河北省沧州市青县2021-2022学年九上期末数学试题（解析版）

河北省沧州市青县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题1.下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．B．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．2.已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，∴，，则a的值为：．故选D．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.3.已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（）A.（﹣3，0） B.（3，0） C.（﹣5，0） D.（5，0）【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论．【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），∴1-6+c=0．∴c=5，∴二次函数y=x2+6x+5．令y=0，则x2+6x+5=0，解得：x1=-1，x2=-5．∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．4.已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m.则排水管道截面的水面宽度为（）A.0.6m B.0.8m C.1.2m D.1.6m【答案】C【解析】【分析】如图，连接OA，过O作OC⊥AB，交AB于点D，由于水面的高为0.2m可求出OD的长,再利用勾股定理求出AD的长，由垂径定理可得AB长度，即水面宽度.【详解】连接OA，过O作OC⊥AB，交AB于点D，∵OA=OC=1m，DC=0.2m，∴OD=OC-DC=1-0.2=0.8m，在RtAOD中,AD===0.6m由垂径定理得AB=2AD=1.2m,即水面宽1.2m.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，熟练掌握定理即可解答.5.下列事件中是不可能事件的是()A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.百步穿杨【答案】C【解析】【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.如图，中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．【详解】解：∵，∴．∴．故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知口袋中的红球是3个，则袋中共有球的个数是（）A.5 B.8 C.10 D.15【答案】D【解析】【分析】根据概率公式，即可求解.【详解】3÷=15（个），答：袋中共有球的个数是15个.故选D.【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率公式，是解题的关键.8.函数y=x+m与(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数y的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y的图象可知m＞0，正确；C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数y的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．9.如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为（）A.75° B.60° C.55° D.45°【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC=135°，可得结论．【详解】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC=∠DEF=135°，∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明∠BAC=135°．10.对于反比例函数，下列说法不正确的是A.图象分布在第二、四象限B.当时，随的增大而增大C.图象经过点（1,-2）D.若点，都在图象上，且，则【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B.k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0<x2,则y2<y1，故本选项错误.故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.11.二次函数，当时，下列说法正确的是（）A.有最大值1，有最小值-2 B.有最大值2，有最小值-2C.有最大值1，有最小值-1 D.有最大值2，有最小值1【答案】B【解析】【分析】先将函数解析式化为顶点式，再根据题意得出该二次函数的顶点坐标和开口方向，然后求出x=﹣1和x=2对应的函数值，比较大小即可解答．【详解】解：二次函数的顶点坐标为（1，2），且开口向下，∴当x=1时，y有最大值2，∵当x=﹣1时，y=﹣4+2=﹣2，当x=2时，y=﹣1+2=1，∴当时，该函数有最大值2，最小值﹣2，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，正确求出对应的函数值是解答的关键．12.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A.为等腰三角形 B.与相互垂直平分C.点A、B都在以为直径的圆上 D.为的边上的中线【答案】B【解析】【分析】连接OB，OC，令MOP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；无法证明与相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．13.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．【详解】∵正方形的边长为4∴∵是正方形的对角线∴∴∴圆锥底面周长为，解得∴该圆锥的底面圆的半径是，故选：D．【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．14.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少用()A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.500a元【答案】C【解析】【分析】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150平方米，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴=AB×CD=×20×15=150(平方米)，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格为150a元．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点，则的值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】作轴于，根据作图即可得出．又易证，即证明，得出，从而求出BE的长，即得到C点坐标，进而得出D点坐标．将D点坐标代入反比例函数解析式，求出k即可．【详解】解：作轴于，轴，，，，，，，，，即，，，点是的中点，，．反比例函数的图象经过点，．故选：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征．作出常用的辅助线是解答本题的关键．16.二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤．【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，∴a＜0，b＞0∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间∴抛物线与y轴交于负半轴∴c＜0∴abc＞0，故①错误；由图象可知：当x=-1时，y＜0∴，故②错误；∵抛物线的顶点坐标为（2,1）∴由①，得b=-4a将b=-4a代入②，得整理，得c-4a=1，故③正确；∵抛物线与x轴交于两点∴∴，故④正确；∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）∴（m为任意实数），故⑤正确．综上：正确的有3个故选B．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．二、填空题17.（1）若，则________（2）=______【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据比例的性质，5x=3y的两边同时除以3x即可．

