双曲线课件 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质课标阐释思维脉络1.了解双曲线的范围、对称性、

顶点、渐近线、离心率等简单

几何性质.(数学抽象)2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.(数学运算)双曲线的几何性质范围对称性顶点渐近线离心率应用火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个

循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复

使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结构稳定，强度高，能够获得更大的容积.气流顺畅，对流冷却效果好，造

型美观.建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径，如何确定知识点拨这些数据?标准方程=1(a>0,b>0)a-=1(a>0,b>0)性

质图形焦点焦距范围或或X双曲线的几何性质知识点拨对称性对称轴：

;对称中心：

顶点A₁

A₁

轴实轴：线段

,长：;虚轴：线段

,长：;实半轴长：,虚半轴长：离心率e=渐近线知识点拨名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性曲线；双

曲线有两支，故在应用时要注意点在哪一支上；根据方程判断焦点

的位置时，注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定，那么其渐近线的方程是唯一的，但如果双曲线的渐近线确定，那么其对应的双曲线有无数条，具有共同渐近线的双曲线方程可设为

,当λ>0时，对应的双曲线焦点在x

轴上，当λ<0时，对应的双曲线焦点在y轴上.知识点拨3.因为

所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线开口的大小，离心率

越大，开口越开阔，离心率越小，开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，其渐近线方程为y=±x,

离心率等于

√2.知识点拨

知识点拨微练习已知双曲线的方程为9x²-y²=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.解：将

9x²-y²=81变形为由此可得a=3,b=9,∴c=3√

10.:y²≥0,.:1,即x≥3或

x≤-3.∴双曲线的范围为y∈

R,

x≥3或

x≤-3;实轴长为2a=6;

虚轴长为2b=18;顶点坐标为(±3,0);焦点坐标为(±3√

10,0);离心率渐近线方程为y=±3x.微拓展共渐近线的双曲线系方程可设为

2.共轭双曲线(1)定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.(2)共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有不同的离心率，离心率倒数的平方和为1.知识点拨出各个结果.解：双曲线的方程化为标准形式a²=9,b²=4,∴a=3,b=2,c=√

13.又双曲线的焦点在x轴上，.∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-

√13,0),(

√13,0),

实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率

渐近线方程为由双曲线的方程求几何性质例1求双曲线9y²-4x²=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.思路分析：将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a,b,c的值，再写探究二

探究三

素养形成

当堂检测解：双曲线的方程化为标准形式.

∴a=2,b=3,c=√

13.又双曲线的焦点在y

轴上，.∴顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-

√13),(0,

√13),

实轴长2a=4,虚轴长2b=6,离心率

渐近线方程为延伸探究若将方程9y²-4x²=-36改为9y²-4x²=36,其结果又将如何?探究二

探究三

素养形成

当堂检测,.a²=4,b²=9,反思感悟求双曲线的几何性质的基本思路1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a,b的对应值，利用c²=a²+b²得到c值，然后确

定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质.2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错.探究二

探究三

素养形成

当堂检测变式训练1(1)双曲线2x²-y²=-8)A.2B.2√2C.4

D.4√2(2)双曲

的渐近线方程是()解析：(1)双曲线方程可变形为

,所以a²=8,a=2√2,

故实轴长2a=4√2.(2)因为a²=4,b²=9,焦点在x

轴上，所以渐近线方程为答案：(1)D(2)C○A探究二

探究三

素养形成

当堂检测根据双曲线几何性质求其标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2:3,且经过点P(

√6,2);(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率,且经过点M(-3,2√3);(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.思路分析：对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程，根据条件求出参数a,b的值，即得方程；对于(3),焦点位置不确定，应分类讨论.探究二

探究三

素养形成

当堂检测解：(1)设双曲线方程为

∵双曲线过点P(√6,2)由题意得

解

故所求双曲线方程为(:e=²=a22²=1+a²=25,由题意得

解得··∴所求的双曲线方程为探究二

探究三

素养形成当堂检测(3)设双曲线方程为4x²-9y²=λ(λ≠0),即

当λ>0时

,双曲线方程为

当λ<0时

,双曲线方程为故所求双曲线方程为

探究二探究三

素养形成当堂检测由题意得a=3.反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x

轴上的双曲线的标准方程可设为②焦点在y

轴上的双曲线的标准方程可设为

③与双曲

共焦点的双曲线方程可设为

具有相同渐近线的双曲线方程可设为⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k²x²-y²=λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a²x²-b²y²=λ(λ≠0).探究二

探究三

素养形成

当堂检测变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的

√2倍，且一个顶点的

坐标为(0,2);(2)双曲线的渐近线方程为

且经过点A(2,-3).解：(1)由已知，双曲线焦点在y

轴上，设其方程

则2a+2b=2√2c,即a+b=√2c.又a=2,且a²+b²=c²,所以a=2,b=2,因此双曲线的标准方程为(2)由双曲线的渐近线方程为可设双曲线方程为因为A(2,-3)在双曲线上，所

