人教版高一数学新教材同步配套教学讲义4.2指数函数(原卷版+解析)

4．2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：给出解析式求函数的定义域题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数幂的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0例2．（2022·全国·高一专题练习）下列是指数函数的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1．（多选题）（2022·重庆·西南大学附中高一期中）下列函数是指数函数的有（

）A． B． C． D．变式2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【方法技巧与总结】一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．题型二：利用指数函数的定义求参数例4．（2022·全国·高一单元测试）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且例5．（2022·全国·高一单元测试）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．例6．（2022·北京大兴·高一期中）设函数，且，，则（

）A．24 B．24.2 C．26 D．26.5变式3．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则有（

）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1变式4．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．【方法技巧与总结】系数为1．题型三：求指数函数的表达式例7．（2022·全国·高一单元测试）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．例8．（2022·福建宁德·高一期末）请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.（1），若则（2）例9．（2022·全国·高一专题练习）指数函数的图象经过点，则a的值是（

）A． B． C．2 D．4变式5．（2022·全国·高一课前预习）函数，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知指数函数过点，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10．（2022·全国·高一单元测试）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．例11．（2022·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）函数的图象恒过定点（

）A． B．C． D．例12．（2022·广西北海·高一期末）若且，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．变式7．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例14．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，函数的图像是（

）A． B．C． D．变式8．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象的大致形状是（

）A．B．C．D．变式9．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，变式10．（2022·全国·高一课时练习）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．变式11．（2022·江西·高一阶段练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，变式12．（2022·全国·高一期末）若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（

）A．， B．，C．， D．，变式13．（2022·全国·高一单元测试）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是（

）A． B． C．2 D．4【方法技巧与总结】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．题型六：指数函数的定义域、值域例16．（2022·全国·高一单元测试）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（

）A． B． C． D．或例17．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________例18．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）函数的定义域为______．变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______变式15．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______________．变式16．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.变式17．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.变式18．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．变式19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则_________．变式20．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．变式21．（2022·全国·高一单元测试）函数在的值域为______．变式22．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．变式23．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.变式24．（2022·河北武强中学高一期中）函数的最大值为_________．变式25．（2022·陕西渭南·高一期末）方程的解在内，则的取值范围是___________.变式26．（2022·全国·高一单元测试）函数且的值域是，则实数____.【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．题型七：指数函数的单调性及其应用例19．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减例20．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例21．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式27．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减变式28．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．变式29．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．题型八：比较指数幂的大小例22．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．例23．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．例24．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．变式30．（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（

）A． B． C． D．变式31．（2022·四川雅安·高一期末）若，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．变式32．（2022·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．题型九：解指数型不等式例25．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.例26．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．例27．（2022·内蒙古·呼和浩特市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为______．变式33．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）已知函数，则不等式的解集为___________.变式34．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是___________.变式35．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）函数，则不等式的解集为___________.变式36．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为___________．【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解．题型十：判断函数的奇偶性例28．（2022·北京五十五中高一期中）如果函数是奇函数，则的值是__________.例29．（2022·天津市第一百中学高一期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则=_____.例30．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的奇函数，当时，(为常数)，则________．变式37．（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，为偶函数，则________.变式38．（2022·全国·高一专题练习）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.变式39．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．变式40．（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围变式41．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.变式42．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数为偶函数.(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；(2)若，求的范围.【方法技巧与总结】利用奇偶性的性质求解．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）设函数则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的图象可能是（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2022·安徽省定远中学高一阶段练习）函数，则方程的解集是（

）A． B． C． D．8．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（

）A．在定义域内单调递减 B．图象过点C．是奇函数 D．定义域是11．（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数在下列哪些区间内单调递减（

）A． B． C． D．12．（2022·湖北武汉·高一期中）下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．

