高中数学导数课件

导数

一、主要知识

/(%+©)一/(/)

导数：/(x)=y'-lim-=lim

&YT()Ar加->o

2.函数y=f(x)在点/初的几何意义，就是曲线y=f(x)在点尸(%,/(%))处切线的斜率

3.(1)常用的导数公式：①。=0(C为常数)；②(x")'=〃x"T(〃eN*)；

③(sinx)'=cosx；@(cosx)=sinx；@(eA)-ex；⑥(a*)'=a*lna(a>Cl&aHl)；

⑦Qnx)=—；⑧(log；)'=4log；(a>0且
)。

xx

(2)导数的运算法则：®(W±V)'=M'±V；

②(〃V)-UV+UV;

(3)复合函数的求导法则：设y=/(“),“=g(x),贝！Jy=f(M)g'(x)

4.导数的主要应用(综合应用)

(1)切线的斜率：根据导数的几何意义

(2)函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②求导数1(X)；③令/'(x)>0,

解出x的取值范围，便得函数的单调递增区间，令f(x)<0,解出x的取值范围，便得到函数的单调递减区间。

(3)函数的极值，利用导数求函数极值的方法是：设函数y=f(x)在玉,处连续，且/'(%)=0,若在X。附近的左侧

f(x)>0,右侧/'(x)〈0,则/(X。)为函数的极大值，若在点与附近左侧/,(x)<0,右侧f(x)>0,则/(X。)为

函数的极小值。

(4)函数的最值，在闭区间［a,同上连续的单调函数f(x),在区间,力］上必有最大值和最小值，设函数f(x)在

［a,可上连续，在(。力)内可导，先求出f(x)在(a,b)内的极值，然后将f(x)的各极值与/⑷，/(b)比较,

其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

(5)恒成立问题：一般出现在题目中参数的取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用

/(x)<a恒成立o[/(x)]max<a

/(x)>a恒成立Q[/(x)]mjn>a

(6)证明不等式：主要利用函数求导进行证明。

5.求函数y=f(x)在点/处的导数有两种方法，即导数的定义法和导函数的函数值法。

(1)用定义求函数在点七处导数的方法

①求函数的增量：Ay=/(x0+Ar)-/(x0)

②求平均变化率：且J5+

AJCAX

③求极限的导数：f(x0)=lim”

—t。Ar

(2)利用导函数的函数值求函数在点小处导数的方法

①求函数f(x)在开区间(〃力)内的导数/.(X)

②将飞€(凡6)代入导函数/'(X)得函数/(X。)即为函数y=f(x)在点X。处的导数。

6.求定积分的方法：

(1)根据定义求定积分(一般比较少用)

(2)利用微积分的基本公式求定积分，/(x)dx

步骤:①求/(x)的原函数F(x);

②计算F(b)-F(a).

(3)求平面图形面积的一般步骤是：

①画出图形，并将其适当的分割成若干个曲边梯形；

②对每个曲边梯形确定被积分的上限和下限，用定积分表示其面积；

③计算各个定积分，求出所求的面积。

二、主要题型

题型-导数的定义的应用

f(x0-^k)-f(x0)

例1已知f(x0)=-2,求Un--------2----------的值。

J。k

解：

/。()+(-1&))-7(入0)

/(X。)=in-----------=-2

kl->0n-----------1J.

——K

2

f(x0-h)-f(x0)1/(x0+(-^))-/(x0)

Un-----------------------=——lin-------------\-------------

—0k22。1,

——K

2

1.1

=_万/(x0)="-x(-2)=l

练习；

1.设f(x)在X。处可导，试求lim_%1“)一"飞二仍的值。

°2。2h

2.已知f(X。)=lim"X)7(X。)，八3)=2,八3)=—2,则lim23支的值是——_.

XT/X-Xo13%—3

3.(山东卷文10)观察(x2)=2x,(犬)=4/，(cosx)=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数/(幻满

足/(T)=/(X),记8(幻为/J)的导函数，则gL幻=

(A.)/(X)⑻一/(X)(C)g(x)(D)-g(x)

4.(0北京卷理72)如图，函数/(x)的图象是折线段ABC,

其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),J..........

