高中数学重要公式第二册

高中数阜公式第二册

高中数阜公式第二册

第一章指数典封数

(A)指数率：

⑴

m

⑵a骞=*

a

(3)(叫”=产

(4)L=3

a

⑸a°=l

1m_

(6)亦=幅户

(7)an+2+bn+2=(an+i+bn+l^a+b')-ab(an+")

an+2-bn+2=(an-*4-bn+1^(a+b)-abf^an-bn)

(B)根数率：

'a>0，b>0

⑴<a>0»b<0y/a*y/b=-Jab

a<Q»b<0

a<0'b<0yfa-Jb=-yfab

a>0»b>0

a<0，b>0

{a<0，b<0

a>a>0

⑶

-a，&<0

(C)封敷定羲及性:

(1)ISb>01a>0>axl，即logab=c=b=/(定羲)

⑵loga(a、)=x;1°ga*=x(定羲之推

⑶^算：

(1)log。俨)=Mog的

(2)logflAB=logfl，+logaB(但A>0，B>0)

⑶loga3=logA-logB(但A>0,B>0)

Dflfl

(4)log,b=辔=譬*(摸底公式)

logalog/

（5）log^Mogjflog^=logad健翻原理）

⑹鸣为m吟；叫〃产）=log*

⑺10g06108/=1（倒擞［捐（系）

(D)指数函数及封数函数IM形：

⑴y=〃x)=a"及yTogM之圈形如下:

(l)a>l(增函数)⑵0<a<l(i咸函数

a>b>l

(l)x>0畤，y=ax的HI形恒在y=bx圈］形的上方

(2)x<0畤，y=，的圈形区在y=bxIS)形的下方

(E)指数舆卦数方程式：

(1)指数方程式：

Z\fWgg

(a)a=an/(x)=g(x)。

(b)4"*)-//")=丽方取举寸数解之。

(c)指数常数化焉保数。

(d)必要日寺遹常化改:B之方程式先解之。

⑵封数方程式：

(a)先列出有意有之基本之限制

(真数＞0，底数＞0，底数八)

(b)可化篇同底畤：

)威.一//、/、

10g"°X=1log°n/(x)=g(x)

(c)不可化;B同底畤

利用摸底公式求之。

(d)求得之解代入之有意羲限制，除不合者。

fix'

(e)必要日寺令log「一，舄£之方程式解之。

(F)指数不等式典封敷不等式：

(1)指数不等式：

(1)底数相同畤：

(a)a>Oi!J川”>agW=>f[x)>g[x)

(b)0<a<1a"">"(")=f(x)<g(x)

⑵底数不同，雨方取封数

(3)必要畤，令</㈤=t-常数指数化焉保数，u成t之不等式。

(2)螯寸数不等式：

(1)先注意封敷有意羲之限制

⑵底数相同畤：

?(")>0

(a)若a〉l欲解logj(x)21ogag(x)n«g(x)>0

〃x)2g(x)

7W>0

(b)若0<a<1欲解loga〃x)21ogag(x)=<g(x)>0

〃x)2g(x)

⑶底数不同畤=>摸底

(4)下列可常公式用(常然也可以直接制曾命)

(G)常用封数：

(1)以10焉底之螯寸数，耦常用螯寸数，常省略其底，即1吨工=1810工

⑵科表示法：若a〉0，即J存在«eZ，使a=M0s，且1<6<10

(3)15a〉0且a=10"5,l<2><10=>logdt=w+log6，1<i<10>

0<logi<loga之首数，logb稠焉loga之尾数

(4)logx之首数,=[logx],logx之尾数=logx-[logx]

⑸若521且logb之首数篇m，琲Jb之整数部分:Bm+1位；

若0cb<1且logb之首数:Bm'i(Jb在小数黑占彳爰最初有网-1偃I0。

(6)首数=>判断位数：尾敷了解用到之数字(有效之数字)。

例如：log345000之首数焉5；尾数log3.45

log0.0345之首数扁-2；尾数log3.4!