图象关于点成中心对称C．

的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为三、填空题13．（2022·福建·石狮市第八中学高一期中）函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．14．（2022·全国·高一专题练习）若实数，满足，则_____（填）15．（2022·上海·高一单元测试）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;16．（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．四、解答题17．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围.18．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数．(1)求的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)证明：当时，．19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．(1)试确定函数的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．20．（2022·全国·高一课时练习）设函数，其中．(1)若，，且为R上的偶函数，求实数m的值；(2)若，，且在R上有最小值，求实数m的取值范围．21．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数．在时，．(1)试求的表达式；(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．4．2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：给出解析式求函数的定义域题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数幂的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.故选：D.例2．（2022·全国·高一专题练习）下列是指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B.变式1．（多选题）（2022·重庆·西南大学附中高一期中）下列函数是指数函数的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，函数不是指数函数，对于B，函数是指数函数；对于C，函数是指数函数；对于D，函数不是指数函数.故选：BC.变式2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③【方法技巧与总结】一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．题型二：利用指数函数的定义求参数例4．（2022·全国·高一单元测试）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C例5．（2022·全国·高一单元测试）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.例6．（2022·北京大兴·高一期中）设函数，且，，则（

）A．24 B．24.2 C．26 D．26.5【答案】B【解析】由题意得：两式相除可得：，故故选：B变式3．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则有（

）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故选：C变式4．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】解得，又函数在上单调递增，则，故选：B【方法技巧与总结】系数为1．题型三：求指数函数的表达式例7．（2022·全国·高一单元测试）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．【答案】【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案为：.例8．（2022·福建宁德·高一期末）请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.（1），若则（2）【答案】，答案不唯一【解析】令，则为R上增函数，满足条件（1）.又，故即成立.故答案为：，（，等均满足题意）例9．（2022·全国·高一专题练习）指数函数的图象经过点，则a的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.变式5．（2022·全国·高一课前预习）函数，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由，所以，故选：B变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知指数函数过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设（且），，解得，.故选：B.【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10．（2022·全国·高一单元测试）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B例11．（2022·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）函数的图象恒过定点（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为指数函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位即可得到函数的图象，指数函数过定点，所以函数的图象恒过定点.故选：B例12．（2022·广西北海·高一期末）若且，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令.当时，，所以函数的图象过点.故选：C.变式7．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点，故选：D【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知，当时，单调递减，且，故选：C例14．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，当时，是增函数，当时，的减函数，且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A．例15．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，函数的图像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，时，时，.故选：B.变式8．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象的大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，又，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.变式9．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．变式10．（2022·全国·高一课时练习）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．由函数的图象可知，排除A，B．由②知，函数在时有意义，排除C，故选：D．变式11．（2022·江西·高一阶段练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；分析可知：函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.故选：D变式12．（2022·全国·高一期末）若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，又由，可得，可得，结合选项，只有C项适合.故选：C.变式13．（2022·全国·高一单元测试）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】画出两个函数在同一坐标系下的图像，若有两个交点，则，故选：A【方法技巧与总结】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．题型六：指数函数的定义域、值域例16．（2022·全国·高一单元测试）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】当时，函数在上为减函数，则，解得：，当时，函数在上为增函数，则，解得：．综上，或．故选：D例17．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________【答案】【解析】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为：例18．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）函数的定义域为______．【答案】【解析】，即定义域为.故答案为：变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______【答案】【解析】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：变式15．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______________．【答案】【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.变式16．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.【答案】或【解析】∵令，则，则，其对称轴为.该二次函数在上是增函数.①若，由，得，故当，即时，，解得(舍去).②若，由，可得，故当，即时，.∴或(舍去).综上可得或.故答案为：或.变式17．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.变式18．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数的值域为，所以，所以，即，故，所以，则函数的定义域为．实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.故答案为：（答案不唯一）变式19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则_________．【答案】【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.变式20．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．【答案】【解析】因为的图象经过点所以，解得，则，因为，所以，所以，即函数的值域是，故答案为：变式21．（2022·全国·高一单元测试）函数在的值域为______．【答案】【解析】，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．变式22．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】由，得，即，