贝1」/(/(0))=___________；

小"十八)一人)=—

_.(用数字作答)0123456x

△J。AJC

题型二导数的几何意义

例2已知直线4为曲线+x—2在点(1.0)处的切线，4为该曲线的另一条切线，且(1)求直线，2

的方程；(2)求由直线小4和x轴所围成的三角形的面积。

(x+Ax)"+(x+Ax)—2—x~+x—2

,•：y'=lim—=lim—

解(1)&3。AxZf。Ax

yk=3

所以直线乙的方程为y=3x-3.

设直线4过曲线y=1+工一2上的点产(%,%2+%.-2),则直线4的方程为

y-(/2+X0-2)=(2x0+l)(x-x0)

2

丁KJ_，2，3(2%Q+1)=-1,XQ=~~

「・直线的方程为y二一1^^一2年2，

「々，[1

y=3x-3x=—

(2)解方程组122,得6

1y=—3x---9-卜一5

又直线人，4和X轴交点分别为(1,0),(—彳,0),

.•.所求三角形面积为5=』x-4x/1+必]=工

2|2|13)12

练习：

1.曲线y=x?+x-3的一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标和切线方程。

2.已知点M(0,-1),F(0,1)过点M的直线/与曲线y=；d-4x+4在x=-2处的切线平行。

(1)求直线/的方程；

(2)求以点F为焦点，/为准线的抛物线C的方程。

3.(09安徽理9)已知函数/(x)在R上满足/(x)=2/(2—x)—f+8x—8,则曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线

方程是

(A)y=2x-l(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3

x

4.(09辽宁理7)曲线y=—在点(1,-1)处的切线方程为

x-2

(A)y=x-2(B)y=-3x+2(C)y=2x-3(D)y=-2x+l

4

y=-~

5.(10辽宁卷理[0文12)已知点P在曲线e'+l上，口为曲线在点0处的切线的倾深斗角，则a的取值范围是

7C与(9刍[与⑺

(A)[0,4)(B)42(C)24⑼4

X

y—

6.(10全国I新卷理3.)曲线x+2在点(T,-1)处的切线方程为[

(A)y=2x+l(B)y=2xT.(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2

7.(全国I新卷文.4)曲线y=x?-2x+l在点(1,0)处的切线方程为

(A)y=x-{(B)y=f+i

©y=2%一2⑻尸一21+2

(二、

,1a,a2

8.(10全国n卷理10)若曲线)'=x在点lJ处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则“=

(A)64(B)32(C)16(D)8

9.(10全国II卷文7)若曲线丁=£+利+8在点(0,3处的切线方程是、一)'+1=°,则

(A)"1,0=1(B)a=T，》=l

⑹⑻a=-\,b=-\

10.(函辽宁卷理。文6)设P为曲线C：y=/+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,-,

4」

则点P横坐标的取值范围为()

A.-1,-1B.[-1,0]C.[0,1]D.g,l

r4-1

11.(0全国I卷理7)设曲线y=——在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，贝!]“=

x-1

116

A.2B.—C.---D.-2

22

12.(〃全国I卷文4)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

13.(加全国II卷文7)设曲线y=ax?在点(1,。)处的切线与直线2x—y-6=0平行，则。=

11,

A.1B.—C.---D.-1

22

14.(加江苏卷为直线y=+b是曲线》=11!》*>0)的一条切线，则实数。=。

15.(0全国H卷理”)设曲线)，=6依在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，贝必=

题型三导数的运算(主要运用求导公式和运算法则及复合函数求导)

攸求)，=4112(2%+§)的导数

解

1.(

—sin

2I

练习：

1.已知偶函数/(x)=ax4+bx3+ex2+d+e的图象经过点尸(0,1),且在x=1处的切线方程为y=%-2,

求函数y=/(x)的解析式

2.函数/*)对于任意实数x满足条件/(x+2)=」一,若/(1)=—5,贝i」/(7(5))=____________

/(x)

3.(10江西卷文4)若/3=办4+而+。满足/'⑴=2,贝1/'(—1)=

A.-4B.-2C.2D.4

4.海南宁夏卷文4)设/(x)=xlnx,若/''(x())=2,则/=()

-In2,-

A.c~2B.eC.---D.In2

2

题型四导数在函数中的应用

(1)导函数与原函数图象之间的关系

例4如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f，(x)的图象可能是()

解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正f负f正一负,只有答案A满足.

（2）利用导数求解函数的单调性问题

例5已知函数/（X）=x3+x+l,aeR.

