高中数学学习之数列学案

第六章数列

学案（1）数列

0目标

i.理解数列及其有关概念；

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

*3复习引入

1.函数的定义.

2.在学习函数的基础匕今天我们来学习数列的有关知识，首先我们来看一些例子:

4,5,6,7,8,9,10.①

1111

1)—,—,一,一,•

2345

1,0.1,0.01,0.001,0.0001,③

1,1.4,1.41,1.414,④

—1,L—1,1,-1,1,….⑤

2,2,2,2,2,….⑥

观察这些例子，看它们有何共同特点？

新课

1.数列：__________________________________________________

2.数列的项：______________________________________________

3.数列的表示：____________________________________________

4.数列的通项公式：________________________________________

5.有穷数列：______________________________________________

6.无穷数列：______________________________________________

例1根据下面数列｛%｝的通项公式，写出前5项：

"+1

例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

(3)-^―(4)0,2,0,2；

1x22x33x44x5

,、14916

(6)—1.1,—1,1)—1o

3579

d连练习

写出下列数列的通项公式:

1111

,999

3-8--一2)999,9999,...,

1524

(3)0.7.0.77,0.777,0.7777.

2.写出下列数列的通项公式：

_4_6__8_

(1)2,-5,10,-17⑵I,

15'35'63

1925

(3)2,8,

222

(4)0.5.0.55,0.555,0.5555….

3r小7小

(5)1-.

2

1.观察下面数列的特点，用适当的数填空

111

(1)

'4)」而,32；

1733

16132

2

2./(x)=log2(x+7),6,=/(〃)，则｛4｝的第五项为.

3.写出•个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

(1)—1>2,—3,4；

(2)2,4,6,8；

(3)1,4,9,16；

11111111

(4)

一/'2-3'3-4'4-5

4.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式:

(1)3,5,9,17,33,Z.±AA12

3'15'35'63'99

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,

(5)2,-6,12,-20,30,一42,

5.已知数列｛n(n+2)｝.

（1）写出这个数列的第8项和第20项;（2）323是不是这个数列中的项？如果是，是第

几项？

学案（2）递推公式

目标

1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同;

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项：

3.理解数列的前n项和与凡的关系；

4.会由数列的前n项和公式求出其通项公式。

复习.

1.数列：

2.数列的项：

3.数列的表示：

4.数列的通项公式：

5.数列的图像都是一群孤立的点.

6.数列有三种表示形式：

7.有穷数列:

8.无穷数列：

通史撕遽

1.观察钢管堆放示意图,,寻其规律，建立数学模型.

模型：自上而下：

第1层钢管数为4；即：94=1+3

第2层钢管数为5；即：25=2+3

第3层钢管数为6SU：3-6=3+3

第4层钢管数为7；即：4—7=4+3K•••

第5层钢管数为8；即：5-8=5+3

第6层钢管数为9；即：669=6+3d▲_J

第7层钢管数为10；即::7-10=7+3

若用a“表示钢管数，n表示层数，则可得出每一-层的钢管数为-数列，且%=

a„与a„_\什么关系呢?____________________________________

2.递推公式：

3.数列的前n项和：

4.S“与。”之间的关系:

1

例1已知数列｛a,J的第1项是1,以后的各项由公式4=1+给出，写出这个数列

an-\

的前5项.

例2已知数列｛%｝中，%=1,%=2,%=3a„_,+a“_2(〃》3),试写出数列的前4项.

例3已知q=2,an+i=2an写出前5项，并猜想a“.

例4已知数列｛/｝的前n项和，求数列的通项公式.

22

(1)Sn=n+2n；(2)Sn=n—2n—1.

d逐练习

1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.

(1)%=0,an+l=an+(2n—1)(n£N)；

2a

(2)%=1,a“+|=----(nGN)；

%+2

(3)ax=3,a〃+]=3%—2(neN)o

2.已知下列各数列｛%｝的前n项和S”的公式，求｛4“｝的通项公式.

(1)S„=2n2-3n;(2)S„=3n-2.

