高中数学新人教A版选修数学：第二章《圆锥曲线与方程》 同步练习二

圆锥曲线

数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第n卷3

至8页.共120分.考试时间105分钟.

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1.椭圆加），2=1的焦点在），轴上，长轴长是短轴长的两倍，则〃?的值为（）

2.若椭圆1+4=1伍＞匕〉0）的离心率是正，则双曲线4-1=1的离心率是

V5

4

3.若双曲线片-或=1的渐近线/方程为y=±Xlx，则双曲线焦点F到渐近线/

的距离为

B.V14C.旧D.2V5

4、直线y=x+b与抛物线f=2y交于A、B两点，。为坐标原点，且。A，。8,

贝1」人=（）

42B.-2C.1D.-1

5、若直线/过点（3,0）与双曲线4/一9），2=36只有一个公共点，则这样的直线有

（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（b,0）,直线y=x-l与其交于〃、N两

点，MN中点的横坐标为一2,则此双曲线的方程是（）

3

7、设离心率为e的双曲线C:=1(a>0,b>0）的右焦点为F,直线/过点

/一3

F且斜率为0则直线/与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是

()

A.k2-e2<lB.k2-e2>\C.e2-k2<\D.e2-k2>l

（实验班）已知定点M（1,1）>N（-4,-；）,给出下列曲线方程：

①4x+2yT=0②/+>2=3③]_+、2=]④、.一/=1在曲线上存在点。满

足

\MP|=|NP|的所有曲线方程是

（）

（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④

8、双曲线两条渐近线的夹角为60%该双曲线的离心率为（）

A.2百或2B.2后或&C.g或2D.△或&

33

9、若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线/一/2=1总有公共点，则。的取

值范围是()

A.(-55B.[-"行|C.(-2,2)D.[-2,2]

22

10、椭圆言+/=1上一点M到焦点耳的距离为2,N是的中点，则|ON|等

于（）

3

A.2B.4C.6D.-

2

（实验班做）如图，双曲线「一£=1的左焦点为Fi，顶点为4,A2,P是双曲线

上任意一点,则分别以线段PFi、44为直径的两圆位置关系为（)

A相交8.相切

C.相离。.以上情况都有可能

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.抛物线x=ay\a>0）的焦点坐标是

22y2

12.椭圆2+21=1和双曲线一一丁=i的公共点为户是两曲线的一个交点,那么

623

COS/F\PF2的值是o

13.椭圆的焦点为Fi、F2,过点凡作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段

MN长为四，AM&N的周长为20,则椭圆的离心率为______

5

22

（实验班做）双曲线餐-2=1（。/〉0）和直线y=21有交点，则它的离心率的取

ab

值范围是_____________

22

14.若焦点在x轴上的椭圆工+当=1上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则

45b

正数b的取值范围是

三、解答题（本大题4小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为Fi（0,-2V2）,F2（0,2夜），且

、七2-\/2

离心率e=——

3

（I）求椭圆的方程；

（II）直线/（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点小B,且线段A8中

点的横坐标为-工，求直线/倾斜角的取值范围。

2

16.（12分）已知动点P与平面上两定点A（-亚,0）,8（加,0）连线的斜率的积为定

(I)试求动点p的轨迹方程c.

(II)设直线/:>=区+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=平时，求直线/

的方程.

2

(实验班做)已知向量nh=(0,x),"i=(1,1),m2=(x,0),n2=Cy>1)(其

中x,y是实数)，

又设向量m=mr+&〃2，n=m2-41nr，(x,y)的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

(II)设直线/:y=Ax+l与曲线C交于M、N两点，当|MN|=殍时，求直线/

的方程.

17.(13分)已知椭圆乂+工(a>b>0)的离心率6=逅，过点八(0,-b)和8

a2b23

(a,0)的直线与原点的距离为也.

2

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k#0)与椭圆交于C、D两点.问:

是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

22

18.(13分)设双曲线C：=1(0>o,b>0)的离心率为e,若准线/与两

b~

条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△下0£!为等边三角形•

(1)求双曲线C的离心率e的值；

(2)若双曲线c被直线y=ax+b截得的弦长为吆，求双曲线c的方程.

a

参考答案及评分标准

11.(—,0)；12.—13.—实验班(J^,+°o)14.(0,

4〃35

三、解答题：本大题共6小题，满分84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解⑴设椭圆方程为5+A1，由已知I"又£=迪

15.

a3

2

解得。=3,所以b=l,故所求方程为二+，=14

9

分

(II)设直线I的方程为》=日+。伏#0)代入椭圆方程整理得

伏2+9)x2+2妨x+/—9=0.......................5分

A=(2妨f-4伏2+9)面-9)>0

由题意得，2kb7分

X[+£=

k2+9

解得k>&k<-6又直线/与坐标轴不平行.....................

10分

故直线/倾斜角的取值范围是q,y)U(py)...............................................

12分

16.解：设点P(x,y),则依题意有，，=-L,..............3分

X+v2X—ypl2

r2

整理得彳+/=1.由于,所以求得的曲线C的方程为

5+y2=1(XH±V2).................................5分

(实验班做)(I)由已知,m=(0,x)+(>/2/,V2),=(>/2/,x+V2),

n=(x,0)—(A/2,5/2)=(x—5/2,—5/2)............................4

分

,/mlln,2(-V2)-(x+V2)(x—V2)=0..............................5分

2

即所求曲线的方程是：二+y2=i...................................................................................................................

2

7分

IX2,2—

(II)叫了+)'=，消去y得:(1+2/卜2+4H=0.

y=kx+\.

解得X1=O,X2=——竺7区，》2分别为M,N的横坐标).................9分

\+2k2

由IMN1=J1+Y|r-x|=J1+由।4k|=+收

121+2/3

解得：左=±1..............................................................................................................................11

分

所以直线/的方程x-y+l=0或x+y—1=0........................................................................12

分

17.解析：(1)直线A8方程为：bx-ay-ab—0.

c_V6

依题意卜：a=V3>

解得

ahV3。=1

,^a2+b2~2

•••椭圆方程为—+/=1...........................................4分

3

（2）假若存在这样的k值，由得（1+3火2）/+]2晨+9=0.

，+3户3=0

△=（12k）2—36（1+3%2）＞0.①

12k

Xj+%2=----------2，

设C®,月）、。（々，为），则，；+女一②

…二K

....................................................................8分

122

而月,乃=（依+2）（依+2）=kX[X2+2k（xx+/）+4・

要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CE，DE时则工一•上—=t,

X}4-1x2+1

即为,2+（玉+1）（%2+D=。•..................................1。分

22

（k+1）x[x2+2（k+l）（Xj+元）+5=0.③

_77

将②式代入③整理解得火经验证，％使①成立.

66

7

综上可知，存在女=」，使得以C。为直径的圆过点£....................13

6

分

18解析：（1）双雌C的右准线/的方程为：x=4，两条渐近线方程为：y=±-x.

ca

两交点坐标为P（~—，——）>Q（~~».

cccc

•・・APFQ为等边三角形,则有IM/1=JlPQI（如图）.

2

.a2V3,abab、c2—a2yf3ab

•・c--------（一+一）,Bn|nJ----------=---------

c2cccc

解得b=43a,c=2a.e=—=2......................................................................