七年级数学下册-第10讲 乘法公式（8个考点+8种题型+强化训练）（解析版）

第10讲乘法公式1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。3．在应用公式的过程中，感受整体思想。一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）三．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”四．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．五．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．六．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．七．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．八．整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．一．完全平方公式（共10小题）1．（2023春•滨湖区期中）下列各式中计算正确的是A． B． C． D．【分析】各选项分别利用完全平方公式计算即可判断．【解答】解：．，原计算正确，符合题意；．，原计算错误，不符合题意；．，原计算错误，不符合题意；．，原计算错误，不符合题意；故选：．【点评】本题考查了完全平方公式：，掌握完全平方公式，并能正确计算是解题的关键．2．（2023春•吴江区期中）已知，，则的值为A．3 B．9 C．49 D．100【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．3．（2023春•泗洪县期中）、为实数，整式的最小值是A． B． C． D．【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，再分析即可．【解答】解：，，，的最小值为，即的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的形式的掌握．4．（2023春•江都区期中）计算：已知：，，则7．【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把与的值代入即可求出值．【解答】解：，，．故答案为：7【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（2023春•宝应县期中）若，则的值为9．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：，，故答案为：9．【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．6．（2023春•南京期末）若，，则2．【分析】运用完全平方公式计算．【解答】解：，所以可得：，故答案为：2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式的变化式．7．（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：可得，若，则的最小值为0．【分析】根据偶次方的非负性以及完全平方公式解决此题．【解答】解：，．．．．．．的最小值为0．故答案为：0．【点评】本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题的关键．8．（2023春•淮安期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为45．【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．【解答】解：根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为为45，故答案为：45【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．9．（2023春•丹阳市期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．【分析】（1）将所求恒等变形为，代入数据计算即可；（2）利用和平方与差平方公式之间的关系运算即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．（2023春•邗江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值．解：，，问题（1）若，求的值．（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式计算即可；（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出、的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．【解答】解：（1），，，解得，，；（2），，即，，，解得，，是中最长的边，．【点评】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共8小题）11．（2023春•兴化市月考）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式A． B． C． D．【分析】观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：，其面积可以表示为：分部分来看：左下角正方形面积为，右上角正方形面积为，其余两个长方形的面积均为，各部分面积相加得：，故选：．【点评】本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．12．（2023春•南京期中）如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形．若这两个正方形的面积和为13，的面积为3，则的长度是5．【分析】设，，则，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】设，，则，这两个正方形的面积和为13，的面积为3，，，（负值舍去），的长度，故答案为：5．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，正方形的面积公式，三角形的面积公式，正确地得出方程组是解题的关键．13．（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．（1）观察如图2填空：正方形的边长为，阴影部分的小正方形的边长为；（2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①已知，，求的值；②已知，，求的值．【分析】（1）根据图形，正方的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差；（2）阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长方形是面积，由此解答即可；（3）先利用（2）中的结论求的值，然后求解即可．【解答】（1）解：正方的边长为，阴影部分的正方形的边长为；故答案为：，；（2）解：，理由如下：；（3）①由（2），，，，；②由（2），，，，又，，．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．14．（2023春•高港区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．（1）在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到请设计一个图形说明成立：（画出示意图，并标上字母）（2）如图2，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注写出解答过程）（3）根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为13．【分析】（1）利用“算两次”的方法分别计算图形的面积即可；（2）由面积“算两次”的方法，用代数式表示梯形的面积即可；（3）由代入解答即可．【解答】解：（1）如图1，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为，构成整体的6个部分的面积和为，因此有；（2），理由如下：从“整体”上看是上底为，下底为，高为的直角梯形，因此面积为，从“部分”上看，3个三角形的面积和为，因此，所以；（3），，，，，故答案为：13．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．15．（2023春•邗江区期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到．材料二：已知，，求的值．解：，，请你根据上述信息解答下面问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）已知，，求的值．（3）已知，求的值．（4）如图3，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为．【分析】（1）用两种方法分别表示图2中阴影部分的面积即可；（2）由整体代入计算即可；（3）设，，则，，求出的值即可；（4）由题意可得，，，设，，得到，，求出的值即可．【解答】解：（1）从“整体”上看是边长为的正方形，因此面积为，也可以看作9个“小部分”的面积和，即，因此，故答案为：；（2），，；（3）设，，则，，即，；（4）由题意可得，，，设，，则，长方形的面积为80，，图中阴影部分的面积和为：，故答案为：176．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中各个部分的面积是解决问题的关键．16．（2023春•工业园区期中）【阅读理解】若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝15；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．【分析】（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，最后根据完全平方公式，即可求解；（3）设CF＝a，BC＝b，根据长方形CBQF的面积为320cm2，列方程同理可得结论．