高中数学必修四三角函数练习1

2015年01月07日必修四三角函数组卷1

2015年01月07日必修四三角函数组卷1

选择题（共16小题）

1.（2014•甘肃一模）在aABC中，a、b、c分别为NA、ZB,NC的对边，三边a、b、c成等差数列，且

则cosA-cosC的值为（）

AD

-土MB.&C.炯-土炯

丫2GMo）

2.（2006•奉贤区一模）函数f（x）=\，则集合｛Xlf（f（x））=0｝元素的个数有（）

4sinx（0<x4兀）

A.、2个B.3个C.4个D.5个

3.（2005•安徽）在AABC中，已知tanA强sinC,给出以下四个论断：

2

①tanA・cotB=l,

②lVsinA+sinB«&,

③siJA+cosbf,

(4)cos2A+cos2B=sin2C,

其中正确的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

TTJT

4.(1999・广东)若sina〉tana〉cota(--),则ae()

A-(-1-4)(-=，0)c(0,2)D.(2L2L)

「2)

2444

5.已知sine+cos。」，06（―,n）,则tan。的值是（）

52

A._4B._3C.4D.3

3434

6.若a是锐角，且满足sin（a），，则cosa的值为（）

63

A.2A/6+1B.2^6-1C.2V3+1D.2M-1

6644

7.在RtZiABC中，ZC=90°,那么sinAcos2(45。-至)-sinAos^()

222

A-有最大值工和最小值为0B,有最大Q,但无最小值

44

C.既无最大值，也无最小值D.有最大』，但无最小值

2

8.若a,b,c是AABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x?+y2=l相离，则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

〉〈

9.(2011•安徽模拟)对Va,bGR,运算"软、"9"定义为：a0b=Jfa(，a八b),a㊉b=Ifa(a,、b)、，则_下列各

[b(a<b)[b(a>b)

式中恒成立的是()

①(sinx®cosx)+(sinx®cosx)=sinx+cosx.

②(2*8x2)-(2x®x2)=2X-x2,

③(sinx⑥cosx)•(sinx®cosx)=sinx«cosx.

④(2x®x2)-(2x0x2)=2X-x2.

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

x」+CQSX+X_2—0

10.(2012•绵阳二模)若实数x,y满足方程组<则cos(x+2y)=()

8y3-2cos32yl>3=0

A.0B.1C.1D.1

32

11.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是()

A•.AA]B..»

sinA+cosA=-AB・BC>0

5

C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,0=3^3»B=30°

12.函数f(x)=&si：x+cosx(04x6)的最大值为()

sinx+yi-sinx

A.1B.V2c.MD.2

13.已知△ABC,若对任意keR,<IBA+kCBl^|AC|.则4ABC一定是（)

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

14.已知。为AABC内一点，若对任意keR有I赢+（k-1）而-1<前以布-前1,则AABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

15.如果e是第二象限角，且满足co晶一sin-^Wl二sind，那么£（）

A.是第一象限角

B.是第三象限角

C.可能是第•象限角，也可能是第三象限角

D.是第二象限角

16.计算cos20°sin50°sinl70°=（）

A.1B.1C.1D.1

36816

二.填空题（共14小题）

17.（2012•广东模拟）如图，点A,B,C是圆O上的点，且AB=2,BC=V6>ZCAB=120°,则/AOB对应的

劣弧长为.

18.（2012•道里区三模）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosB-bcosA=］c，当tan（A

-B）取最大值时，角C的值为.

19.（2011•安徽）设f（x）=asin2x+bcos2x,a,bGR,abwO若f（x）<lf（—）-切x€R恒成立,则

6

①f=0.

12

②if（Z2L）i<if（21）I.

105

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

@f（x）的单调递增区间是［kn+工，kn+空］（kGZ）.

63

⑤存在经过点（a,b）的直线于函数f（x）的图象不相交.

以上结论正确的是写出正确结论的编号）.

