高中数学-平面向量复习-数量积教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量复习一数量积》教学设计

一、教材分析

(-)考纲要求：

(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义.

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算.

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平

面向量的垂直关系.

(二)命题趋势：

平面向量的数量积运算是高考的重点内容之一，对本单元的考查

多以选择题、填空题的形式出现，问题的档次为中、低档题，有时也

有解答题.主要考查夹角、长度、垂直等问题，还易与其他知识有机

结合(如与函数、三角函数、数列、平面几何、解析几何、力、位移

等知识有机结合)，在知识点的交汇点处命题是高考的一个热点，综

合性较强.

(三)教学内容解析：

向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实

际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁.

它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇

点.而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向

量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一.其中平

面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算，也是高

中平面向量教学中的一个重要概念，既有对几何的体现，也有其对应

的特殊性质和运算律.因此它在数学、物理等学科中应用十分广泛.

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关

知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应

用；课堂中也很好的融入了数形结合思想和转化化归思想.

二、教学目标设置

向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合.一方面，它

可以把几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它还可以结合图

形对向量的有关问题进行分析求解.向量是解决数学问题和实际问题

的有力工具.所以，对于向量的数量积复习课而言，希望可以从定义

的梳理展开，结合图形将向量数量积相关问题的求解方法进行归纳总

结，并且让学生体会到向量数量积如何成为解决数学问题的有力工具

入手完成这节课.

教学目标：

1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关

的知识点.

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题

目的反思重解能力.

3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力.

教学重点：平面向量数量积概念的掌握.

教学难点：应用数量积解决问题.

三、学生学情分析

本节课的教学对象是高三文科学生（一轮复习）.

虽然学生高二已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能

运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是文科学生基

础较薄弱，对于向量的相关知识内化的还不够完善.部分学生解题时

数形结合能力弱还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁

移能力还不够.因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要.

四、教学策略分析

因为是平面向量的复习课，教学内容涵盖较大.为了保证教学任

务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，

在教学方法上，尽可能的采用一个三角形为主体背景，将“知识回顾

——方法提炼一一迁移应用一一巩固落实”四个环节有机串联起来，

不同认知基础的同学都可以参与到相应的环节中.通过师生共同探讨,

根据学生的反馈，及时加以引导，达成本节课教学目标.

在教学手段的应用上，主要有以下两点：

(1)制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内

容的呈现方式，以此来提高效率，增加课堂容量.①使用ppt,主要

是对课堂的内容作快速呈现.②使用geogebra软件，将学生变题产生

的图形，及图形变换特征较迅速地展现出来.

(2)设计科学合理的板书①使学生加深对主要知识的印象②使

学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络③ppt和板书配

合使用，达到了快速呈现题目，同时板书梳理知识的效果.

五、教学过程设计

一、知识回顾

环节一：''做”中“理”一一问题导入，梳理知识.

1.完成以下问题

(1)已知等边aABC的边长为3,则福.前=-

-----2~

(2)已知向量£=(1,2),1=(*,1),且4_1_坂,则x=-2

(3)已知H=1,%=2,ah=-\,贝!Ja与Z的夹角为

(4)判断下列说法是否正确

①(V)

②若£4=0则3=0或5=0(X)

③若=工区则£=2(X)

④若@办"=£.(〃))，对任意向量Z,a"都成立(X)

2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理.

a=O[,y)石=(工2,、2)，〈a石)=夕

1、平面向量数量积的定义：

a-b=\a\\b\cosO=xtx^+yty2

2、两个向量数量积性质的主要应用:

a*b_/__

a-b=Q<=i>al.bcos0-丽⑺3。

垂直：夹角：川।模长：

3、向量数量积的运算律:

CL-b=b-ci

a•(Z?+c)=ci-bci-c

=(2a)・Z?=a・(a/?)

【设计意图]对于每道判断题做说明和反例的细致解读，分析

抽取概念.留出必要的时间对相关知识点做一个回顾和梳理，也为后

面的例题展开做铺垫.这样处理不仅避免枯燥的知识罗列，也为了避

免做题中牵扯太多的精力和时间，更加兼顾了不同认知水平的同学.

二、方法提炼

环节二：“解”中“结”-----题多解，总结方法.

例1：在正三角形ABC中,D是BC上的点，4B=3,BD=1,求Q.诟

解一：ABAD=AB^B+'BD）

丽.网COS120。

解二：如图建立坐标系：

A（0,辿）；B（一3,0）;D（一，0）

则通=

BD

所以Q.而二工3="

2.方法提炼：

由例1提炼出求数量积的方法：

数量积的线性运算；数量积的坐标运算.