（I）讨论函数/（x）的单调区间；

（II）设函数/（X）在区间（一2,_；）内是减函数，求4的取值范围.

解：(1)/(x)=丁+ax2+x+l求导：f'(x)=3x2+lax+1

当/W3时，AWO,/'(x)2O,/(x)在R上递增

—a±\/a2-3

当/〉3,（5）=0求得两根为了=

递增,递减,

2

-a-\la-3W-27

3,、7

(2)且/〉3解得：a"

2—32」4

3

求函数的极值问题

kx+1

例6已知函数f（x）=x[c（c>。，且cWl,k£R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c.（I）求

函数f（x）的另•个极值点；（11）求函数1«）的极大值曲极小值111,并求M—m2时k的取值范围.

k(xJ+c)—2x(kx+1)—kx-2x+ck

解(I)f'(x)=

(x'+c)"(x'+c)”

2

由题意知f'(—c)=0,即得c2k—2c—ck=O,即c=l+「

k

Vc^O,・・・kWO.由f'(0)=0,得一kx2-2x+ck=0,

由韦达定理知另一个极值点为x=I.

2

（II）由（*）式得c=l+j当c>l时，k>0；当OVcVl时，k<-2.

k

（i）当k>0时，f（x）在（-8,—c）和（1,+8）内是减函数，在（一c,1）内是增函数.

k+1k.、-kc+1-k"

f(1)=^+T=2>0,m=f(-C)=c2+c=2(k+2)<0,

Llz2L

由M—m=］+国工万21及k>0,解得k，豆.

(ii)当kV—2时，f(x)在(一8,—c)和(1,+8)内是增函数，在(-c,1)内是减函数.

—L2b-L1k—1<2k(b_L1)2_|_1

•.M=f(1)=2(k+2)m=c+］=5<>m-2(k+2)~2~1k+2-*-'1恒成“,

综上可知，所求k的取值范围为(—8,-2)U［、P，+8).

(4)求解函数的最值问题

例7已知a是实数,函数f(x)=x"x-a).(I)略；(H)求f(x)在区间［0,2］上的最大值.

2a

解(Il)f'(x)=3x2—2ax.令P(x)=0,解得xi=0,X2=~r.

o

当李WO,即aWOH寸，1*«)在［0,2］上单调递增，从而f(x)max=f⑵=8—4a.

当当三2,时,即a，3时，f(x)在［0,2］上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.

9o9o9o

当0<彳<2,即0<a<3,f(x)在［0,上单调递减，在l，2］上单调递增，

ooO

\8-4a0Va<2

从而f(x)w,*=io2<a<3T

综上所述,f(x)皿=［「aa：；

(5)导数与数学建模的问题

例8水库的蓄水量随时间而变化，现用f表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单

位：亿立方米)关于，的近似函数关系式为

1(-?2+14/-40>4(+50,0<z<10,

(4(/-10)(3/-41)+50,10<r<12.

(I)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份(i=L2…,12)，同一年内哪几个月份是

枯水期？

(II)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).

解(1)①当时0<f410,V(O=(-r+14r-40)er+50<50,

化简得产-14r+40>0,解得，<4或，>10,又0<f410,故0<f<4.

②当10<fW12时，V。)=4。—10)(3/—41)+50<50,化简得，(f-10)(3?-41)<0

41

解得10<f(一，又10<fW12,故10<fK12.综上得，0<f<4,或10<fK12.

3

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。

(2)由(1)知，-(f)的最大值只能在(4,10)内内达到。

1,1,31-/

由V(r)=e4(一一厂+-f+4)=一—e4Q+2)(t—8),

424

令V'(f)=O,解得，=8C=—2舍去)。

当，变化时，V'(f)与V。)的变化情况如下表:

t(4,8)8(8,10)

+0-

v1(0

极大值

由上表，V⑺在f=8时取得最大值V(8)=8/+50=108.32(亿立方米)。

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。

练习：

1.设函数f(x)=2x‘一3(a—Dx'+l,其中a》l.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)讨论f(x)的极值.

2.已知定义在R上的函数f(x)=x"ax-3),其中a为常数.(I)若x=l是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(11)若函

数f(x)在区间(—1,0)上是增函数，求a的取值范围.

3.已知函数f(x)=x3+bx?+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

(I)求函数y=f(x)的解析式；

(II)求函数y=f(x)的单调区间.

