备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第1讲函数的概念及其表示

第1讲函数的概念及其表示1.函数f（x）＝3x－1＋1ln（A.[13，1）∪（1，＋∞） B.[13，C.[13，1）∪（1，2） D.（0，2解析要使函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）有意义，则3x－1≥0，2－2.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝x2和g（x）＝（x）B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝xD.f（x）＝elnx和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝x2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（x）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝x，x≥0，－x，x＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝lg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2024重庆模拟]已知函数f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（x＋1）＝x＋2x＝（x＋1）2－1，令t＝x＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝x＋1（t≥1），则x＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝lnx，x≥1，0，0≤x<1，x，x<0，若A.[e+12，＋∞） B.（－∞，－12]∪[0C.[0，e+12] D.（－∞，解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤xP＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，e+125.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y＝f（x－1）x－2解析由题意知0≤x－1≤4，x－2>0，解得2＜x≤6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3x，x≤0，log4解析因为f（x）＝3x，x≤0，log4x，x>0，所以f（116）＝log4116f（f（116））＝17.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满意f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满意条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取随意实数）满意要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12）x，x∈（－∞，1),log4x，x∈解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2024福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2x，x>0，x2+4x+1，x≤0，若实数a满意A.1 B.1716－C.－1516－5 D.－解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的全部取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4－1516－5故选C.10.[2024西北工业高校附属中学模拟]设函数f（x）＝x，0<x<1，f（ea），则f（1a）＝e解析依据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以ea＞1.易知y＝ex的图象与y＝x的图象无交点，所以ea≠a，所以要使f（a）＝f（ea），则0＜a＜1＜ea，所以a＝elnea，变形可得a＝ea，解得a＝1e，则f（1a）＝f（e）＝elne＝e11.[情境创新]德国闻名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数fA.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于随意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对随意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于随意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于随意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对随意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探究创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对随意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对随意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，假如一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1x（x∈（2，＋∞B.y＝lnxC.y＝xex有上界无下界D.y＝cosx解析对选项A，y＝x＋1x在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2对选项B，y＝l