⑺A篇n位数0w-<log^4<«

(8)LogA之首数焉n<=>«<logJ4<»+1<=>logA=n+b，04341。

(9)LogA舆logB之尾数相同=>logA-logB篇整数

一01

例如：logx之首数焉1且log/舆log-之尾数相同，求x可利用此原理

x

(10)log2=0.3010>log3=0.4771'Iog5=l-log2=0.6990'log7=0.8451

(H)加强及注意：

⑴/(x)=^C

a+々

、a2x-l*l+/(x)

=/(X)=F——Oa=―

a?』l-/(x)

1+x

⑵/W=log;—，

1-x

刖/(^-)=加)+/(z)'〃产)=/0)+〃z)

[+㈤i-yz

⑶a，b均正，ax-by={ab^?y=xz+zy

11—A

=一=一+—或x=y=z=0

zxy

⑷2*=3'=5*，比较2x，3y，5z之大小日寺

x，y，z;B正=>5z>2x>31y；

x=y=z=0=2x=3y=5z

x，y，zMM=>5z>2x>3y。

⑸判断A+B焉黑位数，可先求A之位数及首位数字；

B之位数及位数字然彳爰判断A+B位数。

(6)=rx或国x=n2rx型，

同」丽方取logj，可化曾成1。&x之代数式,在令log》x=£解之。

⑺由log式/喝’)=(logbc)(logba)

=(log/)(logbC)=log/°°即"

=>a10^=c10^

第二章三角函数

(A)角之度量：

⑴弧度：弧房等於半彳型所封BI心角耦一弧度，麓耦一强.

⑵弧:fts，半^r，所螯寸圜心角6>n£=6(s=间

r

(3)一周角=360°=2点

=>尼蹙=180°

1onO

=1强=—=57°17'45'

yr

=1度=砺弓里三001745整

(4)如右匾I:

扇形面稹幺=：户6=1％

22

弓形面稹二(扇形面稹)-(三角形面稹)

=1户sin®

22

1.

=—r1(6-sin，)

(6表圜心角之度量)

(5)常用角度之换算表：

D度0°30°45°60°90°

汽丸丸冗

R0

6432

(B)三角函数定羲:

善撞一a…鄢逶b

sin&=

斜遴C斜逶c

封逶一ab_

(1)tan8=cota=———=

鄢逶~b，封逶a

斜逶一cc

sec6=cs也逛=

鄢逶b整摊a

⑵位於襟型位置之角系冬遏上之一黠P（x，y）（x#O，y#0），期J

yx

sin&=j，;cos&=]

&+.2《X，+.2

yx

tan6=—;cot8=一

xy

A

sec8=-----------;esc6P=-----------

xy

[C]特别角之三角函数：

1

0°15°30°45。60°75°90°

sintf0•^6—^22交招s/6+-%/21

4224

cos81-^6+5/2迫比20

4224

tan。皿八、、2-g11石2+73皿八、、

用

Sin18=4'336=4

（D）三角函数之定羲域，值域之正:ft:

⑴三角函数直在各象限之正负：

第一象限第二象限第三象限第四象限

sin&,escQ++--

cos8,sec6+--+

tan8,cot8+-+-

⑵函数值之增减（在第一象限）:

sin8，tan&»sec6焉增函数

cos8，cotP，escP就咸函数

(E)基本不等性

(1)|sin^|<1,|cos^|<1

<=>-1<sin<1,-1<cos^<1、|sec^|>l,|csc^|>l

'TT

(2)若0<&<—»sing<0<tan8〈sec。

若(加wz)，|[J|sin^|<|tan^|<|sec^||cos^|<|cot^|<|csc^|

(3)卜an8+cot回之2；|sin^+csc0|>

-J以"+*<acosff+bsin&<y/a2

(F)基本恒等式:

⑴倒嬲解:

sin6・csc6=l；cos^-sec^=1；tan6・cot6=l

⑵平方片队系：

sin，8+cos*8=1；14-tan2^=sec2^；14-cot2&=esc2&

⑶商数BS彳系：

«sinQ「cos8

tanfi=------,cot〃=—―-

cos8sin®

⑷次要恒等式：

1、sin6&+cos6Q=1-3sin20«cos2Q

sin48+cos40=1-2sin20»cos2&

2、1-2sin6・cos8=(cos8-sin①'

