福建省南平市政和县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023—2024学年下学期八年级半期质量检测数学试题（全卷共4页，三大题，共25小题；满分：150分；考试时间：120分钟）一，选择题（10小题，每小题4分，共40分）1.下列式子中最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式要具备两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可求解．【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意；B.被开方数中含有能开方的因式4，不是最简二次根式，不合题意；C.被开方数中含有能开方的因式4，不是最简二次根式，不合题意；D.被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不合题意．故选：A2.下列式子成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；B．，故该选项不正确，不符合题意；C．，故该选项正确，符合题意；D．，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，加减运算，分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．3.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理，验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方，如果有这种关系，这个三角形就是直角三角形．【详解】解：A.∵，∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，符合题意；B.∵，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，符合题意；C.∵，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，符合题意；D.∵，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，符合题意；故选：A．4.在中，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．5.以下条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边相等 B.对角线相等C.两组对角相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟知平行四边形的定义和判定定理是解题关键．根据平行四边形的定义和判定定理逐项判断即可求解．【详解】解：A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意；C.两组对角相等的四边形是平行四边形，故原选项正确，符合题意；D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原选项错误，不合题意．故选：C6.估算的值在（）A.1和2之间 B.在2和3之间C.在3和4之间 D.在4和5之间【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质估算即可解题．【详解】解：，，即的值在3和4之间，故选：C．7.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数图象的识别，进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，据此可得答案．【详解】解：进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，∴四个选项中，只有D选项的函数图象符合题意，故选D8.如图，平行四边形的周长为，的周长比的周长多6，则为（）A.7 B.9 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据题意正确的表示周长是解题的关键．由周长可得，，，然后计算求解即可．【详解】解：∵平行四边形，∴，由题意知，平行四边形的周长为，的周长为，的周长为，∴，整理得，，得，，解得，，故选：A．9.如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（）A. B.C. D.的大小与P点位置有关【答案】C【解析】【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+S2，得到即可．【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，∴S1+S2=AD×PF+BC×PE=AD×（PE+PE）=AD×EF=S，故选C．【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．10.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵，∴，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．二，填空题（每小题4分，共16分）11.若有意义，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义条件，以及解一元一次不等式，根据二次根式有意义，即被开方数非负，建立不等式求解，即可解题．【详解】解：有意义，，解得，故答案为：．12.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=________cm．【答案】12【解析】【分析】先说明DE是△ABC的中位线，利用中位线性质可求得BC长．【详解】解：∵D、E分别时AB、AC的中点∴DE是△ABC的中位线，∵DE=6cm，∴BC=2DE=12cm故答案为：12．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，注意三角形的中位线平行且等于对应三角形的第三边的一半．13.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的中线长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理，直角三角形中斜边上的中线．勾股定理求出斜边的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得解．【详解】解：由勾股定理，得：直角三角形的斜边，∴斜边上的中线长为；故答案：．14.若，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了非负数的性质：算术平方根以及平方，熟练掌握各自的性质是解题关键．利用非负数的性质求出x和y的值，带入原式计算即可求出结果．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴．故答案为：．15.如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是．【详解】解：∵四边形为矩形，∴对角线、相等且互相平分，，∴,∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴在中，，∴矩形的面积是．故答案为：16.如图，四边形ABCD菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于____．【答案】【解析】【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．三，解答题（共86分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；（2）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除运算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.已知，求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用因式分解求值等知识．（1）先将分解因式，再代入即可求解；（2）先将分解因式，再代入即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】．19.如图，在中，点E，F分别是边上的点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的对边平行得出，又，可得利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，又∵，∴∴四边形为平行四边形，∴．20.汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为．（1）写出表示y与x的函数关系的式子（2）指出自变量x的取值范围（3）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？【答案】（1）（2）（3）汽车行驶时，油桶中还有汽油【解析】【分析】本题考查一次函数解实际应用题，（1）根据油箱中的油量耗油量列函数关系式即可；（2）代表的实际意义为行驶里程，不能为负数，耗油量不能超过，即可得到答案；（3）根据题意，当汽车行驶时，令，代入解析式即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意，每行程km，耗油升，即总油量减少升，则油箱中的油剩下升，∴与的函数关系式为：；【小问2详解】因为代表的实际意义为行驶里程，所以不能为负数，即；又行驶中的耗油量为，不能超过油箱中现有汽油量的值，即，解得，．综上所述，自变量x的取值范围是；【小问3详解】当时，代入，的关系式：．所以，汽车行驶时，油桶中还有汽油；21.如图矩形的对角线交于点O，过点B作，过点C作，与交于点P，求证：四边形是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定．熟练掌握矩形的性质，菱形的判定是解题的关键．由矩形，可得，由，，可证四边形是平行四边形，进而结论得证．详解】证明：∵矩形，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．22.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论；（2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF．【详解】证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．23.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在格点上．（1）求四边形的面积；（2）连接，试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】本题考查了网格与面积，勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握网格与面积，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）如图，连接，根据，计算求解即可；（2）由勾股定理得，，，，则，进而可得是直角三角形．【小问1详解】解：如图，连接，∴，∴四边形的面积为；【小问2详解】解：由勾股定理得，，，，∴，∴是直角三角形．24.如图，在正方形中，对角线、相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接、．

（1）求证：；（2）点P是线段上的动点，点Q是延长线上的动点，且，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？若没变化，猜想度数，并给予证明．【答案】（1）见解析（2）的大小不发生变化，；理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．（1）根据正方形性质证明，即可证明；（2）作，垂足分别为点M、N，推出四边形是正方形，，再证明，则，即可得出结论．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴∴；．【小问2详解】解：的大小不发生变化，；证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，∴，，∴四边形是正方形，，∴，∵，∴∴，∵，∴，即．25.四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果）【答案】（1）70°；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1