【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；故答案为：15；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，∴ab＝150，即（2023﹣x）（x﹣2000）＝150；（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，设CF＝a，BC＝b，∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，∵长方形CBQF的面积为320cm2，∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝320，∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．【点评】本题考查了完全平方公式，换元等知识，解题关键是灵活利用换元思想，熟练掌握完全平方公式．17．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，，．，．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若，，则5；（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两侧作正方形与正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．【分析】（1）先求出，再求即可；（2）设正方形与正方形的边长分别为，，将，两正方形的面积和为20，求的面积都转化为，的表达式，再求解即可，【解答】解：（1），，，．，，；故答案为：5．（2）设正方形与正方形的边长分别为，，，，两正方形的面积和为20，，，，，，的面积．【点评】本题主要考查了学生的模仿能力和转化能力．18．（2023春•江都区期中）【探究】若满足，求的值．设，，则，，；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若满足，求的值；【拓展】（2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．①，；（用含的式子表示）②求阴影部分的面积．【分析】（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可；（2）①分析图形可知，，从而可得解；②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）设，，则，，；（2）①四边形是长方形，，四边形是正方形，，，，，故答案为：，；②长方形的面积是8，，阴影部分的面积．设，，则，，，，又，，．即阴影部分的面积12．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．三．完全平方式（共5小题）19．（2023春•句容市期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足A． B． C． D．【分析】先用含有、的代数式分别表示，，再根据，得，整理得，所以．【解答】解：由题意可得：，，，，，，，，．故选：．【点评】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．20．（2023春•江阴市期中）若是完全平方式，则的值是A．6 B． C．3 D．【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．【解答】解：，是完全平方式，．故选：．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2023春•丹阳市期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为6．【分析】根据完全平方公式进行判断，画出相应的图形即可．【解答】解：①，即可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼成一个边长为的正方形；②，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；③，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为的正方形；④，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片8张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；⑤，即可以用甲正方形纸片9张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为的正方形；⑥，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片9张，拼成一个边长为的正方形；综上所述，共有6种不同的正方形．故答案为：6．【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．22．（2023春•邗江区校级期末）已知是一个完全平方式，则或0．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．【解答】解：是一个完全平方式，，解得：或，故答案为：或0【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．（2023春•睢宁县期中）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．（1）；（2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则；（3）对于有理数、，若，．①求的值；②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点、、在同一条直线上，点在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求的值．【分析】（1）直接根据计算即可；（2）根据新定义得出，再根据结果是一个完全平方式，利用完全平方式的概念即可求出；（3）①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；②根据图形用含，的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出．【解答】解：（1）原式．故答案为：；（2）原式，是完全平方公式，或．故答案为：2或；（3）①原式，，，，，；②由图知：，，化简得，，由①得，，，，．【点评】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．四．平方差公式（共3小题）24．（2023春•新吴区期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是A． B． C． D．【分析】根据平方差公式的特点逐个判断即可．【解答】解：、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：．25．（2023春•邳州市期中）如果计算时能使用平方差公式，则、应满足A．、同号 B．、异号 C． D．【分析】根据公式得到即故．【解答】解：，时能使用平方差公式，即故．故选：．【点评】本题考查了平方差公式，相反数，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．（2023春•工业园区期中）计算：1．【分析】运用平方差公式进行简便运算．【解答】解：．故答案为：1．【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．五．平方差公式的几何背景（共7小题）27．（2023春•工业园区校级月考）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这两个图能解释一个等式是A． B． C． D．【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【解答】解：由图可知，图1的面积为：，图2的面积为：，所以．故选：．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．28．（2023春•江阴市期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是A． B． C． D．【分析】用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积即可．【解答】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙是边长为的正方形，因此面积为，因此有，故选：．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积是正确解答的关键．29．（2023春•东台市期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是A．30 B．40 C．50 D．60【分析】设大正方形边长为，小正方形边长为，则，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形边长为，小正方形边长为，则，阴影部分的面积是：，，，，，．故选：．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积．30．（2023春•玄武区校级月考）在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式A． B． C． D．【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，即：，故选：．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．31．（2023春•邗江区期末）（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请写出这个乘法公式；（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为0的有理数，已知，，比较、大小．（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为的正方体，挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式，计算的差即可；（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，因此有，故答案为：，，；（2），是不为0的有理数，，即，；（3）图3左图的体积为，图3右图是长为，宽为，高为的长方体，因此体积为，因此有，故答案为：．