高中数学讲义-向量的数乘运算

高中数学讲义——向量的数乘运算

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一向量的数乘运算及运算律...........................................1

3.知识点二共线向量定理.....................................................2

4.练习........................................................................2

5.探究点一向量的线性运算...................................................3

6.探究点二用已知向量表示未知向量..........................................5

7.探究点三向量共线定理及应用..............................................6

8.练习........................................................................7

9.课堂作业：向量的数乘运算...................................................9

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.通过教材实例抽象出向量数乘的概

1.通过实例分析，念.（数学抽象）

掌握平面向量数乘运2.掌握向量数乘的规定及运算律，能进行有

算及运算法则，理解两水关的运算.（逻辑推理、数学运算）

个平面向量共线的含平一3.理解向量线性运算的意义及运算法则，会

义.进行向量的线性运算.（数学运算）

2.了解平面向量4.理解两个向量共线的含义，能利用向量共

的线性运算性质及其线的条件解决相关问题.（逻辑推理）

几何意义.水熟练掌握向量的共线条件及其线性运算法

平二贝U，并能解决相应的问题.（逻辑推理）

2.知识点一向量的数乘运算及运算律

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1.向量数乘的定义

一般地，我们规定实数2与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的

数乘，记作2a.

(lW=UHa|.特别地，当2=0时，za=0.

(2)当2>0时，一的方向与a的方向相同;当2V0时，布的方向与a的方

向相反.

2.向量数乘的运算律

设九〃为实数，a,b为向量，则满足如下运算律：

(1)如4)=&£也；

(2)(A+//)a=2a+〃q；

(3»(a+))=2a+劝;

(4)(—X)a=—(za)=/l(-a),2(a—Z>)=za-Ab.

3.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍

是向量.

对于任意向量a,b,以及任意实数2,〃i，〃2，恒有从“。±〃2))=加1。±%2瓦

［点拨］(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差.

(2)2=0或a=0台〃=0.

3.知识点二共线向量定理

向量a(aW0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使—.

［点拨］判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定

理，即向量a(aWO)与。共线的充要条件是存在唯一一个实数人使b=觞.因此,

在考虑问题时，不要忽略零向量.

4.练习

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1次。的方向与。的方向一致.()

(2)若2a=0,贝1ja=O.()

(3)对于任意实数"?和向量a,b,若ma=mb,则a=b.()

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(4)若向量8与a共线，则存在唯一的实数人使)=〃.()

(5)若则a与共线.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.已知非零向量a,万满足a=45，则()

A.\a\=\b\B.4\a\=\b\

C.a与的方向相同D.a与6的方向相反

C['：a=4b,4>0,...|a|=4网「.N=与-的方向相同,与一的方向相

同.故选C.]

3.(多选)已知实数〃z,〃和向量a,b,下列说法中正确的是()

A.m^a—b)=ma—mb

B.(m—n)a=ma—na

C.若ma=mb,则a=~

D.若〃?a=〃a(aWO),则m=n

ABD[易知A和B正确；C中，当阳=0时，ma=mb=0,但a与8不一

定相等，故C不正确；D中，由得⑴?一〃)a=0,因为a¥0,所以

〃，故D正确.]

4.在四边形A8CO中，若筋=-1CD,则此四边形的形状是.

解析："：AB=~jCD,

...A3〃CO且依阴=；|CD|,

二四边形ABC。是梯形.

答案：梯形

5.探究点一向量的线性运算

例化简下列各式：

(1)(2AB-CD)-(AC-2BD)；

⑵支[3(2a+8Z>)—6(4a—26)].

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解析：⑴(2筋-CD)-(AC-2BD)=2AB~CD~AC+2BD=

2AB+DC+CA+2BD=2(AB+BD)+(DC+CA)=2AD+DA=AD.

(2)击[3(2a+8))一6(4a—2b)]=/(6a+24b-24a+12b)=(—18。+

33

36。)=a+gb.

方法技巧

向量的线性运算的基本方法

(1)类比方法：向量的数乘运算可类比代数多项式的运算.例如，实数运算

中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中

同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系

数.

(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用

代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简

化运算.

［对点训练］

1.若向量a=3i-4j,b=5i+4j,则由一j一3(a+句+(2b—a)=

解析：Q"-—3("+下］+(20—")=1a—b—3a—2b+2b—a——a

114432

~b=—y(3i-4/)-(5i+4/)=-lli+yj-5i-4/=-16/+yj.

32

答案：-16i十丁j

2.若2(x—1(6+c—3x)+Z>=0,其中a,c为已知向量，则向量

x=

2113

解析---

32-22

7211

--+

2X-32-2-

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.•.•¥=五a——b~\~jc.

