新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.1直线与直线平行教师用书新人教A版必修第二册

8.5空间直线、平面的平行直线与直线平行学习任务1．理解并驾驭基本领实4．(数学抽象)2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．(直观想象、逻辑推理)在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，假如a∥b，b∥c，那么a∥c.这特性质在空间是否成立呢？学问点1基本领实4(1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．(2)符号表示：a∥bb∥c1．基本领实4的实质及作用是什么？[提示]实质上是说平行具有传递性，是推断空间两条直线平行的依据．学问点2等角定理假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．应用等角定理时，两个角何时相等何时互补？[提示]假如两角的两条边方向都相同或都相反，则这两角相等；假如两条边的方向一个相同一个相反，则两角互补．1．在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．垂直C[如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1．].2．空间两个角∠ABC和∠A′B′C′中，AB∥A′B′，BC∥B′C′，若∠ABC＝45°，则∠A′B′C′＝()A．45° B．135°C．30° D．45°或135°D[由等角定理可知∠A′B′C′＝45°或135°.]类型1平行线传递性的应用【例1】(源自苏教版教材)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF∥A1C1．[证明]连接AC(图略)．在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为AA1綉BB1，BB1綉CC1，所以AA1綉CC1，从而四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1．从而EF∥A1C1．基本领实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．证明两直线平行的方法一般有三角形的中位线、平行四边形、点分线段成比例等．[跟进训练]1．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且CGGB＝CH[证明]因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF＝12BD因为G，H分别是BC，CD边上的点，且CGGB所以HG∥BD，且HG＝13BD所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形．类型2等角定理的应用【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．[证明](1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．证明两个角相等常有三种途径：三角形相像、三角形全等及空间等角定理．其中依据空间等角定理证明两角相等时要留意两点：①证明两个角的两边分别对应平行；②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．[跟进训练]2．如图，已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD.求证：△EFG∽△BCD.[证明]∵在△ABC中，EF∥BC，∴AEEB＝AFFC.又FG∥CD，∴AFFC＝AG∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，∴∠EFG＝∠BCD.同理∠FGE＝∠CDB.∴△EFG∽△BCD.1．若直线a，b，c满意a∥b，a，c异面，则b与c()A．确定是异面直线B．确定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线C[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相冲突，则b与c不行能平行，故选C.]2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于()A．130° B．50°C．130°或50° D．不能确定C[∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴∠AOB与∠A′O′B′相等或互补，∵∠AOB＝130°，∴∠A′O′B′＝130°或50°.]3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．6[EH同理EF＝GH＝12AC所以四边形EFGH的周长为6．]4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．平行[在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又BC∥B1C1，所以EF∥B1C1．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．基本领实4的内容是什么？有什么作用？[提示]基本领实4平行于同一条直线的两条直线平行作用证明两条直线平行2．空间等角定理的内容是什么？有什么作用？[提示]定理假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补作用推断或证明两个角相等或互补课时分层作业(二十九)直线与直线平行一、选择题1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A[∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.]2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等 B．相像C．仅有一个角相等 D．全等或相像D[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．]3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1，且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不愿定平行D[当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1时，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不愿定平行，如图所示，故选D.]4．(多选)下列命题中，错误的有()A．假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．假如一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．假如两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线相互平行AC[这两个角相等或互补，选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中，这样的两个角大小关系不确定，选项C错误；由基本领实4知选项D正确．]5．(多选)在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则()A．PQ＝12B．PQ∥MNC．M，N，P，Q四点共面D．四边形MNPQ是梯形BCD[由题意知PQ＝12DE，且DE≠MN所以PQ≠12MN又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．]二、填空题6．空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．60°或120°[因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．]7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1平行的面上的对角线有________条．1[连接正方体各面上的对角线．过点D1和A点的对角线和直线AD1相交．A1B，A1C1，C1D分别与AD1是异面直线，夹角为60°，B1C，A1D和AD1是垂直的，故只有直线BC1∥AD1．故满意条件的直线只有1条．]8．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________.13m[连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，依据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD，∴MN綉23EF，EF綉12BD，∴MN綉13BD，∴MN三、解答题9．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOO(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△[解](1)证明：在△ABO与△A′B′O中，∵∠AOB＝∠A′OB′，AOO∴△ABO∽△A′B′O，∴ABA'B'＝23，∠BAO＝∠B′A′O同理A′C′∥AC，B′C′∥BC.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴易知∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.又ABA'B10．如图，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是()A．a，b都与l平行B．a，b中至多有一条与l平行C．a，b都与l相交D．a，b中至多有一条与l相交B[假如a，b都与l平行，依据基本领实4，有a∥b，这与a，b为异面直线冲突，故a，b中至多有一条与l平行．]11．(多选)已知空间四边形ABCD，顺次连接四边中点所得的四边形可能是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形BCD[如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD且EH＝12BD，同理可得FG∥BD且FG＝12BD，EF∥AC且EF＝1∴EH∥FG且EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形．①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，平行四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为菱形；③若AC⊥BD且AC＝BD，则EH⊥EF且EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为正方形．]12．(多选)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠DBCC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形ABC[对于A选项，由基本领实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，依据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽MEQ，故C正确；由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝12BD，NP∥BD，NP＝12BD，所以MQ綉NP，所以四边形13．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2＝________．10[如图所示，由三角形中位线的性质，可得EH綉12BD，FG綉12BD，HG綉12AC，EF綉12AC，再依据基本领实4可得四边形EFGH为平行四边形，在△GHE中，由余弦定理得GE2＝HG2＋HE2－2同理，在△HEF中，HF2＝HE2＋EF2－2HE·EF·cos∠HEF，又EF＝HG，cos∠GHE＝－cos∠HEF，所以EG2＋HF2＝2(HE2＋HG2)，所以EG2＋HF2＝2×1214．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形．[证明]取B1C1的中点G，连接GD1，GE，则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D，∴四边形GEDD1是平行四边形，GD1∥ED，GD1＝ED.∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，∴四边形FB1GD1是平行四边形，∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED，∴四边形B1EDF是平行四边形，又B1E＝BB12B1F＝B1A12+12A1D12＝52A1B1，A∴四边形