高中数学-导数的综合应用教学设计学情分析教材分析课后反思

导数的综合应用

一、知识梳理

学习目标思维脉络

1.掌握利用导数研究方程的

根或函数零点的方法.

-研究方程的根或函数的零点

2.掌握利用导数解决不等式

导数的综合应用一-解决不等式恒成立问题

恒成立问题的基本方法.

-研究函数综合问题

3.掌握利用导数研究函数综

合问题的方法.

1.利用导数研究方程的根或函数零点

(1)方程/x)=0的根就是函数4v)的零点，亦即兀0图象与£>交点的横坐标.

(2)方程y(x)=a的根就是函数g(x)=J(x)-a的零点，亦即式x)图象与直线v=a交点的横坐标.

⑶方程/U)="x)的根就是函数的零点.亦即图象与&(x)图象交点的横坐标.

2.利用导数解决不等式恒成立问题

⑴不等式右以)恒成立，则2>/(X)max.

(2)不等式心形)恒成立，则A<f(x)min.

二、典型例题

利用导数研究方程的根(函数的零点)

例1设a为实数涵数,/(x)=PPx+a.

(1)求40的极值;(2)若方程,9)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围.

反思感悟根据方程的根求参数的解题策略

方程")=()的根，就是函数歹=/a)的零点，以及图象与X轴交点的横坐标•因此与方

程的根(函数的零点)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间与极值点，

并结合特殊点，得到函数的大致图象，结合图象讨论它与x轴的位置关系，进而确定参数的

取值范围.

变式训练1已知函数式x)=f-alnxmwR),当x=l时式x)取得极值.

(1)求。的值；

(2)求函数y(x)与函数g(x)=-f+2x+k(kWR)的图象的交点个数.

利用导数解决不等式的恒成立问题

例2已知兀r)=xlnx,g(x)=_?+ftr-x+2.

(1)求函数7(x)的单调区间；

(2)若对任意xG(0,+oo),2/(x)<gV)+2恒成立，求实数a的取值范围.

反思感悟不等式恒成立问题的解法

有关不等式的恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题，求解时，要确定这个函数，看

哪一个变量的范围已知，即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数

研究其最值，最后求得参数的取值范围.一般地九次X)恒成立□及/a)max，ga)恒成立

i2</(x)inin.

变式训练2已知函数人工户1-疗+沙龙+心

⑴若/(X)有极值，求b的取值范围；

(2)当大x)在x=l处取得极值时，试证明对［-1,2］内的任意两个值

7

尤1M2,都有次XI)火¥2)|〈了

函数的极值、最值与导数

例3已知函数的图象上一点尸(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y-0平行.

(1)求函数式x)的解析式；

⑵求函数於)在区间。力(0＜《3)上的最大值和最小值.

反思感悟利用导数求函数极值与最值的解题策略

(1)求极值时一般需确定/(x)=0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极

值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.

(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要

直接与端点的函数值比较即可获得.

延伸探究在本例条件不变的情况下,若关于x的方程兀x)=c在区间［1,3］上恰有两个相异的实根，求

实数c的取值范围.

三、当堂检测：

1.若不等式+2x+a>0在［1,2］上恒成立,则实数。的取值范围是()

X

A.a>—1B.a<—1C.df<4D.a>4

2.若函数70)三上61+9尤-10-。有三个零点,则实数a的取值范围是()

A.(-℃>,-10)B.(-6,+oo)

C.(-l0,-6)D,(-oo,-l0)U(-6,+oo)

3.函数；(x)=R・3x在［0,引上的最小值为.

x

4.已知设函数兀0o=\求人x)的单调区间.

四、课堂小结

1、方程/(x)=0的根，就是函数了弓口)的零点，以及y=/(x)图象与x轴交点的横坐标.

2、皮危)恒成立□会/(x)max然/)恒成立wg(x)min.

3、用导数研究函数问题，一定注意定义域.

学情分析

高三的学生已经掌握了导数的有关知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处

理实际问题的初步经验。该年龄段的学生相对抽象的事物更容易接受直观事物，高中的学生

思维活跃，课堂上能积极讨论问题，但是同时也存在审题不清，审题不认真的习惯。所以本

节课主要采用数形结合的思想进行讲解，同时，时刻关注解题的细节问题。

效果分析

本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大程度的挖掘，智力好的学生吃

得饱，中等水平的学生吸收得好，能力稍差的学生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学

中充分体现以学生为主导、教学民主的教学思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作

和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。

教材分析

本节课是在学习了导数的基础上进一步研究导致在函数中的应用问题。因为导数是研

究函数非常重要的一个工具，尤其是研究函数极值，最值问题在历年高考中频频出现，而这

个知识既是学生学习的一个重点又是一个难点，所以，本节课制定的教学重点是要求学生会

利用导数解决函数问题，难点是会处理含有参数的最值问题.

评测练习

1.若不等式+2x+">0在口,2］上恒成立,则实数。的取值范围是()

X

A.a>-1B.a<—1C,a<4D.a>4

2.若函数次x)=/-6f+9410-。有三个零点，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,-10)B.(-6,+8)

C.(-10,-6)D.(-oo,-10)U(6+8)

3.函数人工)二始-3不在。3］上的最小值为.

a%

4.已知设函数大幻=£彳,求人x)的单调区间.

X-1

课后反思

在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提

高学生在课堂上45分钟的学习效率，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样

才能将知识系统化。注意知识前后的联系，形成知识框架，其次要了解学生的现状和认知结

构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教，再次要处理好课堂教学中教师的教和学生

的学的关系，课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，要发展学生的创造力。不但要让学

生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素,

而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务，不能

穿新鞋走老路。

L要有明确的教学目标

备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。在数学教学中，要通过师生的

共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学

生的综合素质。

2.要能突出重点、化解难点

每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。讲授重点

内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等

直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象,

激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。

3.要善于应用现代化教学手段

在新课标和新教材的背景下，教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切，

现代化教学手段的显著特点一是能有效地增大每一堂课的课容量，二是减轻教师板书的工作

量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率，三是直观性强，容易激发起学生的

学习兴趣。有利于提高学生的学习主动性，四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。

4.关爱学生，及时鼓励

高中新课程的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，

适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。在教学过程中，教师要随时

了解学生对所讲内容的掌握情况。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有

较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能

热爱数学，学习数学。

5.充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性

学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主

角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。在一

堂课中，教师尽量少讲，让学生多动手，动脑操作，学生的思维本身就是一个资源库，学生

往往会想出我意想不到的好方法来。

6.渗透教学思想方法，培养综合运用能力

常用的数学思想方法有转化的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，这些基本思想

分散地渗透在中学数学教材的章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，

有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传

授知识，培养能力的目的。只有这样，学生才能灵活运用和综合运用所学的知识。

总之，在新课程背景下的数学课堂教学中，要提高学生在课堂4