1+2sin6・cos0=(cosQ+sin8)，

(G)化任意之三角函角三角形函数值：

任一角之三角函数值，通常由某一^角

之三角函数数值求出，其求法如下：

(1)角之三角函数：

sin(-8)=-sin8；esc(-6)=-esc8

tan(-，)=-tan8；cos(-6)=-cot8

但cos(一步=cos0；sec(一劭=sec8

1、n焉偶数日寺：

•rr

/g・5±e)=符螂⑺)

•rr-rr

例：sin(«--±^)=、cos(««—±0)=cosQ、

tan(〃]±6)=符版tan8

2、n焉奇数畤：

/(35±e)=符嬲绘函勖啰)

•rr-rr

例：5由(加・5±8)=符就。0$6、cot伽。/±8)=符虢tan8

⑵空楠符虢乃要吾人填“+”虢或，其取正或负需视8篇正^角畤，

在第襄象限，封左遏原三角函数正或负。

(H)三角形a+b+c=2s之一些^^：

(1)AA5C中，44，NB，NC分别以，A，B，C代表；

a，b，c依序表4>Z5，/。之茎寸遏:ft；s=-b+--，

2

r表内切HI半彳维，R表外接IB半彳型，

依次表幺，/B。之内部之傍切圜半彳堂

(2)BD=BF=s—b，AE=AF=s—a，CD=CE=s—c，

Ar

内切HI半彳型r，弟」△(面稹)=，而tan哀=---

2s-a

(3)AE=AF=s；BD=BE=s—c；CD=CF=s—b

n△(面稹)=G(s-a)

tan《=L(看IB推出)

2s

(I)三角形之面稹公式：

LABC之面稹

=—aisinC=—icsin=—casinB

222

=Js(s-a)(s-b)(s-c)

=-a»ha=>b•耳=-c»he=r*s

2°2,2，

=-a)=G・(S-3)=弓・(s-c)

abc

~~4R

(J)遏形^^之重要定理：

(1)正弦定律：

sinAsinBsinC2A

a+b+c

sinJ44-sin5+sinC

(注)：求外接IB半，可由正弦定律求之。

(2)绘弦定理：

[2,222“川+1-C?

1-a=b+c-Thecos=>COSJ4=-------------

2bc

2,£>2=c2+a2-2accosB=>cosB=LJU?———

2ca

3-c2=a2+Z>2-2abcosC=>cosC=L—+l,———

2ab

a=bcosC+ccosB

(3):投影定律：'b-ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

(K)解三角形丁

(1)由已知之褊事苜角，求未知之遏舆角，叫解三角形。

(2)S.A.S之解法：第三遴用绘弦定律求出

n在利用正弦定律求出另雨角。

(3)S.S.S之解法：利用绘弦定律求出各角

(4)A.A.A之解法:利用三角度量和=180"求出第三角形，

利用正弦定律求其他遏房。

(5)S.S.A之解法：

例如：已知a，b及一角由a舆b之大小

n乙4舆Z5典之大小，可知N8是否可能篇直角、金屯角，

再由号，求出(可能辗解或一^解或二解)

sinAsinB

(L)测量：

测J量冏题：

(1)方法：彳定已知脩件作三角形之曲期系B1形，

利用解三角形求出所要之遏艮或角度。

(2)题型:

1、军方向求高度(觐演I者向目檄移勤或仰视、俯视)

利用直角△解之

2、多方面求高度

n作立醴圈形，串事成地面之三角形解之。

3、航行方位冏题

=由平面之方向作成平面之三角形解之

第三章三角函数之性

(A)和角公式：

⑴主要：

cos(a-/?)=cosacos口+sinasin§

cos(a+/7)=cosacos/?-sinasin§

sin(a+/?)=sinacos/+cosasin/?

sin(£x-/7)=sinacos§-cosasin0

,c、tana+tan/?

tan(a+?)=---------------—

八、1-tanatan/7

(3)八

一(—……/

1+tanatan0

,c、cot/?cota-1

cot(a+/7)=-----------------

⑷cot尸+cota

/_cotZ7cot4-1

cot(a-7?s)=------------------

cot-cota

⑵推置

八、csin(a+/J)

(1)tana+tan/7=--------------

cosacos0

(2)tana-(…)

cosacos£

(3)cota+c°t.=竺处卫

sinasin§

⑷cota-c°t.=竺叱出

sinasin§

(5)sin(x+y)sin(x-y)=sinx-siny=cosy-cosx

(6)cos(x+y)cos(x-y)=cos*12x-sin2^=cos2sin2x

⑶正绘切和角公式之一次化

(1)y=a+/?

