆心到直线2x—y—l=0的距离为百半径为J5

得弦长的一半为避0,即弦长为拽°。

55

3.解：令人=上二9,则左可看作圆/+),2=1上的动点到点(_］「2)的连线的斜率

x-(-l