答案:言a—16+1e

6.探究点二用已知向量表示未知向量

2

例国"如图所示，△ABC中，ADAB,DE//BC,

边上的中线AM交。E于点N,设油=a,AC=b,用向

量a,力表示曲,BC,,DN,AM.

2

解析：因为。E〃BC,ADAB,

f2f2fff

所以最=gACb,BC=AC—AB=b~a.

由△AOEs^ABC,得防=QBC=Q(b—a).

又M是△ABC的底边BC的中点，DE//BC,

所以而=3和=1(b—a),

AM=AB+BM=a+；BC=a+g(Z>—a)=；(a+b).

方法技巧

用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边

形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

［对点训练］

如图，四边形。4DB是以向量为=a,OB=6为邻边的平行

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四边形.又丽4=|BC,dv=|cb,试用a,b表示丽,ON,MN.

解析：因为丽/=TBC=7BA=7{OA.-OB)

3oo

=1(a—b),

所以dA/=OB+BM=b+\a—7Z>=7a+|b.

006。

因为百/前=[历，

3o

所以丽=OC+CN=]历+[历

2O

2f2—►f2

=§OD=5(OA+OB)=g(a+〃).

MN=ON—OM=B(a+〃)一Ja—fb=；a—7b.

5oo2o

7.探究点三向量共线定理及应用

例❸"设ei,C2是两个不共线的向量，已知命=2ei—8e2,CB=ei+3e2,

CD=2幻—ei.

(1)求证：A,B,。三点共线；

(2)若丽=3ei—ke2,且济//BD,求实数Z的值.

解析：(1)证明：由已知得BD=CD—CB=(2ei—e2)—(ei+3e2)=ei—

4e2.

,：AB=24-8e2,：.AB=2BD.

又协与肋有公共点3,B,。三点共线.

(2)由(1)可知前=e|—4e2,又而=3日一双2,

，可设脐=XBD(AGR).

(3—7=0,

「・3ei—&2=融1-4初2，(3—2)d=(%一4%)?2,又不共线，「・j

.A：—42=0,

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解得攵=12.

方法技巧

利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题

转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b=

%(a70),还要说明向量a,力有公共点.

［对点训练］

已知。，A,M,B为平面上四点，且加=AOB+(1—%)宓Q6R,2#0,

2W1).

(1)求证：A,B,M三点共线；

(2)若点3在线段AM上，求实数2的取值范围.

解析：(1)证明：因为南=XOB+(1-A)OA,

所以而=/.0B+0A-AOA,OM-OA=AOB-AOA,

所以俞=/XBQWR,/two,且％#1).

又巍与魂有公共点A,

所以A,B,M三点共线.

⑵由(1)知林=XAB,若点B在线段AM上，则西与泰同向，3.\AM|

>|AB|>o,所以2>i.

8.练习

3

1.已知点C在线段A3上，且病AB,AC=zBC,则实数％的值为

()

3

B.2

C.—|D.

C[由题意，可知危=ABC=2(AC-AB)=/[|4》一同=一|M,

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2.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别是。C,的中点，那么肆=

）

A.AB+；AD

C.AB+|ADD.\AB-\Ab

D[EF=EC+CFABAD.]

3.如图，已知△ABC和点M满足曲+MB+MC=0,

若存在实数m使得油+AC=mAM成立，则〃?=

解析：如图，延长AM交8C于点D

因为肉+MB+MC=0.

即麻=-{MB+MC),

即赢=MB+MC,

所以。是BC边的中点，

所以篇/=2MD,

3f.rrr

所以屐>）=3AM,所以筋+AC=2AD=3AM.

所以m=3.

答案：3

4.已知非零向量ei，e2不共线.

（D如果屈=ei+e2，BC=2ei+8e2，CD=3®-e2），求证：A，B,D三

点共线;

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(2)欲使於I+62和ei+履2共线，试确定实数Z的值.

解析：(1)证明："：AB=e\+ei,BD=BC+CD=2ei+8e2+3ei—3e2

=5(ei+e2)=5屈，

：.AB,BD共线，且有公共点3,B,。三点共线.

(2)'.,氏i+e2与ei+&2共线,・••存在实数九使Zei+e2="ei+&2),则(攵一

A)ei=("—1)02，

k—2=0,

.「ei与02不共线，，匕.八.・・％=±1.

［衣一1=0,

9.课堂作业：向量的数乘运算

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

[A级基础达标]

1.已知向量mb,^AB=a+2b,BC=一5。+6"CD=7a—2b,则一

定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

A[VBC=—5a+6),CD=la~2b,：.BD=BC+CD=2。+44又

AB=a+2b,所以筋=2AB,即筋//BD,而翁，BD有公共点B,/.A,

B,。三点共线，A选项正确；AC=-4a+86,显然公,BC,CD两两不共

线，选项B,C,D都不正确.故选A.]