=>tany-tancj-tan/J=tanytanatan/?

(2)a+£+y=%

(a)tana+tan£+tany=tana«tan£・tany

a06yyar

(b)tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1

222222

/、&BYaBy

(c)cot—+cot—+cot——cot—cot—cot一

222222

(d)cotacot/J+cot0coty+cotycota=1

(B)倍角公式

OF

(1)sin2，=2sin6cos8(由sin(8+6)推之)

(2)cos28=cos'6-sin’6

=2cos2-1=1-2sin2

c、42tan8

(3)tan26=------1T

1-tanQ

cot26=^^

2cot6

(2)sin2^=2tan

1+tanf2^;

cos2g=1-tan/

14-tan6

⑶

(1)sin38=3sin8-4sin*

(2)cos38=4cos‘6-3cos8

⑷辅助公式:

⑴sin^sin(60°-0)sin(60°+8)=—sin3^9

4

⑵cos8cos(60°—&)sin(60°+6)=—cos30

4

⑶tan8tan(6(T-ff)tan(6CT+8)=tan30

（C）半角公式

.eI-cos6A

(1)sin-=±（墉随5在第黑象限而定）

8/1+cos。0

cos—=±J-------（士虢随］在第黑象限而定）

2\2

/±.l-cos0sin6

21+cos®l+cos6

1-cos31-cos^+sinQ

sinQ14-cos^4-sin

1

1-cos6=2sin2—

-e

cot—2

2

l+cos^=2cos2—

2

Q

⑵1殳tan-=Z

2/23=1ZL，tan8=±

|IJsm^=-=-,C0S

1+f1+JIT

於72T

QQ(-±g)l-coS(-±g)1±sing

(3)tan(-±-)=tan

2sin§±8)cos。

①)和差舆稹互化

(小1)s，ina、+s・in〃a=、2s.in&-+--/cos--B-

sina-sin。=2cosa+sin———

22

a+「a-6

cosa+cosp=2cos---cos---

costa-cos0=-2sina+sin~——

22

(2)2sinacos尸=sin(a+/?)+sin(a-/7)

2cosasin0=sin(a+/?)—sin(a-0)

2cosacos0=cos(a+0)+cos(a-0)

2sinasin0=cos(a一⑶-cos(a+£)

(3)a+0+y=%畤，到J

a6y

(1)sin«4-sin0+sinx=4cosycos^-cos^-

a.Z?y

(2)cosa+cos?+cosy=1+4singsin^-sin

(3)sin2a+sin2/7+sin2y=4sinasin0siny

(4)cos2a+cos2/7+cos2y=1-4cosacos/Jcosy

(E)常见求趣值：

(1)acosP+小sinP

a

=JJ+&2(_cos内——sinff)

JI+/5+启

=4a"+b'sinS+6)(其中sin.)

=+4°cos(。-6)(其中cos6=-.——)

J以f2

(2)acos123x+bsinxcosx+csin2x

/l+cos2x、，/sin2x、A-cosx

=仪---)+b(——)+c(--_s)

=~^~+^sln2x+~^~CQS2x(可利用⑴合彳井)

(3)/(x)=«+小(sinx+cosx)+csinxcosx

可令sinx4-cosx=Z，-y/2<t<42

sinxcosx=/-1)

=《

f(x)=a+bt+-(t2-T)

2

(4)|acosxcosy+Bcosxsiny+csinx|<JJ+B2+c2

(F)三角形遏角其歌系之祷充公式：

A+B

.,tan-----

a+b_2

⑴正切定律：

313nx

2

,A(s_g)(s-c),B(s—cXs—a)..C佃-a)(s-»

⑵sin—=sin—=sin—=J------------

2be2ca2Vab

A\s(s-a).BC/s(ff-c)

cos—=cos—=cos—=.J-------

2be'22ybe

tan^=(ST"；

2us(s-a)

⑶分角小泉：

3篇ARBC之一分^且AA=a>AB=c>AC=b

112cos—

1+1=2

求瞪：

bcAD

(4)中^:

言殳而焉-4BC之中国泉，IIJ

近2+而2=2而2+2丽:

⑸高：三遏：M比=a：b：c=—：—：—

h.%

(G)»(之系色封值：

(1)言殳Z=«+》(a、beK)，

即」团=JJ+J6)，且不焉负

⑵百殳Z?、Z?wC，

即同+邑|之区土刃

I.卜邑||4区士幻

⑶ISZ?、Z?wC，

[

HJ|zj'|z2|=IZJ-ZJI;

N=A

区|?2

(4)Z.Z=|Z|2=|Z|2=>|Z|=1'

--1

即JZ,Z=1=Z=—

z

(5)回=0=Z=0

(6)?1=为+乃。，Z2=

MJ区「刃=府寿石二不

表十源之距离隹

(H)禊数系色封值之襄何意羲：

⑴4、z^c且A、z?在^^平面上

所封之黠i：B耳、鸟，

即J|亡司=%一见=而

⑵分黠公式:

在禳数平面上，言殳尸(z)/(z),舄区)，

—t—”

即J工二恒±也.

m-\-n

⑶在^^平面上尸(Z)，封X轴之封耦黠片(2),

茎寸'申螳扑®黠舄舄(-Z)'封原黑占之封耦黑占月(-Z)

之趣式：一

(1)Zee且|z|=r，z之幅度焉e，

M[JZ之趣式旨(cos。+isin8)

(K):由x轴正向到无之有角:B幅

角，其中04《2%叫主幅角

，以＜rg(Z)表示

⑵赫美弗定理：

言殳n6ZJ§Z=r(cos^+jsin^)，

MDZ*=r*(cos+zsinn&)

(§£):亦可推出

[r(cos5-isinfi)]x

rK(cosn3isinnQ}

⑶若Z=cosP+2sin8，

1-

1[|—=cos8-isin8=Z

Z

ZK=cosnff+isinn&

Z~K=cosnff-isinnff

（J济复数平方根：

⑴任一^^，除0外，，哈有二他平方根

，此二平方根之和焉0。

⑵平方根速算法：1殳以+历=0+%）2，

x2-y2=a

x2+y2=4，+-

2岁=b

29=8

=、(八*+射-0)

X

=£(+*—

y

2xy=b

（由b之正负决定X，y之同虢或昇虢）

⑶a,b,ceC,ax2+Z>x+c=0之二根焉

-b±a

5a静,-Aac之任一平方根°

2a

（不要用根式表示）

（K）m«方根：

(1)neN>«>2，满足Z*=a舄已知禊数)之Z叫a之北次方根，通

常有n彳固解。

(2)若ZK=a=7(cos+isin6)，/20，

而％，4，Zz，.....，Z*-i焉其彳固方根

rmT2版+6.Ikn+3.,-]

MJZ=7s(cos-------+1sin-------),k=n0,1,2,...,«-1

xnn

⑶上面之Zo>Z1>Z2>.....>Zi

i

洽分布在一Bl上(HI心焉原黠;，半彳空八)，

且揩此[«花等分(即遵接可得一正犯遏形)

2元2笈

(4)若总>2(正£N)，且w=cos——+isin——»

nn

(a)w篇犬=1之虚根，而｛Lw,1，……,w"|孰"=1之解集合。

(b)w'=1:1+w+w2+....+w'-i=0

(c)犬T+/-2+...+l=(X-W)(X-W2)...(X-WS，1)

(d)x*=a(aeC/e增，若已知有一根篇,，

则此方程式之解集篇｛/,a",a*w?,…^V1)

(5)立方根w=T；格之性^

1.w3=1

2.1+>p+W2=0

3.w3"=l(«GiV)

4,w2s+=-1or2(«eAT)

5.a2-ab+b2=(aw+6w2)(c2w2+Z>w)

6.x2-x+l=(x-w)(a-w2)

(L)加强及未甫充：

1+cos。±ism6

⑴1.cos6±isinQ

1+cos。干ising

仁l+sin8±icos8行-

2.；---------------=sin6±jcos6

l+sine》cos6

理由：jfjjZ=cos±ismG

z

3.x+-=2cos8=>+4-=2co

«

1.言殳A(Z1),B(Zz),C(Z.)，

77

若一^_-=尸(cos6+isinG)(r>0)