3.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项

"1=1，an~an-\+----(〃22)

an-\

4.已知切〃七，求数列的通项公式

an

5.（选做）％=5,且3=——，试猜想通项公式

%〃+1

作业

一、判断题

百的精确到1,0,1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数：1,1.7,1,73,1.732,

这一列数构成一个数列.（）

二、单选题

1.数列——…的一个通项公式是（）

357

A.（-1）——B.（一1严.——

2/z-12〃+1

2.已知数列01,上2；3；,…，其中0.9是它的（）

234

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

3.已知数列—1,一,—1）",它的第5项的值为（）

49n

,1

A.-1B.1C.----

10

4.数列一3,1,1,—3,5,…的一个通项公式为(

A.n—4B.2n—5C.—2n+5D.(-1)W(-2H+5)

5.数列L4,9,16,25……的第7项是()

A.49B.94C.54D.63

6.数列一1,7,—13,19,…的通项公式〃“为()

A.6n—5B.-6n+5

C.(-l)n-6n-5D.(-l)n-(6n-5)

7.数列一——,——，…的一个通项公式为()

2x12x22x3

A.，B.且,且

n(n-l)2n〃(/?一1)2/7

8.已知数列L…，这个数列的第io项是)

-L2L3-L4

11

A.-1B.1C.----D.

10To

9.数列…的一个通项公式是()

24816

A-㈠)”！(-1尸(一I)""

B.(-I)"—C.D.

2〃2n2"

10.关于以下四个数列:

(1)-1，1，-I.1，…;(2)1,3,5,7,-；

八、1111

③5'~>—>0)-27,9,-3,1.

正确的叙述是()

A.(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列

B.(2)⑶是无穷数列，(1)(4)是有穷数列

C.(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列

D.(2)是无穷数列，⑴(3)(4)是有穷数列

11.已知数列前4项为4,-3,2,-1,那么5是这个数列的第几项?[]

A.第5项B.第6项C.第9项D.第10项

三、填空题

1.已知数列的通项公式为。〃=(-1严・(2n—3),则。3+。4+〃5=

2.已知数列的通项为%=2n(n+l),则。2+。8=.

3.已知一个数列的通项公式为an=口+㈠)］，则这个数列的第40项为

n

72_i24252-42

4.若一数列的前4项分别为^-—-V-,则这个数列的通项为

2345

5.写出下列各数列的通项公式:

小1491620・

⑴丁号IF5行…’

呜，*5''

(3)1,3,7,15,-(4)2,0,2,0,2,-

学案(3)等差数列

J目标

1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式;

2.已知%,外,",〃中的三个，求第四个的问题。

*♦新课

观察下面两个数列有什么共同特征？

①5,15,25,35,…和②3000,2995,2990,2980,…

1.等差数列：

2.等差数列的通项公式：

例1(1)求等差数列8,5,2…的第20项

(2)-401是不是等差数列-5,-9,—13…的项？如果是，是第几项？

例2在等差数列｛%｝中，已知4=10，为2=31，求。1,4,。20,4

例3梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差

数列，计算中间各级的宽度

弋隼^练习

1.(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.

(2)求等差数列10,8,6,……的第20项.

(3)100是不是等差数列2,9,16,……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

（4）-20是不是等差数列0,-3---7,……的项？如果是，是第儿项？如果不是,

2

说明理由.

2.在等差数列｛6｝中，（1）已知求。［与d；（2）已知。3=9,%=3,求％2.

卷幺分层训练

1.2005是数列7,13,19,25,31,…，中的第（）项.

A.332B.333C.334D.335

2.若数列｛2｝的通项公式为%=2n+5,则此数列是（）

A.公差为2的等差数列

B.公差为5的等差数列

C.首项为5的等差数列

D.公差为n的等差数列

3.等差数列一3,-7,-11」一，的一个通项公式为（）

A.4"-7B.-An-7

C.4/?+1D.-4n+l

4.若｛。“｝是等差数列，则。］+。2+。3，。4+。5+%＞，%+4+。9，…，。3"-2+。3"-1+”3“，

是（）

A.一定不是等差数列

B.一定是递增数列

C.一定是等差数列

D.一定是递减数列

5.已知等差数列｛%｝中，％与Q的等差中项为5，%与%的等差中项为7,则a„

6.如果等差数列｛%｝的第5项为5,第10项为-5,则此数列的第1个负数项是

第一项.

7.等差数列｛6,｝中，的=50，%=30,则%=-

8.若｛勺｝是等差数列，。3,。10是方程*2&-5=0的两根，则氏+。8=.