20.（2011•涟源市模拟）在AABC中，给出下列四个命题:

①若sin2A=sin2B,则AABC为等腰三角形；

②若sinA=cosB,则aABC是直角三角形：

③若cosA»cosB»cosC<0,则4ABC是钝角三角形；

④若cos（A-B）«cos（B-C）・cos（C-A）=1,则4ABC是等边三角形.

以上命题正确的是（填命题序号）.

21.（2010•重庆）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同-点P（点

P不在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为四（i=l,2,3）,则

22.（2010•延庆县一模）直线y=2x+l和圆x2+y2=l交于点A,B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是

坐标原点）的角为a,OB为终边的角为仇则sin（a+p）=.

23.（2007•北京）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图

是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积

为25,直角三角形中较小的锐角为。，那么COS29的值等于.

24.若工<入<工，则函数y=tan2xtan”的最大值为

42

25.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD_LAB于点D,且AD=3DB,设NCOD=6,贝lj,tan6=

“L...sin(x+y)sin(x-y)

26.实数x,y满足tanx=x,tany=y,Q1月.Ixlwlyl,nil则-------------------------=

x+yx-y

27.L2知a,p,y£R,则|sina-sinB|+〃|sinB-sinY|+1|sinY-sina|的耳文大值为------------

28.已知a、B为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误的是

©tanatanp<1；②sina+sinB<42；

③cosa+cosB>l；©Itan(a+B)〈tan.士邑.

29.下面这道填空题印刷原因造成在横线内容无法认清，现知结论，请在横线上，写原题的一个条件，题目：已知

ct>B均为锐角，且sina-sinB=一，则cos(Q-p)=-^..

30.设a,b均为大于1的自然数，函数f(x)=a(b+sinx),g(x)=b+cosx,若存在实数m,使得f(m)=g(m),

贝lja+b=.

2015年01月07日必修四三角函数组卷1

参考答案与试题解析

一.选择题（共16小题）

1.（2014•甘肃一模）在aABC中，a、b、c分别为NA、ZB./C的对边，三边a、b、c成等差数列，且

则cosA-cosC的值为（）

A.±V2B.&c.炯D.+炳

考点：三角函数的化简求值；等差数列的性质.

专题：计算题；压轴题.

分析：通过a、b、c成等差数列以及正弦定理得到关系式，利用和差化积，二倍角公式以及三角形的内角和，推

出cosAl£=2sin£,求出sin9二£利用和差化积化简cosA-cosC,代入B,即可求出结果.

222

解答：解：由于a,b,c成等差数列，所以有：2b=a+c；

据正弦定理有：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC；代入2b=a+c,

化简，得：

2sinB=sinA+sinC=2sin-^i^cos—^=2sin-兀-BA-C

------cos-

22~1~

=2cos^cos^_^=4sin”o里

2222

cosA2£2sinB,

22

sM-=±^1-4sin2-^=±Vl-2(1-cosB)=±V2cosB~1

cosA-cosC=-2sinMsinA_2=±2Cos|Ay2cosB-1

=±V2(1+cosB)(2cosB-l)

=±V4cosB_2+4coS2B_2cosB

士42cosB_2+4cos2B

=±A/2COS45°-2+4COS2450=

2+2

=士炳；

故选D.

点评：本题考查和差化积公式的应用，二倍角以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.

„2（4A）

2.（2006•奉贤区一模）函数f（x）''飞'，则集合｛xlf（f（x））=0｝元素的个数有（）

4sinx（0<x《冗）

A.、2个B.3个C.4个D.5个

考点：三角函数的化简求值.

专题：计算题；压轴题；分类讨论.

分析：根据分段函数f(x)解析式，我们结合集合元素要满足的性质f[f(x)]=0,易通过分类讨论求了所有满足

条件的x的值，进而确定集合中元素的个数.