4.设函数f(x)=(x+l)ln(x+l),若对所有的x》0,都有f(x))ax成立，求实数a的取值范围.

5.已知函数f(x)=-x?+8x,g(x)=61nx+m.

(I)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t)；

(II)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取

值范围；，若不存在，说明理由。

6.已知函数f(x)=log,x+2x和g(x)=210gli(2x+t—2)+2x(a>0,a#l,teR)的图象在x=2处的切线互相平行.

⑴求t的值;

(H)设F(x)=g(x)—f(x),当xG［L4］时，F(x)下2恒成立,求a的取值范围

7.(09安徽理6)设aVb,函数y=(x-a)\x-b)的图像可能是

两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧力8上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的

影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的

距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所

选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例

系数为k,当垃圾处理厂建在48的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

(1)将y表示成x的函数；

<-V.

(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧43上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响

度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

9.(09海南宁夏理21)

已知函数/(x)=(/+3/+ax+bW

(I)如。=〃=一3,求/(x)的单调区间；

(II)若“X)在(-8,a),(2,£)单调增加，在(a,2),(£,+oo)单调减少，证明

(3—a<6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10.(09辽宁理21)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=；/-QX+(Q-l)lnx,a>1,

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)证明：若。<5,则对于任意X1,X,e(0,+8),X|WX,,有/(*)—>_]

须一彳2

11.(09福建理20)(本小题满分14分)

2

已知函数/(x)=g/+ax+bx,且/1)=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)试用含a的代数式表示b,并求/(%)的单调区间；

(2)令。=一1,设函数/(x)在土,%2(玉<》2)处取得极值，记点M(X]J(xJ),N(X2,/(x2)),),

x,<m<x2，请仔细观察曲线/(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

(I)若对任意的mG(X,,X2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论;

(II)若存在点Q(n,f(n)),xWn<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不

必给出求解过程)W.W.W

2

2.12.(09安徽理19)已知函数/(x)=x——+a(2-lnx),(a>0),讨论/(x)的单调性

x

13.(09天津理20)已知函数/(x)=(;?+ax-2a2+3a)e*(xeR),其中aeR

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率；

2

(2)当寸，求函数/*)的单调区间与极值

14(10山东卷文8)已知某生产厂家的年利润〉(单位：万元)与年产量》(单位：万件)的函数关系式为

1,

y-——x3+8lx-234

3,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

(A)13万件(B)ll万件(C)9万件(D)7万件

15.(10江西卷理12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,

记.时刻五角星露出水面部分的图形面积为5"）（5（°）=°）,则导函数＞=5'。）的图像大致为

16.

（I）求/（X）的单调区间与极值;

(H)求证：当。>此2-1g％>0时，ex>x1-lax+1

/（X）=一/+储+cx+d（aA0）r（、Q_n

17.（10北京卷文18）设定函数3,且方程/=U的两个根分别为1,4。

（I）当a=3且曲线y=/Q）过原点时，求/（X）的解析式;

（II）若/（X）在（一双+00）无极值点，求a的取值范围。

18.（10福建卷理20）

（I）已知函数"x）=x3-x,其图象记为曲线C。

（i）求函数/（幻的单调区间;

（ii）证明：若对于任意非零实数/，曲线°与其在点4（%’/（/））处的切线交于另一点巴（々，/（々）），曲线c与

其在点巴处的切线交于另一点8（/，/（七）），线段46、6P与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为si,S2,

则$2为定值;

（II）对于一般的三次函数85）="3+/+5+4300）,请给出类似于（］）（^）的正确命题，并予以证明。

f（x）=—x~+cix+b_ag

19.（10福建卷文22）已知函数3的图像在点P（0,f（0））处的切线方程为y=%-2

（I）求实数a,b的值;

(II)设丁=4x(-2)2=2p2,x=-l8“)一”"十三1是［2,+«0上的增函数.

（i）求实数m的最大值;

（ii）当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线＞=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭

图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

20.（10湖北卷理17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑

物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万

元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：

-----（0<x<10）,

C（X）=3x4-5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（X）为隔热层建造费用与20年的能源

消耗费用之和。

（I）求k的值及f（x）的表达式。

（II）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

b

21..（10湖北卷理21）已知函数f（x）=ax+x+c（a>0）的图象在点（l,f（l））处的切线方程为y=xT.

