湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试高考数学仿真卷三教师版

2024年湖南省一般中学学业水平合格性考试（三）数学第I卷（共54分）一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据给定条件，利用并集、补集的定义求解即得.【详解】由，，得，而，所以.故选：C2．复数满意，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法及减法运算求解即得.【详解】由，得，所以.故选：A3．下列命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】B【分析】利用不等式的性质可推断选项B，C，取特别值验证可推断选项A，D错误.【详解】对于选项A，当时，则，所以A错误；对于选项B，因为，则，在不等式两边同乘以，所以，所以B正确；对于选项C，，所以，所以C错误；对于选项D，当，则，所以D错误.故选：B.4．（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】干脆利用对数的运算性质计算即可.【详解】.故选：B.5．复数在复平面上对应的点在其次象限，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数确定点的坐标，再依据其次象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，依据其次象限坐标的特点可得，从而可得.故选：D.6．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】干脆利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.7．已知是幂函数，满意，则（

）A．3 B．27 C．81 D．243【答案】B【分析】设出，依据条件求出，故，求出答案.【详解】设，则，即，解得，故，所以.故选：B8．函数（且）的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用可求出函数的图象所过定点的坐标.【详解】对于函数（且），由，可得，又因为，故函数的图象过定点.故选：D.9．为了得到的图象，只需把图象上全部点的（

）A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】D【分析】依据三角函数的图象变换即可得到结论.【详解】将图象上全部的点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象.故选：D.10．若角的终边位于其次象限，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，再由诱导公式计算可得.【详解】因为角的终边位于其次象限且，则，所以.故选：D．11．在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.【详解】由，得，整理得.故选：D12．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将表示成，再利用两角差的正切公式计算即得.【详解】因，故.故选：A.13．某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列举法列出全部可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】掷出两枚骰子，设得到向上的点数分别为，，则基本领件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种状况，其中点数和为的有、、、共种状况，所以点数和为的概率.故选：C14．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由异面直线所成角的概念求解，【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D15．在某学问竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分状况如下表：得分678910人数12421则这10位选手得分的方差为（

）A．12 B．8 C． D．【答案】D【分析】依据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，所以方差.故选：D16．已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据投影向量定义干脆求解即可.【详解】，，向量在向量方向上的投影向量为.故选：D.17．某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：星期一二三四五六日时长（分钟）6015030601090120则（

）A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60【答案】D【分析】依据这组数据数字特征即可结合选项逐一求解.【详解】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位数为60，A错；平均数为，B错；极差为，C错；众数为60，D对．故选：D．18．设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用平行，垂直的相关性质定理逐一推断即可.【详解】对于A：若，除非说明共面，否则不能推出，A错误，对于B：若，没有说明，不能推出，B错误；对于C：若，则，，都有可能，C错误；对于D：如图，过直线作一个平面与交于直线，由线面平行的性质定理可得，又，所以，又，得，D正确.故选：D.第II卷非选择题（共46分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。要求干脆写出答案，不必写出计算过程或推证过程。19．不等式的解集是．【答案】【分析】干脆依据因式分解的方法求解即可.【详解】由题意，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.20．函数的定义域为.【答案】【分析】由函数定义域的求法干脆求解.【详解】由.故答案为：21．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为.【答案】【分析】依据体积公式和面积公式列式计算.【详解】设此球的半径为，则，解得.故答案为：.22．已知，则，的最小值为.【答案】【分析】由已知干脆代入求解即可得；先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结合二次函数求得最小值.【详解】，，令，则，函数对称轴为，又，所以当时，有最小值，所以的最小值为.故答案为：；.三、解答题（共3题，每题10分，共30分）23．甲、乙两人玩猜数字嬉戏，先由甲心中想一个数字，记为；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为，其中.(1)试列举出由样本点组成的样本空间，并指出样本空间所含样本点的个数；(2)若，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.【答案】(1)答案见解析，25(2)【分析】（1）用列举法列出样本空间，即可得解；（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事务，得到满意事务的样本点数，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）由题意得，，共个样本点.（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事务，则，共个样本点，，故甲、乙二人“心有灵犀”的概率为.24．如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，三角形ABC的面积，三棱锥的体积.25．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，详细见解析.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得.（2）若选①，运用正弦定理以及帮助角公式可得，依据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种状况求解：选择①