【设计意图】：时间对于一堂复习课而言是非常宝贵的，所以选

取一题多解的方式，简化运算和读题时间，同时达到方法提炼的目的.

同时在讲解方法中，适当的牵引学生的未知化归已知的思想方法和数

形结合思想，也能够达到复习课所必须的广度和深度.

三、迁移、应用

环节三：“用”中“升”——训练思维，应用感悟.

例2在△ABC中，ZA=90。，AB=1,AC=2.设点P,Q满足

~AP=AAB^AQ=[\-X)AC

2G/?.^BQCP=-2,贝lj/l=()

124

A.-B.~C.-D.2

OOtJ

解一：选B由题意可知的=而-1^=(1—X)AC-AB,

CP=AT—AC=AAB—AC,且亚•衣=0,故而•丽=一(1

-X)AC2—~AB2=-2.XIABI=1,|正|=2,代入上式解得X

2

3,

解二：如右图建立坐标系：

A(0,0);B(l,0);C(0,2)

AP=AAB=(A,0),

AQ=(l-A)AC=(0,2-2A)

：.BQ=AQ-AB=(-1,2-2A),

CP=AP-AC^^,-2)

所以而•方=—2—4+42=—2,-.2=-

【设计意图】：通过例题学生体会平面向量数量积问题的类型及求

法.

(1)已知向量a>b的模及夹角。,利用公式a%=HWcos。求解；

解题时要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量,

然后利用基向量的模和夹角进行数量积的运算.

(2)已知向量Z［的坐标，利用数量积的坐标形式求解.

例3(1)设向量a,1满足M=1,a+b,a.Qt+/?)=(),贝”2a+4

A)

A.2B.2-73C.4

D.4^3

a•[〃+”=0解二：解三:

解一:口+a-b-0

:.a-b=-1

2——f2

口+请0+2a/+Z?=3

2a+b=4。+4a­0+b=4

2a+1=2a

(2)已知2,6是单位向量，ab=Q,若向量冷茜足卜-汗-司=1,贝!J同

的最大值为(C)

A.V2-1B.V2C.&.+1D.

y/2+2

【设计意图】：本例题很好体现向量具有代数和几何的双重身份,

是沟通代数、几何的桥梁.解题时注意函数方程、整体代换意识及数

形结合思想.

例4已知A(3,0),B(0,3),C(coscr,sincr),。为坐标原

点.

(1)若尼.部=-1,求sin1a+(］的值；

(2)若|)+元|=至，且a£(0,万)，求而与灵的夹角.

解:

(2)O4+0C=(cosa+3,sina)

(coscif+3)2+sin2a=13

cos6Z=­•.*aG(。,7i):,a=­

OBOC_3sinaV3

(1)AC=(cosa-3,sina),

BC=(cosa,sina-3)

AC-BC=(cosa-3)-cosa4-sina(sina-3)

cos2a-3cosa+sin2a—3sina

=1—3A/2sinctH—

4J

-------71V2

vACBC=-1.\sina+—

I4

【设计意图】：向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考

查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特

别是通过向量坐标表示的各种运算，利用解决平行、垂直、夹角和距

离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题.

四、巩固、落实

环节四：“练”中“会”——夯实基础，任务后延.

1.已知入屋"是三个不共线的非零向量，则下列等式中成立的是

()

(A)|a|-a=(5)2(B)他与

(C)5)(D)a-b—a.•b

2.若㈤=1,1昨2,"=£+况且则向量£与坂的夹角为()

(月)30°(B)60°(C)120°(〃)150°

3.正三角形ABC的边长为1,则A从国八国不改+密送后等于

4.已知向量a=(sinx,1),3=cosx,——

⑴当近3时，求的值；(2)求函数/(»=)区-制的最小正

周期.

答案：l.C2.C3.--

2

4.解：

—f_♦2

aLba-b=O⑵-a

——2i-»|2一-♦i-»i2

a+b="+2a-/?+/?

=si*nxcosx---1---sin•2x—l1

2

.,19

=sin2-x+1+co2sx+—=—1.-l-cos2x3

44=—sm2x--------------

222

--3

/.a+b=—V2.Jc

——----sin2xH——2

22I4j

•/(x)66息,1、VC国iffl治”

【设计意图I课堂练习是学生掌握和应用所学知识提高技能所

必要的途径，根据学生的认知规律、结合学生的基础情况有针对性的

巩固知识点，选择了基础题和综合应用题部分.本环节能及时反馈课

堂学生理解及掌握情况.