（I）用a表示出b,c;

（II）若f（x）>Inx在［1,8］上恒成立，求a的取值范围；

（HI）证明：i+2+3+...+n>ln（n+l）+2（〃+l））（n2i）.

a

/（x）=—+x+（a-l）lnx+15tz,

22（10湖南卷文21）已知函数%其中a<0,且aW-L

（I）讨论函数"X）的单调性；

/、［（-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a）ex,x<1

（II）设函数X>1（e是自然数的底数）。是否存在a,使8。）在匕,一］上

为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

23.（10江西卷理19）设函数/（x）=lnx+ln（2_x）+ax（a〉O）.

（1）当。=1时，求〃龙）的单调区间；

£

（2）若/（X）在（°，I］上的最大值为2,求。的值.

24..（10江西卷文17）设函数/（”）=6/+3（°+2*+2以

（1）若外幻的两个极值点为玉，工2,且玉々=1,求实数。的值；

（2）是否存在实数“，使得/（*）是（-00,+°0）上的单调函数？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

25.（10辽宁卷理21）已知函数/（》）=（。+1）111%+0/+1

（I）讨论函数/“）的单调性；

（II）设a<T.如果对任意e（0,+8）,1/（/）―/（尤2）?41匹一看I,求a的取值范围。

26.（10全国I卷理20）已知函数/（x）=（x+l）lnx-x+1

（I）若犷（幻</+3+1,求a的取值范围；

(II)证明：(xT)/(xRO.

27.(10全国I新卷理21)设函数"x)="T—x—/

若a=°,求/(X)的单调区间；

若当xN0时/(幻2°,求。的取值范围

28.(10全国I新卷文21)设函数()=W"T)-“

2_

(I)若a=2,求%、)的单调区间；

(II)若当x20时「，)20,求a的取值范围

29.(10全国II卷理22)设函数”""I一，

/(%)>—

(I)证明：当x>T时，x+\.

(II)设当XN0时，以+1,求a的取值范围.

32

30.(10全国H卷文21)已知函数f(x)=x-3ax+3x+l。

(I)设a=2,求f(x)的单调期间；

(H)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。

1—Q

f(x)=Inx—oxH---------l(aGR)

31.(10山东卷理22)已知函数x

2_

(I)当aw5时，讨论f(x)的单调性：

(H)设g(x)=x2-2bx+4.当a=1时，若对任意xie(0,2),存在XZGR3],使/(%)'g(Z),

求实数b的

取值范围。

32.(10陕西卷理21)已知函数f(x)=4，g(x)=alnx,aGRo

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

⑵设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时,求其最小值」(a)的解析式;

心“⑷+9的2ab

<<P\)

⑶对(2)中的8(a)和任意的a>0,b>0,证明:22a+b

33.(10天津卷理21)已知函数/(X)=祝'(xeR)

(I)求函数/(X)的单调区间和极值：

(II)已知函数)'=8(幻的图象与函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，证明当X>1时，/(x)>g(x)

34.(10重庆卷文19)已知函数"幻=以3+/+法(其中常数a,bGR),8(幻=/。)+/(》)是奇函数.

(I)求八©的表达式；

(II)讨论8(幻的单调性，并求8(力在区间口'2]上的最大值与最小值.

35.(0福建卷理72)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()

A.〃>—3B.Q<—3C.a>—D.a<—

33

37.(0广东卷文夕)设QER,若函数y=靖+以，xwR,有大于零的极值点，贝IJ()

1I1

A、〃<—1B、。>一11C、Q<—D、Q>—

ee

38.(0湖北卷理7)若/(x)=—；x2+bln(x+2)在(T,+oo)上是减函数，则。的取值范围是()

A.[-l,+oo)B.(一1,+8)C.(-oo,-l]D.(-oo,-l)

39.安徽卷理勿)设函数/(x)=—!—(x>0且XH1)

xlnx

(I)求函数/(幻的单调区间；

(II)已知2最>犬对任意x£(0,l)成立，求实数。的取值范围。

40.(如安徽卷文统)设函数/*)=3X3—■|/+9+1"+1,其中&为实数。

(I)已知函数在x=l处取得极值，求a的值；

(II)已知不等式f(x)>x2—x—a+1对任意ae(0,+oo)都成立，求实数x的取值范围

2Y—h

41.(0北京卷理右)已知函数/(x)=V求导函数/'(x),并确定/(x)的单调区间.