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．32．（2023春•兴化市月考）【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：计算：．【拓展】①结果的个位数字为；②计算：．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；（2）由图1、图2阴影部分的面积相等得出答案；【应用】根据平方差公式计算即可；【拓展】①配上因式，利用平方差公式求出结果，再根据的个位数字出现的规律进行判断即可；②利用加法的交换律和平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即：，图2的长是，宽为的长方形，因此面积为，故答案为：，；（2）由（1）得，，故答案为：；【应用】；【拓展】①原式，，，，，，，而，的个位数字为6，故答案为：6；【拓展】原式．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．33．（2023春•宝应县期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）．公式①：公式②：公式③：图1对应公式②，图2对应公式，图3对应公式．（2）请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式（3）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）【分析】（1）根据各个图形中面积之间关系可得答案；（2）仿照（1）根据式子特点不难设计几何图形；（3）用代数式表示图形中各部分面积，再由面积之间关系可得结论．【解答】解：（1）图1“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形面积的和为，因此，图①对应公式②，图2“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形面积的和为，因此有，图②对应公式③，图3“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分面积的和为，因此有，图③对应公式①，故答案为②，③，①；（2）答案如图所示：（3）由图可知：矩形和矩形都是正方形，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式及平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是正确解答的前提．六．整式的除法（共3小题）34．（2023春•玄武区校级月考）墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是A． B． C． D．【分析】根据整式除法法则计算可求解．【解答】解：由题意得，，故选：．【点评】本题主要考查整式的除法，掌握整式的除法法则是解题的关键．35．（2023春•镇江期中）一个长方形的面积为，若一边长为，则它的另一边长为．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，故答案为：．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．36．（2023春•姜堰区期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图，即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：余式为能被整除．根据阅读材料，请回答下列问题：（1）多项式除以多项式，所得的商式为；（2）已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式；（3）已知能被整除，则；（4）如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）根据被除式除式商式余式进行计算，即可求出多项式；（3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（4）根据题意，得到6张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案．【解答】解：（1）列竖式如下：多项式除以多项式，所得的商式为，故答案为：；（2）关于的二次多项式除以，商式是，余式是，该二次多项式为：，即多项式为：；（3）列竖式如下：能被整除，，解得：，故答案为：3；（4）能，根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是，张卡片，3张卡片，1张卡片的总面积为，列竖式如下：余式为0，能被整除，商式为，可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为．【点评】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式．七．整式的混合运算（共7小题）37．（2023春•兴化市月考）如果表示，表示，则．【分析】原式利用题中的新定义变形，计算即可得到结果．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】此题考查了单项式乘单项式，弄清题中的新定义是解本题的关键．38．（2023春•秦淮区校级月考）已知实数，满足，则的最大值为22．【分析】由计算得到，即可得到，由得到，即可得到的最小值为，的最大值为7，即可得到的最大值为22．【解答】解：，，，，，，的最小值为，的最大值为7，的最大值为22．故答案为：22．【点评】本题考查了整式的混合运算，正确变形代数式是解题的关键．39．（2023春•建邺区校级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，．【分析】根据图形分别表示出和，然后相减即可．【解答】解：如图1，，如图2，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积．40．（2023春•灌南县期中）如图所示，长方形中放置两个边长都为4的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为24．【分析】设，，由题意得出，，分别计算出、，由，求出，即可解决问题．【解答】解：设，，由题意得：四边形、四边形、四边形都为长方形，，，，，，，整理得：，长方形的周长，故答案为：24．【点评】本题考查了整式的混合运算、长方形面积与周长的计算等知识，求出是解题的关键．41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．42．（2023春•东台市期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先去绝对值，计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再算加减法即可；（2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法，再合并同类项即可；（3）先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可；（4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．43．（2023春•鼓楼区校级月考）在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算．现在我们研究第三种情况：已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如：求，因为，所以；又比如，，（1）根据定义计算：①4；②；③如果，那么；（2）设，，则，，，、均为正数），，，，即这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：；（其中、、、、均为正数，，（3）请你猜想：，，、均为正数）【分析】（1）各项根据题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用对数的运算法则变形即可得到结果；（3）利用已知的新定义化简即可得到结果．【解答】解：（1）①；②；③如果，那么；（2）；（3）原式．故答案为：（1）①4；②0；③2；（2）；（3）【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．八．整式的混合运算—化简求值（共6小题）44．（2023春•大丰区期中）已知，那么4060．【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：，，则原式．故答案为：4060．【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．45．（2023春•赣榆区期末）若，，则代数式的值是1．【分析】运用乘的乘方逆运算法则对进行变形，再将，的值代入求值即可．【解答】解：，当，时，原式故答案为：1．【点评】本题考查了积的乘方逆运算，解决本题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则．46．（2023春•滨湖区期中）先化简，再求值：，其中．【分析】先利用完全平方公式与平方差公式进行计算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行求值即可．【解答】解：原式．当时，原式．【点评】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，熟练地利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解本题的关键．47．（2023春•东台市期中）先化简，再求值：，其中，满足．【分析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，求出，，最后求出答案即可．【解答】解：，，，，，，原式．【点评】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，整式的混合运算与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．48．（2023春•亭湖区校级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）若，求的值；（3）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；（3）根据题目的已知可得，，然后设，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算即可解答．