9.判断数52,2k+7(k€N+)是否是等差数列｛a“｝:-5,-3,-l,L…，中的项，若是，是第几

项？

10.在等差数列｛/｝中，

(1)已知内=31，a3=76,求4和d；

(2)已知。1+46=12,a4=7,求“旷

学案(4)等差中项

目标

1.明确等差中项的概念；

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.

复习

1.等差数列：

2.等差数列的通项公式：

3.有几种方法可以计算公差d

*J新课

如果在。与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列，那么4应满足什么条件?

等差中项：________________________________________________________________

a

例1在等差数列｛%｝中，若为+。6=9,a4=7,求处，9-

a=80

例2等差数列｛。“｝中，at+a3+a5=-12,且6%s-求通项。,广

例3在等差数列｛%｝中，a3+a4+a5+a6+a1=450,求出+%及前9项和S”

例4（选做）已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：-----------------的

b+c-ac+a-ba+b-c

倒数也成等差数列.

练习

1.在等差数列｛%｝中，已知牝=10,an=31,求首项％与公差d.

2.在等差数列｛%｝中，若牝=6,。8=15,求。14・

3.在等差数列｛。〃｝中，若%+出+…+牝=30,〃6+。7+…+。10=80»求

1+。12+•••+〃15•

等幺作业

1.在等差数列｛。“｝中，d为公差，若〃?,〃,p,qeN*且m+〃=p+q

求证：⑴+。“=3+4(2)ap=aq+(p-q)d

2.在等差数列｛%｝中，若为=。，6。=b求a.

3.在等差数列｛%｝中，若出+%=加，求a5+a6-

4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数.

5.在等差数列｛%｝中，若％-。4一。8一为2+%5=2求知•

学案(5)等差数列前n项和公式(一)

目标

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

/J复习

1.等差数列的定义：an-an_x=d,(n22,nGN*)

2.等差数列的通项公式：

an=«1+(n-V)d(%=%,+(〃—/n)d或a“=pn+q(p、q是常数))

3.儿种计算公差d的方法：

①d=%—%②③d，一%

n-\n-m

4.等差中项：4=审。。,4力,成等差数列

5.等差数列的性质：m+n=p+q=>6〃+〃〃=〃〃+%(m,n,p,qWN*)

6.数列的前n项和：

数列｛%｝中，%+%+%+…+%称为数列｛%｝的前n项和，记为S”.

.金1献I

阅读小故事：

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在

给大家出道题目：

1+2+…100=?”

过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说:

“1+2+3+…+100=5050.

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；―50+51=101,所以

10X50=5050”

从这个故事中我们能够得到什么启发.

等差数列的前“项和公式1：

等差数列的前〃项和公式2：

例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放­

支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

例2等差数列一10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?

例3已知等差数列｛6｝中叫=13且S3=S「那么n取何值时,S“取最大值.

空出练习

1.一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列

的通项公式.

2.己知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前〃项和的公式.

学案（6）等差数列的前〃项和公式（二）

“3目标

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前”项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.

复习

1.等差数列的前〃项和公式1：S.="(■+%)

2.等差数列的前〃项和公式2：S“=nax+迎二更

2

3.Sn=^n+(ai-^)n,当d¥0,是一个常数项为零的二次式

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法：

⑴利用a“：

当%>0,d<0,前n项和有最大值可由。“20,且a“+1W0,求得n的值.

当*<0,d>0,前n项和有最小值可由a“WO,aan+1>0,求得n的值.

(2)利用S"：由S”=91?+(a1—g)n二次函数配方法求得最值时n的值.

例1求集合M=54加=2〃-且mV60｝的元素个数及这些元素的和.

例2在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2,并求这些数的和

例3已知数列｛%｝,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：(1)§6，5|2-56,S|8一S|2成等差数列；

(2)Sk,S2k-Sk,S.k-S2k(keN*)成等差数列

dW练习

1.两个等差数列，它们的前n项和之比为生3,求这两个数列的第九项的比。

2//-1

2.一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求它的前110项和

3.求集合M=｛m|m=7n,neN*且〃?<100｝的元素个数，并求这些元素的和。

"作业_

一、选择题

1.已知等差数列Sio=5a6且2。1=4+。5，则)

A.-1B.-2C.0D.2

2.连续11个奇数的和为121,那么其中最大的奇数是()

A.11B.15C.17D.21

3.已知等差数列一3,0,3,…各项之和为60,则这个数列的项数是()