解答：解：当xVO时，f(x)=0可得x=0

当OVxMrt时,若f(x)=4sinx=0,则sinx=0,则x=n

当xWO时，若f(x)=x2=n,贝IJX=-5/3^"，

TT

当OVxVrt时，若f(x)=4sinx=n,则sinx^—

4

mu—.兀TT.兀

,则x=arcsin——»兀-arcsin—

又；f[f（x）]=0

/.f（X）=0,或f（X）=Tt

••x="JT，x=0,或X=QJ»CSjn—，或冗—3rcsin—，或x=n

44

故选：D

点评:本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值，其中根据分段函数的解析式，利用分类讨论

的思想构造关于x的方程是解答本题的关键

3.（2005•安徽）在AABC中，已知ta世安sinC,给出以下四个论断:

2

①tanA・colB=l,

②l<sinA+sinBV&,

③si/A+cos2BT,

@cos2A+cos2B=sin2C>

其中正确的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用.

专题：计算题；压轴题.

分析：先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos巡=返进而求得A+B=90。进而求

22

得①tanA・cotB=tanA・tanA等式不一定成立，排除：②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范

围符合，②正确；

③si/A+cc^BuZsin2A不一定等于1,排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知

cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=l,进而根据090。可知sinC=l,进而可知二者相等.④正确.

解答：格〃••+A+B•厂

解：.tan-smC

2

.A+B

-------j^=2sin坦cos^

A+B22

COb2

整理求得cos(A+B)=0

.,.A+B=90°.

.•・tanA・cotB=tanA”anA不一定等于1,①不正确.

sinA+sinB=sinA+cosA=V2sin(A+45°)

45°<A+45°<135°,

返Vsin（A+45。）<1,

2_

1<sinA+sinB<V2>

所以②正确

cos2A+cos-B=cos2A+sin2A=l.

sin2C=sin2900=l,

所以cos2A+cos2B=sin2C.

所以④正确.

sin2A+cos2B=sin~A+sin2A=2sin2A=l不•定成立，故③不正确.

综上知②④正确

故选B.

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力.

4.(1999•广东)若sina〉tanCl〉cota(--<Q<—)，则a€(

A.(子,喘)B.(一全o)C.(°,?D.

考点:弦切互化；任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用.

专题:计算题；压轴题.

分析:先根据sina>出口_,整理求得sina<0,判断出a的范围，进而根据tana>cota转化成正弦和余弦，可推

cosa

断典L>-1,进而根据正切函数的单调性求得a的范围，最后综合答案可得.

cosa

解答:解：Vsina>sinCI-,-2L<a<2L

cosa22

cosasina-sina>0,即sina(cosa-1)>0

Vcosa-l<0

TT

sina<0,--<a<0

2

*.*tana>cota

・sinCI>cosQ-

cosasina

JT

V--<a<0

2

.•.sina>_]

cosCI

即tana>-1

.、兀

..a>一-

4

综合得-_2L<a<0

4

故选B

点评:本题主要考查了弦切互化的问题.解题的关键是通过弦切的互化找的解决问题的突破口.

5.已知sinS+cose」，0G(―,n),则tan。的值是()

52

A.4B.3C.4D.3

3434

考点：三角函数的恒等变换及化简求值.

专题：计算题；压轴题.

分析：利用万能公式把tan2代入题设等式，求得tan■生的值，进而利用正切的二倍角公式求得答案.

22

解答：a1_2

解：设tanix(x>0),则-解出X=2,

21+x21+x25

・・,tan6=乙2xc4

1-X23

故选A；

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.考查了考生对三角函数基础公式的熟练应用.

6.若a是锐角，且满足sin(a-—)」，则cosa的值为()

63

A.2V6+1B.2^6-1C.2V3+1D.2V3-1

-6-6~~4-4~

考点:两角和与差的余弦函数.

专题:计算题；压轴题.

分析:先根据a是锐角，且满足sin(a-—)」求出cos(a)的值，再由

636

cosa=cos[(a-尚)哼]根据两角和与差的余弦公式得到最后答案.