五、课堂小结：

对照学习目标，学生自己评价对本节内容的掌握情况：

1.本节课主要复习了平面向量数量积定义、几何意义、性质、运

算律及其简单应用.

2.平面向量数量积的两种主要求法.

3.利用平面向量的数量积运算解决有关夹角、垂直、长度等问题,

体现数量积在几何和代数中的应用.

【设计意图】：让学生自己对照学习目标能够检验知识的掌握程

度，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体

系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.

六、布置作业：

①必做作业：课后导学练习

②选做作业：（任务后延）已知荏,禧网狗”若点P是A/WC

所在平面内一点，且而=普+辔，则万・京的最大值等于（）

网陷

A.13B.15C.19D.21

七.板书设计：

平面向量复习一数量积

梳理知识：1.平面向量数量积的定义：例题：

2.两个向量数量积性质的主要应用：

3.向量数量积的运算律：

《平面向量复习一数量积》学情分析

本节课的教学对象是高三文科学生（一轮复习）.

虽然学生高二已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能

运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是文科学生基

础较薄弱，对于向量的相关知识内化的还不够完善.部分学生解题时

数形结合能力弱还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁

移能力还不够.因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要.

《平面向量复习一数量积》效果分析

因为是平面向量的复习课，教学内容涵盖较大.为了保证教学任

务的完成，顺利实现本节课的教学目标，在教学方法上，将“知识回

顾一一方法提炼一一迁移应用一一巩固落实”四个环节有机串联起来,

如：知识回顾环节,建构四道看似普通的题目作为平台，将题目赋予了

极大的价值，也给同学们提供一种课后复习的手段，在一些简单题目

中就蕴含大量知识讯息.“做”中“理”，“会做”很重要的，但是“会

理”是更高境界.课堂上学生能自行梳理概念,建构知识框架.方法提

炼,迁移应用等环节,教师启发激励学生挖掘出多种解题方法，学生大

胆展示自己的探究成果，教师在点评不同解法时，融入不同的数学思

想方法，学生思维能力得到提升.巩固落实环节，“练”中“会”，根

据学生课堂练习的反馈,学生能熟练掌握向量数量积两种运算：线性

运算，坐标运算.达成了本节课教学目标.

从整体效果分析，不同认知基础的同学都可以参与到相应的环节

中，学习效果较好.

《平面向量复习一数量积》教材分析

向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实

际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁.

它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇

点.而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向

量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一.其中平

面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算，也是高

中平面向量教学中的一个重要概念，既有对几何的体现，也有其对应

的特殊性质和运算律.因此它在数学、物理等学科中应用十分广泛.

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关

知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应

用；课堂中也很好的融入了数形结合思想和转化化归思想.

教学重点：平面向量数量积概念的掌握.

教学难点：应用数量积解决问题.

平面向量的数量积及应用

姓名：分数：

一选择题：(每题5分)

I.设25,守为平面向量，下面命题中正确的个数为()

(1)a-(h-c)=ab-a-c(2)若且=b=c

(3)(a-b)-c=a-(b-c)(4)(a-b)2=\a\~-2|^||b|+|^|

(5)若M・B=O,则M=0或6=0

A.1B.2C.3D.4

2.在A4BC中，“A瓦8C〉O”是“AABC为钝角三角形”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知菱形ABCD的边长为a,NABC=60°,则8万匕方=（）

43232_3232

A.—B.—ci~C._D._ci"

2442

4.已知向量1=（cos75°,sin75°）,5=（cos15。,sin15。），那么卜一同的值是（）

A.―B.———C,y［3D.I

22

5.已知向量值=（1,6）,5=（3,m）.若向量口5的夹角为王，则加的值为（）

6

A.2GB.0C.V3D.-V3

6.在AABC中，（8C+BA）-AC=|Aq,则AABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.不确定

7.非零向量”满足网=4同，且〃（2万+5），则］与5的夹角为（）

7CIT2715乃

A.—B.—C.-t--D.—

3236

8.已知府是单位向量，a-b=0,若向量［满足卜―a一同=1,则同的最大值为（）

A.5/2-1B.C.5/2+1D.s/2+2

9.已知AD.BE分别为A48C的中线，若阿卜同=1,而与/的夹角为120°,则

ABAC=()