⑵=>画="码，品之方向由

而之方向增加6角

,,.ABAC=2n兀+6

(求整数n，使04/瓦4c〈球

2.以工0篇中心，黠4旋6到黠%

M!JZ2-Z0=(Z1-Z0)(O388+isin6)

2冗2K

(D=cos——+Jsin—

nn

G)

=>|1-OJ|=2sin—;|1+ry|=2cos—

nn

求^=cosQ+cos26++cosnQ

及S=sin+sin26+.......+sin内冽寺

可令o=cos8+isin6

=>K+iS=m+苏+...+。”求之

第四章平面向量

(A)向量定羲：

(1)有向^段及向量：

若A、B是相昇的雨黠，系泉段AB赋舆避A到B的方向经」

就耦：B是由A到B的有向^段焉丽，曾耦篇向量AB

(2)有向鹭之始黠、系冬黠、:R：

向量近的A叫始黠，B叫余冬黠，A，B刖黠的距雕

(或AB之后叫费之:R，以|赤|表示。

⑶零向量：

A=B畤，耦荏:B零向量，可用后或6表示。

(4)若0焉原黠,A之座檄焉(a,b)，

IU力可用(a,b)表示，即O4=(a,b)

⑸若A01，珀，B(X2,2)/!J而可用⑷-0乃-珀表示

【注意】：脩冬黠)-(起黠)

(6)v=(a,瓦)>v之:卜卜J—+*

,而a叫v之x分量，b叫v之分量。

(7)a=(alta2)，/=鱼也)，

(B)方向角:

⑴3=阮了)舆乂触用向所爽之角8耦篇2之

方向角，其中owes2%

sina0=—y

⑵方向角：，COS8=3其中广=

tan3=~~

、x,

⑶伊卜「，方向角:Be，

MJOA=(rcos5.rsind)

(C)向量加法：

(1)AB+CD-

1殳AB、而是任意雨彳固向量，黑占X使向量BX=CD，

外悻?向量衣焉向量通舆向量口的和，言己做AX=AB+CD

(2)若a=(ax,a2')=(瓦，匕)，同」a+b=(的+瓦，a2+Z>a)

⑶封任意向量2，b，我什号定羲a-b=a+(-b)

⑷a=(%,a?)，各=(瓦，瓦)，即Ja-b=(a1-b1，町一与)

(H£)•片舄+舄鸟■(尺=耳月

AB+BC+CA=0

(D){MW:

⑴rAB

1.r>0n典近同方向且晨度焉原来r倍

2.r<0=舆正反方向且是度焉原来r倍

3.r=0=AB=0

⑵向量保数稹之座才票表示：

1殳a=OA=(%,的)，M!Jra=(rax,rai)

(3)向量保数稹之基本性:

1.r(a+b)=ra+rb

2.(r+s)a-ra+sa(r、seR»a，B向量)

3.(rs)a=r(sa)=s(ra)

(E)分黑占公式：

APyyi

(1)A—P—B且==-，。篇任意一黠，

PBn

即5?=」_与+”_加

m-\-nm+n

⑵A—B—P(或P—A—B)且==-，。篇任意一黠，

PBn

WJOP=^-OA+^-OB

m-nm-n

面稹比:

若/,m,neK且IPA+mPB-^-nPC=0

即LABP：LBCP:LACP=同：\l\:|w|

©主)：若/，m，〃同号虎，即在△ABC内部，若/，m,〃不同虢，

UP在△ABC外部。

(G洪国泉：

(1)A，B，C：B三黠。存在化'IeR使得kAB=lAC。

⑵1殳A，B，C:B三黑占,0焉任一黑占，x、yoR且0C=xOA+yOB，

即JA，B，C共品泉=x+y=1

(H)内稹:

⑴N~B=|7||耳|cos8(8篇夹角)

可榛此求夹角，或;ft，或内稹。

⑵N~A=\A\A\=4A~B)

⑶)=®,凶)，豆=(电，乃)，

若?'活、然同嬲，即P在△ABC内部

若)、？、%不同虢，刖P在△ABC外部

B<JA^=X1X3+7必

(4)内稹性

1.a.a=|a『=a.a=6Qa=i

2.ab-ba;

(aa)-b=a-(ab)=a(ab)

3.a(b+c)=ab-\-ac

1iiiiA-*■—*--**A

4.{ra+sb)-(ma+nb)=rw|a|+(»+sm)ab4-sn\b{

(I)平行舆垂直(#0、bWO)

