2-1-导数的概念与几何意义

PAGE教务处编制成都工贸职业技术学院教案课程名称高等数学年级2017级专业材料成型授课教师陈本锋授课时间学时2授课题目2-1导数的概念及几何意义教学目标知识目标：1、理解导数的概念，2、了解导数的几何意义，3、理解函数可导、连续之间的关系技能目标：1、能用导数描述一些实际问题中的变化率素质目标：1.帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观；2.培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力；3.加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神。教学重点1、导数的概念2、导数的几何意义3、导数的计算公式教学难点1、导数在物理、抛物线上的几何意义2、用定义求函数的导数3、指数函数、对数函数的求导教学方法讲授、交流讨论教学准备教案、多媒体、黑板、三角板、粉笔教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、导入新课（10分钟）引例求变速直线运动的瞬时速度。瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。一个质点在一条直线上运动,所经过的路程是时间的函数.如果质点是作变速直线运动,它的速度随时间变化而变化.现讨论质点在某一时刻时的速度,即瞬时速度．质点从时刻到这段时间间隔内,质点从位置移动到,质点经过的路程为:质点的平均速度为：.当较小时,平均速度可近似地表示质点在时刻的速度.且越小,这种近似程度也越好.从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度二、讲授新课（1）（25分钟）上面实际问题,解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量增量之比的极限:,或,其中,称为自变量增量,,称为相应于自变量增量的函数增量.1、导数的概念定义设函数在点处的某一邻域内有定义，当自变量X在点处有增量,仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在处的导数，记为，也可记为，，即若极限不存在，则称在点处不可导。在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成2、左、右导数与导函数（1）函数在点处的左导数（2）函数在点处的右导数定理1y=在点可导导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝所以函数在处的导数也记作注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值；它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值例1求函数在任意点x处的导数，并求解：在x处给自变量一个增量，相应函数增量为,于是，；即；则一般地，（为任意实数）注：求得先求，再将x用代替。求函数导数的一般方法：（1）求函数值的增量：（2）算比值：取极限，得导数：＝三、讲授新课（2）（25分钟）3、导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为4、可导与连续关系：可导连续定理2：设函数在点处可导，有又即故所以。即在可导，那么在处必连续，但反过来不一定成立，即在处连续的函数未必在可导。例2讨论函数在处的连续性与可导性.解因为,所以,即在处的连续,而由前面的讨论知，函数在处不可导。例3．求函数的导数解：（1）（2）（3）即，类似可得例4求函数解：(1)(3)=即，特别四、课堂练习（10分钟）练习1：求函数f(x)C（C为常数）的导数.解:.即(C)¢0.练习2：求的导数解课堂小结（5分钟）理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了解函数可导的充要条件：存在。掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数，理解导数的变化率的概念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题。同时加强对学生的教育引导，让学生知道专业学习和高等数学学习的重要性。六．作业布置（5分钟）习题2.1A组：1、4、5题教师结合教材讲解1、涉及时间变化率,如：

出生率、死亡率、增长率、速度、加速度、电流强度、感生电动势

2、涉及空间变化率,如：

最大值、最小值、斜率、曲率半径、膨胀系数、压缩系数

3、任何抽象的牵连变化率、相对变化率、百分变化率、.英文是：

rateofchangewithrespectto,relatedrate.教师结合教材讲解利用PPT讲解切线的斜率讲清楚左右导数的概念教师讲解导数的求法导数的几何意义具有现实意义，那就是求极值和最值教师讲授教师提示指导教师语言总结学生认真听讲学生认真听讲学生认真听讲学生重点做笔记学生认真听讲和思考学生理解近似和极限的概念学生理解导数公式的产生学生认真听讲学生思考练习学生回顾课堂练习，课堂展示学生记录小结理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连