解答:解：山a是锐角，且sin(a-—)J可得cos(a)匚选，

6363

-穴_2氓-1

cosa=cos[(a.--i^-]=cos(a-cos-^-sin(a-sin-

66666~66~

故选B.

点评:本题主要考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系.

7.在Rt^ABC中，ZC=90",那么sinAcos?(45°-0)-sinAos^()

222

A，有最大值工和最小值为0B，有最大值工，但无最小值

44

C.既无最大值，也无最小值D-有最大工，但无最小值

2

考点：二倍角的正弦.

专题：计算题；压轴题.

分析：先根据二倍角公式将sinAcos?(45。-»)-sin良。色化简，然后再由RtZsABC中，/C=90。，确定A的范

222

围，进而根据正弦函数的性质可得到答案.

解答：布汉••・卜2'AA

W：•smAcos(45-—)-sm—cos-=-

222

.l+cos(90°-B)1..l+sinB1.

=sinAA-------------------------------sinA=sinAA--sinAA

2222

_sinAcosA_sin2A

~24~

VRtAABC中，ZC=90°0°<A<90°0°<2A<180°

...期四有最大值工但无最小值

44

故选B.

点评：本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质.考查基础知识的综合应用.

8.若a,b,c是AABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x?+y2=l相离，则AABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

考点：三角形的形状判断；直线与圆的位置关系.

专题：计算题；压轴题.

分析：先根据ax+by+c=0与圆x2+y2=l相离，可得到圆心到直线ax+by+c=0的距离大于半径1,进而可得到

II2,,2.2

•/叵L->1,即c2>a?+b2,可得到cosC=£-^———<0.从而可判断角C为钝角，故三角形的形状

序港2ab

可判定.

解答：

解：由已知得，d=I—~——>1，

2,,2_2

.2、2,.2.ca+bC/n

♦.c>a+b，•«cosC----------------<0，

2ab

故4ABC是钝角三角形.

故选C.

点评：本题主要考查三角形形状的判定、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.考查基础知识的综合运用.

((a)b)(a(<b)

9.(2011•安徽模拟)对Va,beR,运算"⑥"、定义为：a@b=Jaa㊉b二，，a、、，则下列各

[b(a<b)[b(a>b)

式中恒成立的是()

①(sinx®cosx)+(sinx®cosx)=sinx+cosx,

②(2、(g)x2)-(2x®x2)=2X-x2,

③(sinx®cosx)•(sinx®cosx)=sinx・cosx,

④(2x®x2)-(2x0x2)=2X-x2.

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

考点：三角函数中的恒等变换应用；有理数指数塞的运算性质.

专题：压轴题；新定义.

分析：结合新定义，验算①②③④，即可判断正确选项.

解答：解：由题意可知:①(sinx®cosx)+(sinx®cosx)=sinx+cosx.③(sinx®cosx)•(sinx®cosx)=sinx*cosx,

加法与乘法满足交换律，正确；

②(2、(g)x2)-(2x®x2)=2X-x2,@(2x®x2)-(2、g)x2)=2、-x2不恒成立，

故选C.

点评：本题是基础题，考查新定义的应用，考查发现问题解决问题的能力，常考题型.

x」+cosx+x-2—0

10.(2012•绵阳二模)若实数x,y满足方程组｛则cos(x+2y)=()

8y~~2cos^y+2y+3=0

A.0B.1C.j.D.1

32

考点：两角和与差的余弦函数.

专题：计算题；压轴题.

分析：将方程组中的第二个方程第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后设t=-2y,变形后与第一个方程

完全相同，可得出t=x,进而得到x与y的关系式x=-2y,即x+2y=0,代入所求的式子中，利用特殊角的

三角函数值化简即可求出值.

3

解答：(x+COsx+x-2=00

解：｛,

8y-2cos^y+2y+3=0(2)

山②化简得：8y3-(l+cos2y)+2y+3=0,

整理得：-8y3+cos2y-2y-2=0,即(-2y)3+cos(-2y)+(-2y)-2=0,

设t=-2y,则有t3-cost+t-2=0,

与方程①对比得：t=x,即x=-2y,

/.x+2y=0,

则cos(x+2y)=1.

