数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册11点在空间直角坐标系中的坐标

1.1点在空间直角坐标系中的坐标

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［教材要点］

要点一空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系建立的流程图：

平面直角坐标系

通过，再增加一条与1。＞平面的z轴

空间直角坐标系

(2)空间直角坐标系的建系原则一右手螺旋法则：

①伸出________手，让四指与________垂直；

②四指先指向________正方向；

③让四指沿方向旋转90。指向j轴正方向;

④的指向即为z轴正方向.

(3)有关名称：如图所示：

①叫作原点；

②统称为坐标轴；

③由________确定的平面叫作坐标平面，

由_______确定的平面记作xOy平面，

由_______确定的平面记作yOz平面，

由_______确定的平面记作xOz平面.

要点二空间直角坐标系中点的坐标

(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个来刻画.

(2)空间任意一点P的坐标记为,第一个是________坐标，第二个是

坐标，第三个是________坐标.

(3)空间直角坐标系中，点________三元有序数组.

(4)对于空间中点尸坐标的确定方法是：过点尸分别向坐标轴作,构造一个以

O,P为顶点的.如果长方体在三条坐标轴上的顶点尸1,尸2,尸3的坐标分别为(X,

0,0),(0,»0),(0,0,Z),则点尸的坐标为(x,y,Z).

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标满足z=0,尤=0.()

(2)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的.()

(3)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是他，0,c)的形式.()

(4)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.()

2.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()

A.y轴上B.xOy平面上

C.xOz平面上D.第一象限内

3.已知点4—1,2,7),则点A关于x轴对称的点的坐标为()

A.(-1,-2,-7)B.(-1,-2,7)

C.(1,-2,-7)D.(1,2,-7)

4.在空间直角坐标系中，自点P(—4,—2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为.

川川川川川川川川川川〃川川“川"川川""""川卅""回国陶陶。迷堂邂_匿_乃加”川川川川1N川川明加川出"川川"""加"卅

题型一求空间点的坐标

例1

如图，棱长为1的正方体ABCD-ABICIOI中，E是AB的中点，尸是8所的中点，G是

ABi的中点，试建立适当的坐标系，并确定E,F,G三点的坐标.

方法核的

(1)空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地

将点的坐标表示出来.因此，要确定各点到面、yDz面、xZ)z面的距离，同时中点坐标

公式在空间直角坐标系中仍然适用.

⑵设B(xi,%,zi),尸2(如”，Z2),则尸当中点P(x,y,z)坐标满足尸空，尸江产，z

_Z1+Z2

2•

跟踪训练1(1)点M(0,26,-目所在的位置是()

A.x轴上B.xOz平面上

C.xOy平面内D.yOz平面内

(2)正方体ABCLMECD的棱长为1,且［8尸|=料。［,建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸点的坐标为()

&110

题型二已知点的坐标确定点的位置

例2在空间直角坐标系中，作出点M(2,-6,4).

方法也然)

由点的坐标确定点位置的方法

(1)先确定点(xo,yo,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(xo,yo,zo)在空间直角

坐标系中的位置；

(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|刈，|例，团的长方体(三条棱的位置要与xo,

yo,zo的符号一致)，则长方体中与。相对的顶点即为所求的点.

跟踪训练2在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6).

题型三求空间对称点的坐标

例3求点4(1，2,—1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.

方法何的

点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点:

关于原点对称

(l)P(x,y,Z)---------------—y,—z);

关于X轴对称

(2)P(x,y,z)--------------->P2(x,-y,—z);

关于y轴对称

尸(x,y,z)--------------->2(-x,y,—z)；

关于z轴对称

P(X,y,z)-------------->24(—X,—y,z).

记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.

关于坐标平面xOy对称

(3)P(x,y,z)----»尸5(龙,y,—z)

关于坐标平面yOz对称

P(x,y,z)-—一尸6(X,y,z)；

关于坐标平面xOz对称

P(x,y,力-—TP〕。,z).