【解答】解：（1），，，，，，的值为12；（2）设，，，，，，的值为6；（3）四边形是长方形，，，，，，设，，，长方形的面积为200平方单位，，图中阴影部分的面积和正方形的面积正方形的面积，图中阴影部分的面积和为500平方单位．【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．49．（2023春•灌云县期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图．（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若，，则；（3）拓展应用：若，求的值．【分析】（1）根据面积法进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；（3）设，，则，再根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：，故答案为：；（2），，，，故答案为：；（3）设，，，，，，，，，，，，的值为．【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．一、单选题1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若多项式是一个完全平方式，则m的值为（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】运用完全平方式的结构特征进行求解．【详解】解：，，是完全平方式，即是一个完全平方式，，故选：D．【点睛】此题考查了完全平方式，关键是能准确理解并运用公式的形式进行求解．2．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）下列各式能用平方差公式计算的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根据满足形式的多项式的乘法可以用平方差公式计算，进行判定作答即可．【详解】解：，不能用平方差公式计算，故A不符合要求；，不能用平方差公式计算，故B不符合要求；，能用平方差公式计算，故C符合要求；，不能用平方差公式计算，故D不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键熟练掌握平方差公式的结构特征．3．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（

）A．2020 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【分析】根据题意可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），即得这个“完美数”为，即为8的倍数，从而即可求解．【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），∴这个“完美数”为，∴这个“完美数”为8的倍数．观察各选项可知只有B．2024是8的倍数，∴这4个数中2024是“完美数”．故选B．【点睛】本题考查整式混合运算的应用．理解“完美数”的定义是解题关键．4．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）在下列各式中，运算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式或完全平方公式逐一计算即可得到答案．【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是平方差公式与完全平方公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键．5．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知，那么的值为（

）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【答案】A【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式．【详解】解：∵，∴．∴．故选：A．6．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】设小长方形的长和宽分别为和，根据阴影部分的面积分别为和，列方程，再整体求解．【详解】解：设小长方形的宽为，长为，由图得：，，由图得：，则，即，则，解得：，故每个小长方形的面积为：．故选：C．【点睛】本题考查了整式的混合运算，表示出阴影部分的面积是解题的关键．7．（2023下·江苏·七年级校考阶段练习）中三边长a，b，c满足条件，则c边不可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用完全平方公式变形可得，再根据平方的非负性和绝对值的非负性求得，，再利用三角形的三边关系确定c的取值范围，即可求解．【详解】解：∵，即，∴，，∴，，∵，即，故选：A．【点睛】本题考查完全平方公式、三角形的三边关系、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键．二、填空题8．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知，，则的值为【答案】16【分析】根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值．【详解】解：，，，故答案为：16．【点睛】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．9．（2023下·江苏扬州·七年级仪征市第三中学校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片张．【答案】6【分析】设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可．【详解】解：设还需要取k张C卡片∵取纸片9张，取纸片1张，∴面积和为，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为，∴是一个完全平方式，∴，∴（负值舍去）∴还需6张C纸片，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．10．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，点C是线段上的一点，以、为边在的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，则图中阴影部分面积为．

【答案】4【分析】设，，可得，，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：设，，∵，∴，又∵，∴，由完全平方公式可得，，∴，∴，∴，即：阴影部分的面积为4．故答案是：4．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．11．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是．

【答案】25【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可．【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，∴阴影部分的面积；故答案为：25．【点睛】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键．12．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如果多项式是完全平方式，则的值为．【答案】4或【分析】根据是完全平方式比较系数计算即可．【详解】解：∵，∴，解得或4，故答案为：4或．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．13．（2022上·江苏连云港·七年级校考期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，，设，则．

【答案】7【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解．【详解】解：由，可得：，由图①得：，由图②得：，∴，∴，∵，∴．故答案为：7．【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．三、解答题14．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）先化简，后求值：，其中，．【答案】【分析】根据完全平方公式、平方差公式，合并同类项法则运算化简为最简形式，代值运算．【详解】解：当，时，原式．【点睛】本题考查整式的运算及求值；掌握整式乘法公式是解题的关键．15．（2023下·江苏·七年级专题练习）当，时，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，原式中括号中利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：，当时，原式．16．（2022下·江苏淮安·七年级校考期中）【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：(1)写出下图中所表示的数学等式______．(2)如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______．(3)【知识应用】若，求的值；(4)【灵活应用】下图中有两个正方形、，现将放在的内部得到图甲，将、并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形的面积之和______．【答案】(1)(2)(3)(4)13【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．（1）利用“算两次”的方法分别计算正方形的面积即可；（2）由图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；（3）利用（2）中的结论，求出即可；（4）分别用代数式表示图3甲、乙中的阴影部分的面积即可．【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，图1中4个部分的面积和为，因此有，故答案为：；（2）解：图2