，，则，，则，即．故答案为：变式23．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.【答案】【解析】令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：变式24．（2022·河北武强中学高一期中）函数的最大值为_________．【答案】【解析】设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为，故答案为：.变式25．（2022·陕西渭南·高一期末）方程的解在内，则的取值范围是___________.【答案】【解析】令，显然该函数为增函数，，值域为，故.故答案为：.变式26．（2022·全国·高一单元测试）函数且的值域是，则实数____.【答案】或【解析】当时，函数且是增函数，值域是，；当时，函数且是减函数，值域是，.综上所述，可得实数或.故答案为：或【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．题型七：指数函数的单调性及其应用例19．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.而，可知函数为定义域上的减函数，因此，函数为奇函数，且是上的减函数.故选：D.例20．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，，解得，所以不等式的解集为.故选：A例21．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵在上单调递增，∴，解得.故选：B.变式27．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【解析】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.变式28．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.变式29．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.故选：D【方法技巧与总结】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．题型八：比较指数幂的大小例22．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由指数函数的单调性可得，，，所以.故选：D例23．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，，，所以．故选：B．例24．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．变式30．（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A变式31．（2022·四川雅安·高一期末）若，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，显然满足，但，A错误；，D错误；由在R上单增，知，B正确；若，则，C错误.故选：B.变式32．（2022·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是增函数，故，而，故.故选：A.【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．题型九：解指数型不等式例25．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】因为函数，所以不等式即为，在坐标系中作出的图象，如下图所示，都经过，即的图象在图象的下方，由图象知：不等式的解集是.故答案为：例26．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．【答案】【解析】由，可得，故解集为.故答案为：.例27．（2022·内蒙古·呼和浩特市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数；又均为单调增函数，故是上的单调增函数；则，即，也即，故，，解得.故不等式的解集为.故答案为：.变式33．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因函数，则不等式化为：或，解得：，解，无解，于是得，所以不等式的解集为.故答案为：变式34．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是___________.【答案】【解析】，则，解得.故答案为：.变式35．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】显然，是偶函数，时，是增函数，所以不等式等价于，即，，，解得．故答案为：．变式36．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为___________．【答案】{x|x>4或x<0}【解析】∵f(x)为偶函数，则当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝当f(x－2)>0时，有或解得x>4或x<0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．故答案为：{x|x>4或x<0}.【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解．题型十：判断函数的奇偶性例28．（2022·北京五十五中高一期中）如果函数是奇函数，则的值是__________.【答案】-1【解析】因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，所以，即，解得；经检验符合题意故答案为：-1.例29．（2022·天津市第一百中学高一期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则=_____.【答案】【解析】因为为奇函数，所以.故答案为：.例30．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的奇函数，当时，(为常数)，则________．【答案】1【解析】∵是R上的奇函数，∴，得，所以当时，，所以.故答案为：1.变式37．（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，为偶函数，则________.【答案】【解析】函数是奇函数，，即，则

①，为偶函数，，即，则

②，由解得．故答案为：变式38．（2022·全国·高一专题练习）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.【答案】【解析】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案为：.变式39．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，此时，所以时，是奇函数.所以；（2）由（1）可得，因为，可得，所以，所以，所以，所以函数的值域为；（3）由可得，即，可得对于恒成立，令，则，函数在区间单调递增，所以，所以，所以实数m的取值范围为．变式40．（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围【解析】（1）由已知，，，，，所以，解得，，此时定义域是R，，为奇函数．所以，；（2）由（1），设任意两个实数，，则，，所以，即，所以是减函数；（3）不等式化为，是奇函数，则有，是减函数，所以，所以恒成立，易知的最小值是，所以．变式41．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为为偶函数，且，所以，解得，又，所以,；设，则，因为，所以，，所以，所以在上单调递增.（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以，解得.变式42．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数为偶函数.(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；(2)若，求的范围.【解析】（1）因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，则，即，所以.所以，则，经检验，时，为偶函数，符合题意.因为，令、、，因为在上单调递增，且，又对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增，而在上单调递减，所以在上单调递减，即在上单调递减；（2）因为，则又因为在上单调递减，所以，即解得或.【方法技巧与总结】利用奇偶性的性质求解．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）设函数则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为关于原点对称，且，即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故错误；又，故错误.故选：.3．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，所以函数的值域为.故选：A4．（2022·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设函数，因为函数都是实数集上的增函数，所以函数也是实数集上的增函数，由，故选：A5．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；∵，∴在上不单调，排除D选项．故选：C6．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对任意的都有成立，在上单调递减，，解得：，即实数的取值范围为.故选：B.7．（2022·安徽省定远中学高一阶段练习）函数，则方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，令，则，当时，，令，其图象如图所示．时，无解，当时，成立，由，得当时，有，解得；当时，有，解得，综上，的取值范围是．故选：B.8．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数为R上的奇函数，所以，又当时，，当时，，则，所以时，，则由可得，或或，解得或或，综上可得，不等式的解集为．故选：C．二、多选题9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】在上单调递增，，解得：，的取值可以为选项中的或.故选：AD.10．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（

）A．在定义域内单调递减 B．图象过