A.6B.7C.8D.9

4.已知等差数歹!)｛斯｝中，a2+a4=l4,S3=15,则。6等于()

A.15B.13C.12D.9

5.已知等差数列中，S10=5(a1+a2)+40,那么这个数列的公差d=()

A.-1B.1C.-2D.2

6.已知等差数列前n项和为Sn=2i?+an,a为常数，则公差d=()

A.2B.3C.4D.5

7.已知等差数列｛a"的各项之和为80,项数和首项为方程x2-6x-16=0的两根，则最

后一项是()

A.20B.22C.-2D.-4

二、填空题

1.前50个正偶数的和为

2.等差数列1,5,9,13,…前100项的和为

3.计算6+11+16+…+501=

4.若A=l+3+5+…+1997,B=2+4+6+-+1996+1998,则A与B的大小关系是A__B.(填

或)

5.计算(-4)+(—1)+2+5+…+53=

2

6.若数列｛4n｝的前n项和Sn=2n-n+3,则其通项公式an=

7.一个7层书架共放777本书，上边一层总比下边一层少7本书,则最上面一层放了

本书.

8.0.01+0.04+0.07+0.10+0.13+0.16+0.19+…+1.00=

9.1+3+5+…+179=

三、解答题

在两位自然数中，被5除余2的数由小到大排成•个数列，求这个数列中偶数项之和.

馋幺作业二

一、选择题

1.等差数列｛4｝中,5l0=45s>则幺=()

d

11

A.-B.2C.-D.4

24

2.工厂生产某种零件，如果从某一个月开始生产了200个零件，每月比匕一个月多生产

100个，那么经过多少个月后，该厂共生产3500个零件？()

A.5个月B.6个月C.7个月D.8个月

3.在等差数列｛〃n｝中，a\+a,+...+<25O=2OO,a51+^52+…IOO=2700,那么a1

等于()

A.-1221B.-21.5C.-20.5D.-20

4.使得数列57,53,49,45,…的前n项和Sn〈0的n的最小值是()

A.32B.31C.30D.29

5.等差数列前n项和为Sn，且Sio=100,S30=900,那么S50的值为()

A.2400B.2500C.2700D.2800

6.数列｛&n｝的前n项和为Sid+bn+c,a、b、c均为常数,则c=0是数列｛许｝为

等差数列的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

7.若数列｛%｝的通项公式为6=12—3n,则使。|+。2+…+an为负数的最小的n的值为

()

A.7B.8C.9D.10

8.若等差数列通项为an=3-na,且知&<)=85,则常数a=()

A.1B.-1C.2D.-2

9.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn=an'+bn+c,a、b、c为常数,若0=1,a3=5,

则a+b+c=()

A.IB.2C.3D.4

10.在等差数列中，S20是前20项之和，d为公差，句为首项，为第10项，。2。为第20

项，则S20等于（）

A.20a20B.20«i+380dC.20«|O+10dD.a,+380d

11.若X抒,两个数列：X,为，“2,的，y及x,b„b2,b3,b4,y都是等差数列，公差

分别为d1,d2,那么d|：d2等于（）

12.已知｛%｝是等差数列，且的+颔=40,则以+劭+/。的值等于（）

A.60B.72C.96D.48

13.已知某等差数列各项之和为2380,首项为1公差为3,则这个数列共有（）

A.39项B.40项C.41项D.42项

14.已知数列｛%｝为等差数列，a3=5,则S5的值是（）

A.15B.25C.20D.不确定

15.公差为d的等差数列｛念｝中，前n项和Sn=n（l-n）,那么（）

A.d=2,”n=2n—2B.d=2,an=~2n+2

C.d=-2,“产―2n+2D.d=_2,a„=—2n—2

16.在等差数列｛&n｝中，®04+477+0io+a13=16,则前16项的和是（）

4.64B.75C.80D.85

二、填空题

1.设数列｛%｝是首项为3,公差为d的等差数列，又数列｛bn｝是由b产%+%+1（生1）所决定

的数列，那么数列｝的前n项和Sn=.

2.在等差数列｛册｝中，已知。4=7,则它的前7项的和为.

3.在等差数列｛斯｝中，已知。6+的+田2+。15=30，则该数列前20项的和S20=.

4.已知数列｛%｝,fl|=2,%+|=%—2（n=l,2,3,...）,则刃+的+…+侬=___.