►

2.若点M是△ABC所在平面内的一点，满足病=TABAC，则也组

\MC]

)

1

A-4

-4B.

D.

1

c-3

3

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31313

C\'：AM=-7AB+2AC=7(赢)+^(AM+MC)=1AM

311131

--+

44-4-4-44--o

得侬=1.故选C.]

\MC\

3.设a是非零向量，％是非零实数，下列结论中正确的是()

A.a与脑的方向相反B.a与万。的方向相同

C.|一痴|2⑷D.\~Xa\^W-a

B[对于A,当人＞()时，a与2a的方向相同，故A不正确；而万〉。，故“

与A2a的方向相同，B正确；对于C,\-Aa\=\X\\a\,由于施的大小不确定，故|

—九z|与⑷的大小关系不确定，故C错误；对于D,囚•。是向量，而%|表示

长度，两者不能比较大小，故D错误.故选B.]

4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股

定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个

小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若反：=a,BA

=b,BE=3EF,则丽=()

n,_9_.16,12,

A-25。+25bB-25a+25b

C-Ia+5bD't

B[由题得标=BC+CF=BC+1EA=前(EB+BA)=BC

(一,丽+或),即脐=BC(一,脐+或)，解得丽=^|BC+1|

BA,即丽a+^|无故选B.]

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5.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这

样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心

的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点

O,H,G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（）

A.GH=20GB.GA+GB+GC=0

C.OH=OA+OB+OCD.OA=OB=OC

ABC［如图：根据欧拉线定理可知，点。，H,G共线，且G〃=2OG

对于A,因为GH=2OG,所以砺=2OG,故A正确；对于B,取BC

的中点为D,则GX+GB+GC=GA+2GD=0,故B正确；对于C,OH=

3OG=3(AG-AO)=3(|AD-AO)=2AD~3AO=2(AO+OD)-3AO

=2OD-Ab=OB+OC+OA,故C正确；对于D,OA=OB=OC显然

不正确.故选ABC.]

6.在△ABC中，已知。是AB边上一点，若疝=2DB,CDCA+

XCB,则2的值为.

解析：方法一：由屐)=2扬，得前-CA=2(CB-CD),即⑦=

]f2—2

WCACB,所以义二手.

方法二：因为诙=CA+AD=CA+QAB=CA(CB—CA)=g

r22

CA+]CB,所以.

答案：f2

7.下列说法中正确的是.

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①单位向量都共线；

②若a=A,则a〃6

③若同>|例>|c|,则|a+b|>|Z»+d；

④|a-b|W|Q|且|a+b|W|A|.

解析：单位向量方向不一定相同或相反，故单位向量不一定共线，故①

错误；

若a=。，则a,方向相同，所以a,b是共线向量，故②正确；

当a=3e,b=—2e,c=e时，\a+b\=\e\=\b+c\=\e\,故③错误；

当a=e,Z>=-e时|a一例=2|e|>|a|,故④错误.

故答案为②.

答案：②

8.已知在△ABC中，点M满足而+MB+MC=0,若存在实数机使得

AB+AC—mAM成立，则tn=.

解析：'：MA+MB+MC=0,为△ABC的重心，

2

设BC中点为D,则俞=3AD,

―►——►3—►f

.\AB+AC=2AD=2X-|AM=3AM,则m=3.

答案：3

9.设两个不共线的向量ei，。2,若。=2g—3e2,b=2ei+3e2,c=2ei—9e2,

是否存在实数九〃，使〃=痴+曲与。共线？

解析：d—X(2e\—3e2)+〃(2ei+3e2)=(22+2〃)ei+(3/z—3A)e2，

要使d与c共线，则存在实数上使得d=笈(cWO),

即(22+2/z)ei+(3〃-3%)e2=2Zei—9kez,

•*.(22+2〃-2k)e\—(—%+3%—3〃)。2，

又3,e2是两个不共线的向量，

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力+2〃=2鼠

解得2=—2〃.

.一3%+3〃=一9k,

故存在实数人和〃，使得d与c共线，此时4=—2〃.

10.如图，G是△。43的重心，P,。分别是边OA,08上的动点，且P,

G,。三点共线.

(1)设反；=XPQ,将济用九OP,OQ表示；

(2)设标=xOA,OQ=yOB,证明：-+-是定值.

xy

解析：(1)%=OP+PG=OP+APQ=OP+)\OQ-OP)=(1-

2)O>+XOQ.

(2)证明：一方面，由