新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业12余弦定理新人教A版必修第二册

课时分层作业(十二)余弦定理一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则b＝()A．1 B．2C．3 D．133．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC确定是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形4．在△ABC中，bcosC＋ccosB＝2b，则ba＝(A．2 B．1C．－225．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝23，cosA＝32，且b<c，则(A．b＝2 B．b＝22C．B＝60° D．B＝30°二、填空题6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝3a，则cosA＝________．7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．8．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．三、解答题9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试推断△ABC的形态．10．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为()A．19 B．14C．－18 D．－1911．在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2A2＝b+c2c，则△A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形12．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A．sin(B＋C)＝sinAB．cos(B＋C)＝cosAC．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形13．已知△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．14．(源自苏教版教材)如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝1215．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0．(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．课时分层作业(十二)1．B[cosB＝a2+c2-所以B＝60°，所以A＋C＝120°．]2．A[由余弦定理知(13)2＝a2＋b2－2abcos60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×12，解得b＝1，故选3．D[在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC确定是等边三角形．]4．B[由余弦定理的推论及bcosC＋ccosB＝2b，得b·a2+b2-c22ab∴a2+b2得a＝2b．因此ba＝15．AD[由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2．又a＝2，cosA＝32，所以B＝A＝30°．故选6．13[由B＝C，2b＝3a可得b＝c＝32a所以cosA＝b＝34a27．19[由题意得，a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝19．]8．π3332cosA＝AC2+AB2又0<A<π，∴A＝π3，∴sinA＝3则AC边上的高为h＝ABsinA＝3×32＝39．解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝12．∵A∈(0，π)，∴A＝π(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc．又∵b＋c＝23，与①联立，解得bc＝3，∴b+c=23，bc=3，∴b＝∴△ABC为等边三角形．10．D[设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7．∴AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＝－ac·cosB．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴－ac·cosB＝12(b2－a2－c2)＝12(62－52－7＝－19，∴AB·BC＝－19．]11．B[在△ABC中，由已知cos2A2＝b+c得1+cosA2＝b+c2c，所以cos依据余弦定理的推论，得b2+c所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，因此△ABC是直角三角形．]12．AC[依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA，B错误；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cosC＝a2+b2-c22ab＝0，而0<C<π，即有C因为a2＋b2<c2，则cosC＝a2+b2-c22ab<0，而0<C<π，即有π2<13．(1，7)∪(5，7)[①若x>4，则x所对的角为钝角，∴32+42-x22×3×4<0②若x<4，则4对的角为钝角，∴32+x2-422×3×x<0∴x的取值范围是(1，7)∪(5，7)．]14．证明设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α．在△ABM中，由余弦定理，得AB2＝AM2＋BM2－2AM·BMcosα．在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MCcos(180°－α)．因为cos(180°－α)＝－cosα，BM＝MC＝12BC所以AB2＋AC2＝2AM2＋12BC2从而AM＝1215．解(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0．因为