人教版数学八年级上册学案143 公式法

14.3.2公式法

第1课时运用平方差公式因式分解

学习目标

1.能直接利用平方差公式因式分解.

2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤.

预习

阅读教材“思考及例3、例4"，完成预习内容.

知识探究

L(1)填空：

4a2=(翁|4b2=()2；0.16a4=()2:a2b2=()2.

(2)因式分解：2a2—4a=；(x+y)2—3(x+y)=.

2.(1)填空：(x+2)(x-2)=；(y+5)(y—5)=.

(2)根据上述等式填空：X2-4=；y2-25=.

(3)总结公式：a2—b2=,

即两个数的,等于这两个数的与这两个数的的.

自学反馈

⑴下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？

@x2+y2；@x2—y2；③-x'+y2；(4)—x2—y2.

(2)分解因式：®a2—^rb2；②9a4b*③-a'+16.

活动1小组讨论

例1.分解因式：

⑴x?y—4y；(2)(a+1)2—1；(3)x1—1；

(4)—2(x—y)2+32；(5)(x+y+z)2—(x—y+z)2.

解:(1)原式=y(x°-4)=y(x+2)(x—2).

(2)原式=(a+1+1)(a+1—1)=a(a+2).

(3)原式=(d+l)那-1)=(六+1)(x+1)(x—1).

(4)原式=-2[(x—y)J—16]=­2(x—y+4)(x—y—4).

(5)原式=[(x+y+z)+(x—y+z)][(x+y+z)—(x—y+z)]

=(x+y+z+x—y+z)(x+y+z—x+y—z)

=2y(2x+2z)=4y(x+z).

点拨：有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止.

例2.求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.

证明：依题意，得(2n+l)"—(2n—1)2=(2n+l+2n—1)(2n+1—2n+1)=8n.

：8n是8的n倍，

当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.

点拨：先用含n的代数式表示出两个连续奇数，列出式子后分解因式.

例3.已知x—y=2,x2—y2=6,求x,y的值.

解：依题意,得(x+y)(x—y)=6.・・.x+y=3.

'_5

.Jx—y=2,.v*2'

〔x+y=3.1

J=2,

点拨：先将x?一y2分解因式后求出x+y的值，再与x—y组成方程组求x,y的值.

活动2跟踪训练

1.因式分解：

(1)—1+0.09x2；(2)x2(X—y)+y2(y—x)；

(3)a5—a;(4)(a+2b)2—4(a—b)2.

2.计算:11—沙一扑一沙\1-20172)(1-20182)-

课堂小结

1.分解因式的步骤：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式

是否能再分解.

2.不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件.

第2课时运用完全平方公式因式分解

学习目标

L会判断完全平方式.

2.能直接利用完全平方式因式分解.

3.掌握利用完全平方公式因式分解的步骤.

预习

阅读教材“思考及例5、例6"，完成预习内容.

知识探究

因式分解：2a2b—4ab2=；—3a3b+12ab3=.

(1)填空：(a+b)2=；(a-b)2=.

⑵根据(1)中的式子填空：a+2ab+b2=；a2-2ab+b2=.

⑶形如a2++Y与a2-+b?的式子称为完全平方式.

完全平方公式：a2±2ab+b~=(a±b)J,

即两个数的加上(或减去)这两个数的,等于这两个数的和(或差)的平方.

自学反馈

1.判断下列多项式是否为完全平方式，如果是，运用完全平方公式将其因式分解.

@b2+b+1；②a~—ab+b-；(3)l+4a2；@a—a+~.

点拨：完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，另一项为这两

个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数.

2.分解因式：

(1)X2+12X+36；(2)—2xy—x2—y2；(3)ax2+2a2x+a3.

点拨：第⑵小题先提取“一”再判断是否能运用完全平方公式，第⑶小题先提公因式，关键找准

a、b.

活动1小组讨论

例1.分解因式：

(1)a2+ab+^b2；(2)—2x3y+4x2y—2xy；

(3)(a—b)2—6(b—a)+9；(4)(x2—2x)2+2(x2—2x)+1.

解：⑴原式=(a+；b)2

(2)原式=-2xy(x°—2x+l)=—2xy(x—l)2.

(3)原式=(a—b)-+6(a—b)+9=(a—b+3)2.

⑷原式=3—2x+l)z=[(x—l)z]z=(x—1尸.

点拨：先找准两个完全平方式，确定a、b,再判断是否符合完全平方式结构；第(4)小题先要把括

号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止.

例2.已知x+-=4,求：

x

(1)/十二的值；(2)(x—gz的值.

XX

222

解:(l)x+A=(x+i)-2=4-2=14.

(2)(x--)2=(X+-)-4=42-4=12.

XX

点拨：这里需要活用公式，如x2+4=(x+g?—2,(X--)2=(X+-)2-4,将两个完全平方公式进行

XXXX

互相转化.

例3已知|b—4|+a°—a+：=0,求26的值.

解：依题意，得,一4|+(a—犷=0.

b—4=0,f1

••a」=0,,»=夕=而

I2U-1b=4.

点拨：先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a,b.

活动2跟踪训练

1.因式分解：

(1)(a2—4a)2+8(a一一4a)+16；(2)2x—12x+18；

(3)^x2+xy+-1y2；(4)abx2+2abxy+aby2.

2.利用因式分解计算：2022+202X196+982.

3.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是.

课堂小结

1.用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a、b.

2.分解因式的步骤：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否

能再分解.

课堂小练

一、选择题

1.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(a+1)的是()

A.a"_lB.a~+aC.a2+a_2D.(a+2)(a+2)+1

2•下列多项式中，不能用公式法分解因式的是()

A.-l+x2y2B.x2+x+0.25C.-x2-y2D.4x2y2-4xy+l

3•下列多项式，能用公式法分解因式的有()

①x，+y2②-x2+y2(3)-x2-y2④x2+xy+y2@x2+2xy-y2@-x2+4xy-4y2

A.2个B.3个C.4个D.5个

4•分解因式的结果是(2x—y)(2x+y)的是()

A.—4x2+y2B.4x2+y2C.—4x2—y2D.4x2—y2

5-若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()

A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b

6•下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是()

A.a2b2-1B.4-0.25a2C.-a2-b2D.-x2+l

7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.x2+4y2B.x2-2y2+lC.-x2+4y2D.-x2-4y2

8.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-bz的值()

A.一定为正数B.一定为负数

C.可能为正数，也可能为负数D.可能为0

9.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是()

A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2p2

10.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(-b)2B.5m2-20mn