（2）首先计算小括号里面的特殊角的三角函数值和乘方、加法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】（1）∵5x=3y，

∴，

∴；

故答案为：．（2）原式=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了比例的性质、特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心（在y轴左侧），若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（−1，2），则点P的坐标为______．【答案】（−2，0）【解析】【分析】根据位似变换的性质得，则PO＝OA＝2，然后写出P点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（−1，2），∴AB＝4，OA＝2，OD＝2，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，∴，∴PO＝OA＝2，∴P点坐标为（−2，0），故答案为：（−2，0）．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．19.如图，P是双曲线y＝（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线x＝4相切时，点P的坐标为________．【答案】（3，）或（5，）【解析】【分析】过点P作PE⊥l于点E，根据题意分当⊙P在直线的左侧时或当⊙P在直线的右侧时共两种情况进一步分析讨论即可.【详解】过点P作PE⊥l于点E，若圆与直线相切，则PE=1当⊙P在直线的左侧时，P点横坐标为4﹣1＝3，∵P是双曲线y＝（x＞0）的一个分支上的一点，∴P点坐标为：（3，）．当⊙P在直线的右侧时，P点横坐标为4+1＝5，∴P点坐标为：（5，）．综上所述，P点坐标为：（3，）或（5，）．故答案为：（3，）或（5，）．【点睛】本题主要考查了切线的性质与反比例函数的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形（……）有一条腰在同一直线上，设的面积为，的面积为，的面积为，……，则：（1）_________；（2）_________．（用含n的代数式表示）【答案】①.②.【解析】【分析】连接B1、B2、B3、B4点，显然它们共线且平行于AA1，依题意可知△B1B2C1与△C1AA1相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S1，同理：B2B3：AA2=1：2，所以B2C2：C2A=1：2，进而S2的值可求出，同样的道理，即可求出S3，S4…Sn的值．【详解】解：连接B1、B2、B3、B4．

∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，

∴=×1×1=，=×2×1=1，=×3×1=，…，=，连接B1、B2、B3点，显然它们共线且平行于AA1，∴四边形是正方形，

∴S1=，∵B2B3∥AA2，

∴△B2C2B3∽△A2C2A，∴，∴,同法可得：，，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义和性质、三角形的面公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．三、解答题21.关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）求当m=5时此方程的根．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，据此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）将m=5代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【小问1详解】由题意得：，解得：；【小问2详解】当m=5时，，解得：.【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式．22.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验前先搅拌均匀．（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．【答案】（1）（2）图表见解析，【解析】【分析】（1）由在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．小问1详解】∵不透明的口袋里有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为．【小问2详解】画树状图，得∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．（1）求m及k的值．（2）求出S△AOB的面积．（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．【答案】（1）m＝﹣1，k＝2；（2）；（3）﹣1＜x＜0或x＞2【解析】【分析】（1）把A的坐标分别代入两函数的解析式即可求出答案；（2）解由两函数组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B的坐标，然后求得直线与y轴的交点C，最后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求得结果；（3）结合图象和两交点的横坐标即可得出答案．【详解】解：（1）∵把A（2，1）代入y=x+m得：1=2+m，∴m=-1，∵把A（2，1）代入y=得：1=，∴k=2；（2）解得：或，∴B的坐标是（-1，-2），把x=0代入y=x-1得y=-1，∴直线与y轴的交点C为（0，-1），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=；（3）由图像可知，x+m-＞0时x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2．【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，求两函数的交点坐标，三角形面积等知识点，主要考查学生的计算能力．24.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度．【答案】这栋高楼的高度是【解析】【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．【详解】过点A作AD⊥BC于点D,依题意得，，，AD=120，在Rt△ABD中，∴，在Rt△ADC中，∴，∴，答：这栋高楼的高度是.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．25.如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．（1）求的大小；（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．【答案】（1）60°；（2）详见解析【解析】【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．【详解】解：(1)连接，∵与相切于点，∴，∵，∴，∴，则．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：．故答案为：．(2)连接，由(1)得，，∵，，∴，∴，∴．在与中，∴，∴．又点在上，故与相切．【点睛】本题考查圆有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．26.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，