A.§

B,-C.-D.-

9933

10.已知丽卜=f.若点P是AABC所在平面内一点，且

网|闾则P8-PC的最大值等于（）

A.13B.15C.19D.21

-填空题：（每题5分）

11.过点P（1,G）作圆£+丁=1的两条切线，切点分别为A,B,则西•丽=

12.已知单位向量华与色的夹角为。，且cosa=；,向量M=3q—2/与5=3q的

夹角为/3,贝ijcos°=

13.设耳,02为单位向量，非零向量3=》与+>62，%37€凡若4,62的夹角为一，则言的

最大值等于_____________

三解答题(每题10分)

14.设向量1=(>Asinx,sinx),b-(cosx,sinx),

XG呜

(1)若同=|斗求x的值；

(2)设函数f(x)=G-5,求f(x)的最大值.

15.已知菱形ABCD边长为2,/R4D=120°,点E,F分别在BC,DC上，且

就=3丽，反=4万户.若荏而=1,求;I的值.

16.已知向量M=(2+sinx/)，b=(2,-2),3=(sinx-3,1),2=(1,攵)，其中

TTTT―

(1)若xe，且〃//S+C，求x的值；

22

(2)若xeH,是否存在实数Z,使得(a+2)j_(5+c?

若存在，求出左的取值范围，若不存在，请说明理由.

《平面向量复习一数量积》课后反思

在讲完《平面向量复习一数量积》这节课，我从备课理念、整体

效果、具体教学环节这几方面反思自己的教学.

一、备课理念

备课是课堂教学的核心环节，在备好学情的基础上，从学生具体

的学习过程入手，将“知识回顾一一方法提炼一一迁移应用一一巩固

落实”四个环节有机串联起来，不同认知基础的同学都可以参与到相

应的环节中.

二、教学整体效果

本堂课的设计，通过问题解决引领学生梳理知识,通过小组讨论

的形式提炼方法，精选例题,训练学生思维，让学生积极参与课堂，体

现学生的主体性.教师是课堂活动的组织者，引导者和参与者.多媒体

课件的使用使课堂增色不少.总体来看，教学目标的达成情况很好.

三、具体教学环节

环节一：“做”中“理”一一问题导入，梳理知识.

首先，让学生解决一组与向量数量积相关的数学问题.每一道小

题的处理方式都是通过学生回答，自行梳理概念，同时对于每道判断

题做说明和反例的细致解读，分析抽取概念.老师板书提炼包括向量

的定义，向量数量积的坐标表示，向量数量积的几何意义，向量数量

积的运算律等相关知识，达到对向量数量积相关知识的复习.课堂留

出必要的时间对相关知识点做一个回顾和梳理，也为后面的例题展开

做铺垫这样处理不仅避免枯燥的知识罗列，也为了避免做题中牵扯太

多的精力和时间，更加兼顾了不同认知水平的同学.建构四道看似普

通的题目作为平台，将题目赋予了极大的价值，也给同学们提供一种

课后复习的手段，在一些简单题目中就蕴含大量知识讯息.“做”中

“理”，“会做”很重要的，但是“会理”是更高境界.

环节二：“解”中“结”-----题多解，总结方法.

让学生解决在等边三角形背景下的一个数量积典型例题.教学过

程中，老师启发激励学生挖掘出多种解题方法，同时在点评不同解法

时，融入不同的数学思想方法，比如在点评解法一时，强调将未知化

归已知的数学思维方式，注意基向量的选取；引导学生总结求数量积

的一种方法：线性运算；在点评解法二时，将“形”化归“坐标”；

引导学生总结求数量积的另种方法：坐标运算；对于复习课的例题如

果选取若干道背景不同的题目，容易造成计算量的增加，同时读题时

间的增加，而时间对于一堂复习课而言是非常宝贵的，所以选取一题

多解的方式，简化运算和读题时间，同时达到方法提炼的目的.同时

在讲解方法中，适当的牵引学生的未知化归已知的思想方法和数形结

合思想，也能够达到复习课所必须的广度和深度.

环节三：“用”中“升”一一应用感悟，任务后延.

本环节精选三道例题，采取学生独立思考或小组讨论的形式，对

向量数量积运算进行同时理解感悟.让学生体悟到向量数量积两种运

算：线性运算，坐标运算；让学生体悟到数