即λ=-8,所求双曲线的标准方程为

探究

探究三素养形成

当堂检测双曲线的渐近线与离心率问题1.求双曲线的离心率或取值范围例

3(2019全国II,理

11)设F为双曲线(点，0为坐标原点，以OF

为直径的圆与圆

x²+y²=a²交于P,Q两点.若

IPQl=1OFI,则

C的离心率

为

(

)A.√2

B.√3

C.2

D.√5思路分析：利用双曲线和圆的性质，结合已知条件得到关于a,c的方程，进而求得双曲线的离心率.探究二

探究三

素养形成

当堂检测解析：如图，设PQ

与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.:1PQl=1OFl=c,:重又点P

在圆

x²+y²=a²上，.选A..∴PA为以OF

为直径的圆的半径，A为圆心，探究二

探究三

素养形成

当堂检测,∴e=

√2,故答案：A、·艮

。,反思感悟求双曲线离心率及范围的常见方法1.求双曲线离心率的常见方法：(1)若可求得a,c,则直接利用得解；(2)若已知a,b,或得到a,b的关系式，可利用

解；(3)若得到的是关于a,c的齐次方程，则方程两边同除以a的最高次幂，转化为关于e

的方程求解.2.求离心率范围的技巧：(1)根据条件建立a,b,c的不等式，类似于求离心率的方法转化求解；(2)通过解不等式得或二的范围，求得离心率的范围.C

a探究二

探究三

素养形成

当堂检测变式训练3实轴长为2的双曲线不同的点Pi(i=1,2,3,4)满足IPiBI=2IPiAl,其中A,B分别是双曲线

x²-y²=1的左、右顶点.则C

的离心率的取值范围为()探究二

探究三

素养形成

当堂检测解析：依题意可得a=1,A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则由IPBI=2IPAl,因为双曲线C上恰有4个不同的点P;(i=1,2,3,4)满足IP;BI=2IPiAl,有两不等实根，解得

所以方所以只需则探究三

素养形成

当堂检测探究二答案：A由2.双曲线的渐近线与离心率的综合例4(2019全国I,

文10)双曲线

的一条渐近线

的倾斜角为130°,则C的离心率为(

)A.2sin40°B.2cos

40°思路分析：根据题意用表示题中双曲线的渐近线的斜率，再利用行化简.探究二

探究三

素养形成

当堂检测解

析：由已知可则探究二

探究三

素养形成

当堂检测故

选D.答案：D反思感悟双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐

近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在

x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.素养形成

当堂检测探究二

探究三变式训练4已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于

√5,则其渐近线方程为

解析：依题意得

,2

解

若双曲线焦点在x

轴上，则其渐近线方程为

若双曲线焦点在y轴上，则其渐近线方程为

探究三

素养形成

当堂检测答案：

或探究二直线与双曲线的位置关系典例已知双曲线C:x²-y²=1及直线l:y=kx-1,(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点，0是坐标原点，且△AOB的面积为

√2,求实数k的值.思路分析：直线方程与双曲线方程联立方程组→判断“△”与“0”的关系→直线与双曲线的位置关系.探究二

探究三

素养形成

当堂检测解：(1)联立方程组消去y

并整理，得(1-k²)x²+2kx-2=0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则解得-

√2<k<

√2,且k≠±1.∴若直线l与双曲线C

有两个不同交点，实数k的取值范围为(-√2,-1)

U(-1,1)U(1,√2).探究二

探究三

素养形成

当堂检测又∵点O(0,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),对于(1)中的方程(1-k²)x²+2kx-2=0,

由根与系数的关系，得

即

2k⁴-3k²=0,解得k=0或∴实数k的

值

为

或0

.探究一

探究二

探究三

素养形成

当堂检测,

∴IABI=√1+k2lx₁-x₂I反思感悟直线与双曲线位置关系的判断方法1.方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax²+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考查方程的判别式.(1)4>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)△=0时，直线与双曲线只有一个公共点.(3)4<0时，直线与双曲线没有公共点.当a=0

时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.2.数形结合思想的应用(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.素养形成当堂检测探究二探究三延伸探究本例条件不变，若直线l与双曲线C

有一个交点，实数k的取值如何?解：当

1-k²=0时，即k=1

或

k=-1,

直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点；当1-k²≠0时，由△=0解得k=√2或k=-√2,此时直

线与双曲线相切，只有一个交点.综上所述，当k=±1

或

k=±√2时，直

线与双曲线有一个交点.探究二

探究三

素养形成

当堂检测1.双曲

的左焦点与右顶点之间的距离等于(

)A.6B.8

C.9

D.10解

析：由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.答案：B探究二

探究三

素养形成

当堂检测2.中心在原点，焦点在x

轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，

一个焦点到一条渐近线的距离为

√

2,则双曲线方程为()A.x²-y²=1

B.x²-y²=2C.x²-y²=√2解析：由题意，设双曲线方程则c=√2a,