跟踪训练3写出点(一2,1,4)关于〉轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标.

易错辨析建错空间直角坐标系

例4在正三棱柱ABCAiBiCi中，已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当

的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

解析：分别取BC,的中点O,Di,以。为原点，DC,DA,DD1的方向为x轴、y

轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,y,0),B(-p0,0),C(1o,0),4(0,y,2),3(—50,2),0,2).

【易错警示】

易错原因纠错心得

建系时，误认为XS与配垂直，从而以A为原在建系时应注意，若图中没有直接建系的条

点，AB,AC,AA1的方向为无轴，y轴，z轴件，则应根据已知条件，通过作辅助线来创

的正方向建立坐标系导致错误.造合适的建系条件.

I课堂十分钟］

1.点(1,0,2)位于()

A.y轴上B.x轴上

C.xOz平面内D.yOz平面内

2.点尸(一1,2,3)关于xOy平面对称的点的坐标是()

A.(1,2,3)B.(-1,-2,3)

C.(—1,2,-3)D.(1,-2,-3)

3.在空间直角坐标系中，PQ,3,4),0(—2,-3,—4)两点的位置关系是()

A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称

C.关于坐标原点对称D.以上都不对

4.在空间直角坐标系中，已知点A(—1,2,-3),则点A在yOz平面内射影的点的坐

标是.

5.如图，正四棱柱ABCD-AiBCiOi(底面为正方形的直棱柱)中，AAi=2AB=4,点E

在CG上且CiE=3EC.试建立适当的坐标系，写出点8,C,E,Ai的坐标.

1.1点在空间直角坐标系中的坐标

新知初探•课前预习

要点一

⑴原点。垂直(2)右大拇指x轴握拳大拇指(3)0尤，y,z坐标轴x,

y轴y,z轴x,z轴

要点二

(1)三元有序数组(2)(x,y,z)xyz⑶---对应(4)垂面长方体

［基础自测］

1.(1)V(2)-7(3)V(4)7

2.解析：点(2,0,3)的y轴坐标为0,所以该点在xOz平面上.故选C.

答案：C

3.解析：点(-1,2,7)关于x轴对称的点的坐标为(一1,-2,-7).故选A.

答案：A

4.解析：•.•点尸(一4,-2,3),

二自点尸引x轴的垂线，垂足坐标为(一4,0,0).

答案：(一4,0,0)

题型探究•课堂解透

例1解析：如图，以。为坐标原点，分别以ZM,DC,ODi所在直线为x轴、y轴和

z轴建立空间直角坐标系，E点在平面My中，且|胡|=/

点的坐标为(1,0).

点和Bi点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1),故尸点坐标为(1,1,1).

同理可得G点坐标为(1,|,

跟踪训练1解析：(1)；M点的坐标为(0,26,x=0,

二点M在平面yOz内，故选D.

(2)如图所示，过尸分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E,H,过E分别作x

轴和y轴的垂线，垂足分别为凡G,由于尸尸初0,所以|。旬=|储。1=£|DF|=||Z)A|

=|,|DG|=||Z)G|=|,所以P点的坐标为(I，I，I),故选D.

答案：(1)D(2)D

M(2,-6,4)

例2解析：方法一先确定点Af(2,-6,0)在尤Oy平面上的位置，因为点M的竖坐

标为4,

则且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如

图所示).

方法二以。为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点

。处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的

顶点即为所求的点(图略).

跟踪训练2

1P(5,4,6)

5/d-~V

解析：第一步从原点出发沿尤轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右

移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.

例3解析：如图所示，过A作交平面于加，并延长到C，使6M=CM，

则A与C关

于坐标平面xOy对称点C(l,2,1).过A作ANLx轴于N,并延长到点B,使履川=|NB|,

则A与8关于x轴对称且8(1,-2,1),2,—1)关于坐标平面xOy对