故选D

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了换元的思想，灵活变换第二个方程

是解本题的关键.

11.下列条件中，^ABC是锐角三角形的是()

A..AA1B•»'—►

smA+cosA=-AB«BC>0

5

C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,c=3\fs<B=30°

考点：三角函数值的符号.

专题：证明题；压轴题.

分析：将各个选项中的条件进行等价转化，结合三角函数在各个象限的符号，考查三角形是否为锐角三角形.

解答：解：由sinA+cosA」，得2sinAcosA=-&<0,；.A为钝角，故选项A不满足条件.

525

由标•前>0,得以•前<0,.•.cosvEl前><0.；.B为钝角，故选项B不满足条件.

山tanA+tanB+tanC>0,得tan(A+B)•(1-tanAtanB)+tanC>0.

即tanC[-(1-tanAtanB)+l]>0,BPtanAtanBtanOO,

故有A、B、C都为锐角，故选项C满足条件.

由b-c,得sincH3,.•(上或空，故选项D不满足条件.

sinBsinC233

点评：锐角的三角函数都是正数；钝角的余弦和正切是负数，只有正弦是正数；体现了转化的数学思想.

12.函数f(x)=亚呼+cosx(0<x<n)的最大值为()

sinx+^/1-sinx

A.1B.&C.V3D.2

考点：三角函数的化简求值.

专题:综合题；压轴题.

分析:要使f(x)=/耳上萼=(0<x<n)取得最大值，由于分母为正，则需分子最大，分母最小即可.

sinx+^/1-sinx

解答:解：要使f(x)n浮］,竺L(0<x<n)取得最大值，由于分母为正，则需分子最大，分母最小即可

sinx+^/1-sinx

令y=>/^sinx+cosx,贝Uy'=\/^cosx-sinx,当y'>0时，为增函数，tanx<2,(0<x<n),即sinxV近,

cosx

3

>2上或sinx>0,cosx<0；当tanx>J，时，为减函数；当sinx」后，(△后时，y=J，sinx+cosx有最

cosx—

333

大值=7^；x=0,■和x=n时有极值1,和-1,则y=J^sinx+cosx的值域[-1,V3].

令尸sinx+=l-sinx，41-sinx=t，

.12A

二厂-V+t+k-(t-^)+］

•..(E区1,../=()或1时，函数取得最小值1,函数的值域为“，3.

4

当sinxHIcosxU后时，分子取料，分母取不到1,所以排除C,D.

33

t=0时，sinx=l,cosx=0,分子V^sinx+cosx取得最大值为f(x)=J^si/x+co：x(Q<X<H)取得

sinx+^/1-sinx

最大值后；

t=l时;sinx=0,cosx=l,分子J^sinx+cosx取得最大值为Lf(x)='，2=i】：+—］、=(O<X<R)取得最

sinx+^/1-sinx

大值1;

综上知，f(x)=植驾上萼=(0<x<n)的最大值为我.

sinx+A/1-sinx

点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，考查二次函数的最值，属于中档题.

13.已知AABC,若对任意k€R,有I箴+k连巨|菽|，则4ABC一定是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

考点：三角形的形状判断.

专题：计算题；压轴题.

分析：一一

图中BC'的长度就是IBA+kCBI，要使不等式成立，则IACI必须是BC'的最小值，即AC垂直BC,故角C

为直角.

解答•—

解：当k为任意实数时，那么kCB的方向有可能向左，也可能向右.长度也是不确定的，

图中BC'的长度就是I就+k在I，可以看出，当BC'垂直CB时，I箴+k连I有最小值，要使不等式成立，

则IACI必须是BC'的最小值，即AC垂直BC,故角C为直角，

故选A.

c

点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断三角形的形状的方法，判断IACI必须是BC'的

最小值，是

解题的关键.