(X-1)

42.(。夕北京卷文77)已知函数/«)=/+以2+3"+。3/0),且g(x)=/(X)—2是奇函数.

(【)求a,c的值；

(II)求函数/(x)的单调区间.

43.(。夕福建卷理22)已知函数f(x)=ln(l+x)-xi

(I)求f(x)的单调区间；

(II)记f(x)在区间［0,可(neN*)上的最小值为bx令an=ln(l+n)-bx.

(Ill)如果对一切n,不等式J］<Ja”+2一求实数c的取值范围;

(W)求证：幺+胆++的342,1<J2T+1—1.

aaa

a2a2a4i42«

44.(Gg福建卷文a)已知函数/(x)=x3+〃*+〃x—2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=/'(x)+6x的图象关

于y轴对称.

(I)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(II)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-l,a+l)内的极值.

45.(GX广东卷文Z7)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的

楼房.经测算，如果将楼房建为x(x》10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X(单位：元).为了使楼房每平方

米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用)

建筑总面积

46.湖北卷文77)已知函数/(》)=丁+〃>—病x+1(m为常数，且m>0)有极大值9.

(I)求m的值；

(II)若斜率为-5的直线是曲线y=/(x)的切线，求此直线方程.

r2

47.(0湖南卷理牙)已知函数f(x)=h?(l+x)---.

1+x

(I)求函数/*)的单调区间；

(II)若不等式(1+工)"°We对任意的〃eN*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的

n

Ia

48.(如湖南卷文2Q已知函数/。)=1/+工3一2》2+以有三个极值点。

(I)证明：-27<C<5;

(II)若存在实数c,使函数在区间［a,a+2］上单调递减，求a的取值范围。

已知函数/(、)=卷+患+优

49.(G『江西卷理22)XG(0,+00).

(1).当a=8时，求/(x)的单调区间；

(2).对任意正数a,证明：l</(x)<2.

50.(0江西卷文27)已知函数/。)=1/+_14》3一/£+44伍>0)

43

(1)求函数y=/(x)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)的图像与直线y=l恰有两个交点，求。的取值范围.

Inx

51.(Gg辽宁卷理22)设函数/(x)=------lnx+ln(x+l).

1+x

(I)求f(x)的单调区间和极值；

(II)是否存在实数a,使得关于x的不等式/(x)Na的解集为(0,+00)?若存在，求a的取值范围；若不存在,

试说明理由.

52.山东卷理27)已知函数/(x)=『y+"ln(x—l),其中ndN*,a为常数.

(I)当n=2时-，求函数f(x)的极值；

(II)当a=l时，证明：对任意的正整数n,当x》2时，有f(x)Wx-l.

kx+1

53.(GT陕西卷理27)已知函数/(》)=二一(C>0且CHl,ZeR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中

尸+C

一个是X=-C.

(I)求函数/W的另一个极值点；

(II)求函数/(x)的极大值M和极小值加，并求"-机21时攵的取值范围.

54.四川卷理22)已知x=3是函数〃x)=aln(l+x)+x2-lOx的一-个极值点。

(I)求Q;

(II)求函数/(X)的单调区间；

(III)若直线y=b与函数y=/(x)的图象有3个交点，求〃的取值范围。

55.天津卷理2。)已知函数/(犬)=%+q+6(了力0),其中

X

(I)若曲线y=/(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为y=3x+l,求函数_/(x)的解析式；

(II)讨论函数/(x)的单调性；

56.天津卷文27)设函数/(x)=X”+ax'+2/+0(xeR),其中a,Z?eR.

(I)当a=—W时，讨论函数/(x)的单调性；

(11)若函数/(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；

(III)若对于任意的ae[-2,2],不等式/(x)W1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围.

57.浙江卷理27)已知。是实数，函数/(x)=«(x-a)。

(I)求函数J(x)的单调区间；

(II)设g(a)为J(x)在区间［0,2］上的最小值。

(i)写出g(a)的表达式；

(ii)求。的取值范围，使得一6Kg(a)<—2

58.浙江卷文27)已知a是实数，函数/(均=/(%一①。

(I)若/⑴=3,求。的值及曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程;

(II)求/(x)在区间［0,2］上的最大值。