5.等差数列｛斯｝中，已知恁+。9+。12+。15=20，贝I$20=.

6.已知一个等差数列的前五项之和为45,第十项为30,则第100项是.

7.等差数列公差为2,前100项的和为40,则前100项中所有偶数项的和为.

8.若lgx+lgx2+lgx3+...+lgxn=n2+n,则x=.

9.等差数列｛小｝中，已知。3=-5,。7=15,则。1+。2+43+。4+“5=.

10.等差数列｛斯｝中，已知"4=0.8，"11=2.2,贝IJ。51+。52+…+。80=__.

2

11.在数列｛an｝中，已知sn=2n—3n,则a5+a6=.

12.若等差数列｛小｝中，满足关系。1一。4一。8一。12+。15=2，则S[5=.

13.已知等差数列｛fln｝满足巧+的+。5=—1，则41+。2+。3+&4+“5的值为.

14.在等差数列｛为｝中，。产13,S“=S3,那么这个数列前项的和最大，最大值是

15.等差数列前10项之和为100,前100项之和为10,则前110项之和为

16.已知数列｛%｝，。1=2,%+]=%—4（n=l,2,3,•••）＞则44+%+°8+…+须=_.

2

17.若数列｛斯｝的前n项和为Sn=3n+2n+l,贝ijan=.

18.已知数列｛&｝的通项公式为斯=2n—49,那么Sn达到最小值时，n=.

19.等差数列｛册｝的公差d=-1且。1+。4+。7+…+。97=50,那么。3+。6+。9+…+。99的值是

2

20.已知一数列前n项之和是Sn=3n-1,则它的通项公式是.

2

21.已知数列｛%｝的前n项和Sn=5n—3n,则an=.

22.把2013表示成连续11个奇数之和，则其中最大的奇数是.

23.某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字

数相同.结果全月共写589个大字.此人每天比前一天多写个字.（这月共31天）

24.24个连续偶数的和是1992,其中最大的一个偶数是.

25.所有被7除余数是1的三位数的和为.

26.已知数列｛斯｝的前n项和为Sran'+bn,若”2+的=5,aj+a4+a^12,则a=,

b=.

27.计算2与10之间所有分母为5的分数（不算整数）之和为.

28.某人记英语单词，已记住2500个.从五月份的第11天开始，计划每天比前一天多记

5个单词，且第11天记了15个单词，这样到月底统计时总共记住个单词.

三、解答题

设有100个连续整数，它们的和大于13400,小于13500.试求其中最小的一个数。

学案（7）等比数列

£0目标

1.掌握等比数列的定义；

2.理解等比数列的通项公式及推导.

复习.

首先回忆一下前儿节课所学主要内容：

1.等差数列的定义：*—a,i=d,（n》2,nSN+）»

2.等差数列的通项公式:

an=fl]+(n-l)J(a„=am+(n-m)d或a“=pn+q(p、q是常数))。

3.几种计算公差d的方法：d=%—%」="」*=3一也。

n—\n-m

4.等差中项：A=寸=a,"成等差数列。

5.等差数列的性质：m+n=p+q=>%?+〃〃=4+4(m,n,p,qGN)。

6.数列的前n项和5„：Sn=〃3+"")，S„=na}+迎二更。

22

2

Sn=|n+(a,-^)n,当dWO,是一个常数项为零的二次式。

7.S,是等差数列前n项和,则S*,S2*-SQS”-S"仍成等差数列。

*3新课

看这样几个数列，看其又有何共同特点？

1,2,4,8,16,…，263;①

5,25,125,625,…；②

1，-③

248

1.等比数列：________________________________________________________

2.等比数列的通项公式1:

3.等比数列的通项公式2:

例题：求下列各等比数列的通项公式：

l.Q]=­2,ciy=-8

2.ax=5,S.2an+x=-3an

练习

1.求下面等比数列的第4项与第5项:

(1)5,-15,45,…；

(2)1.2,2.4,4.8,…；

2J_3

(3)

3'2'~8

(4)A/2,1,-,,,

2

2.一个等比数列的第9项是&,公比是一!，求它的第1项.

93

学案（8）等比中项

心目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；

2..深刻理解等比中项概念；

3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

复习

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母g表示（qXO）,

即：——=q(qWO)

2.等比数列的通项公式：

a,,=%p"T(a["0)，an

3.｛%｝成等比数列o—p(〃eN+,q#0)

a„

“