14.已知。为aABC内一点，若对任意k6R有1位+(k-1)而-kiSzliX-iG，则AABC一定是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

考点：三角形的形状判断.

专题：计算题；压轴题.

分析：根据题意画出图形，在边BC上任取一点E,连接AE,根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k

逐前，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角

三角形.

解答：解：从几何图形考虑：

IBA-k前以以I的几何意义表示：在BC上任取一点E,可得kBC=BE，

AIBA-kBCI=IBA-BEHIEAI>ICAh

又点E不论在任何位置都有不等式成立，

二由垂线段最短可得ACEC,即/C=90。，

则^ABC••定是直角三角形.

故选A

点评：本题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断出AC1BC

是解题的关键.

15.如果e是第二象限角，且满足coJ-siq=vr7而不，那么()

A.是第一象限角

B.是第三象限角

C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D.是第二象限角

考点：半角的三角函数.

专题：计算题：压轴题.

分析:先根据e的范围确定且的范围，再由cos-1-_sin-1"Rl—sinJ可确定cos-1■与sin-1"的大小关系,

2

进而确定且的象限.

2

解答:解：是第二象限角，工+2k兀＜8＜兀+2k兀二三k兀＜且＜工+1£兀&口）

2422

当k为偶数时，且在第一象限；当k为奇数时，且在第三象限；

22

..r——\.ee_7_ie_.8e_.e

fsin--sin

•A/1-sin©（sin--cos—）-|cos—~~THcos^~T

、乙乙乙乙乙乙

.e、.e

,•cos-^-^sin—

.•.且是第三象限角

2

故选B.

点评:本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系.属基础题.

16.计算cos20°sin50°sinl70°=（）

A.1B.1C.1D.1

36816

考点：二倍角的正弦.

专题：计算题：压轴题.

分析：先将三角函数式看成分母为1的分式，再分子、分母同乘以8sin20。，凑出连续的二倍角正弦公式，从而化

简三角函数式.

解答：健.cc。“c。cc。..8sin200cos200cos400cos800_sinl6ci01

峰.cos20cos40cos80-3~\＜•~o-"

8sin2A08sin2OuAo8

故答案为-1.

8

故选C.

点评：本题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式.解答关键是配个分母后逆用二倍角公式，属于基础题.

二.填空题（共14小题）

17.（2012•广东模拟）如图，点A,B,C是圆O上的点，且AB=2,BC=V6＞ZCAB=120°,则NAOB对应的

劣弧长为返冗.

-2-

考点：弧长公式.

专题：计算题；压轴题.

分析:利用正弦定理求出NACB的大小，然后再求NAOB,最后求出/AOB对应的劣弧长.

解答:

解：由正弦定理可知:ABBC2娓

sinZACB=sinZCAB(sinZACB=sinl200

sinZACB=^-？ZAOB=2LOB=V2

22

/AOB对应的劣弧长：返冗

_2

故答案为：返冗

2

点评：本题考查弧长公式，考查计算能力，是基础题.

18.(2012•道里区三模)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosB-bcosA=］c，当tan(A

-B)取最大值时，角C的值为二.

—2-

考点：两角和与差的正切函数；正弦定理的应用.

专题：压轴题；三角函数的求值.

分析：利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到

tanA=3tanB,利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A-B),将tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形,

求出tan(A-B)取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数.

解J•解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA」sinC」sin(A+B)」(sinAcosB+cosAsinB),

222

整理得：sinAcosB=3cosAsinB,

两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB,

则tan(A-B)叫2t0=———，

2

1+tanAtanBl+3tanB3tanB+^

tanB

,:A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，

:.A、B都是锐角，EPtanA>0,tanB>0,

.,.3tanB+-J—>273.当且仅当3tanB=~l—,即tanB。^时取等号，

tanBtanB3

/.tanA=3tanB=^/3»

:.A^2L,B-2L,

36

贝I」C』.

2

故答案为：2L

2

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及基本不

等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

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