,

(1)a=(公,y1)力=(>2，g),&_1_5=口8=0

(2)以〃否或4=1=BreR，使得a-rb

(3)4=(X1，M)E=(叼,乃)，

|(Jallb^h必=0;

今乃

而a_1_后=＞公马+皿2=0

(J)投影典投影量：

⑴。在军位向量v之正射影=(k［cos^)v

(其中8篇a舆,之夹角)

(2)b同向之罩位向量

向

⑶［在后之正射影

z|-|a、2a*bba-br-

=(忖c°s£)同=(百)用=(下］评

(4)3在言之正射影亦耦3在言之分向量

或£在言之投影，而且cos£耦：B在之分量(投影量)

(5)［在(占之^平行向量)之投影(分向量)均相等。

(K)科西-史瓦滋不等式：

（i）1殳5，石任二向量，即j时时2G-豺

（2）若1=⑷与庞=（“，均）

M'J（。：+町2购2+1”（她+砧2）2

且等式成立?

%...鼻，瓦%……'b*e.R

（3）（«12+a/+…….+a;购2+k+……+42）2（岫++%幻2

等嬲成立鲁=鲁=.......=?

4%b*

(L)三角形之五心：

⑴

(a)若I解ABC之内心

B[IaiA+iZS+c7c=0

•・,aAIBC:aAIAC:aAIAB=^ra:^rZ>:^rc=a.b:c

--a--b--c—-

=01=-----------OA+-----------OB+-----------OC

a+b+ca+b+ca+b+c

(b)若IA舄在NA内部之傍心,。舄任一跳即

Of==&-0+---0B+---0C

-a+b+c-a+b+c-a+b+c

(2)若0篇AABC之外心，即

(a)(sin2tz)OA+(sin2£)加+(sin2y)0C=0

前,港二画2

⑶Ii

而,记=j而,

(3)若竺竺B三重心，即

⑷GA+GB+GC=0

aAGBC：aj\GAC：aAGAB=1：1：1

一1一1一1一

①)OG=-OA+-OB+-OC(0篇任一黠)

(4)若H篇&ABC之垂心，刖

(a)AH-AB=AB*AC=AH*AC

(b)丽丽=丽雨

(M)面稹：

⑴令O、A、B不共4OA=a^OB=b

MJAA5C之面稹pj同2_(£・])2

⑵若0A=(xi，7i)>OB=(%2,72)

同」a/\ABC=；k科-X2乃|

(3)4(孙乃),3(电,为)£(弓,必)

与一演乃一必

即AA9c面稹=1

0一々乃一必

(N)二向量^性^合之系冬黠［«形：

(1)S=｛尸质=+y而，r+加=1｝表一直。

(可由满足"+仅=1之二^(xj)求出刖黑占，速接之)

(2)S=^P\AP=rAB+sAC,a<r<b,c<s<d^

弟JS之面稹2a-4BC・@-a)(d-c)，

其他不同之s、s限制，由作II彳爰求之。

(0)直系泉之参数式：

(1)黑占向式：言殳直国泉1谩尸(应先)且典向量r=(a，b)平行

=L之方程式。+"小长

(2)黠i向式之推箫J：

L:ax+》+c=0(7+*R0)，期」L有一垂直向量(法向量)

—--[X=X,+-Xy}t一

扁武=(arb),AB\£20m=$，-a)

+(乃-乃％有一平行向量

X=%+优£

「.搦时，丫0)(=、twR

又垂直L之直吊泉之参数式可篇1，一外

ry=x+bt

产(3y°)〈=_0,'*e氏

谩又平行L之直^之参数式可焉9一冲-"

(3)雨黑占是：A(xy>yx)'夕国"?)'即JAB=(x2-Xj>y2-y^

』Jx=x1+(x2-Xj)/

.X3之参数式可篇以=必+5-必)£

（li）:z=。-上，t=i-B

.亚.卜=々=8+小

，0</<1

•/=必+d-y排

-TS.（才=/+（弓一再）£

J1D.4，£20

/=71+（乃一%）£

（P）直^之交角：

⑴”/x+?+q=o交角舄@及，一

k:a2x+b2y+c2=0

MUcos6=

士号:+"2）、t