新教材同步备课2024春高中数学第9章统计9.2用样本估计总体9.2.4总体离散程度的估计教师用书新人教A版必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计学习任务1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(数学抽象、数据分析)2．理解离散程度参数的统计含义．(直观想象)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环．问题：若从二人中选一人去参与射击大赛，只用平均数能否作出选择？学问点方差、标准差1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为1ni＝1nx2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：假如总体中全部个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S2＝1Ni＝1N(2)总体方差的加权形式：假如总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1N3．样本方差和标准差假如一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝1ni＝1n4．标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s121．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变更，则标准差为0． ()(2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)． ()(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越分散． ()(4)一般状况下数据中绝大部分数据落在x-2s，(5)计算分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必需已知各层的权重． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为________；标准差为________．[答案]223．某班为了了解学生每周购买零食的支出状况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：性别学生数平均支出(元)方差男生9406女生6354则全班学生每周购买零食的平均费用为________；方差为________．[答案]3811.2类型1方差和标准差的性质与计算【例1】(1)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则()A．x＝4，s2<2 B．x＝4，s2>2C．x>4，s2<2 D．x>4，s2>2(2)若40个数据的平方和是56，平均数是22(1)A(2)0.931010[(1)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28，因为加入一个新数据4，所以x＝28+48＝4．又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差(2)由方差公式s2＝x1得s2＝x12+由已知得n＝40，∴s2＝5640-222＝0.9方差和标准差的计算技巧与性质(1)方差的计算①基本公式：s2＝1n[x1-x2②简化计算公式：s2＝1nx12(2)方差和标准差的性质若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关．[跟进训练]1．(1)(多选)下列四个选项中，正确的是()A．极差与方差都反映了数据的集中程度B．方差是没有单位的统计量C．标准差比较小时，数据比较分散D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍(2)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的方差为________．(1)AD(2)2[(1)设两个数据分别为x1，x2，则极差等于x2-x(2)由平均数为1可得a+解得a＝－1．所以样本的方差s2＝-1-1类型2方差和标准差的应用【例2】为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并支配在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂供应的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别供应的10个轮胎中全部标准轮胎宽度的方差的大小，依据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动状况，推断这两个工厂哪个工厂会被选择．[解](1)甲厂供应的10个轮胎宽度的平均数为110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝19乙厂供应的10个轮胎宽度的平均数为110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝19(2)甲厂供应的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为195+194+196+乙厂供应的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为195+方差为16×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝1由于甲、乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要探讨方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的状况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．[跟进训练]2．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)，则甲、乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是()甲80110120140150乙100120100120160A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．无法确定B[甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s甲2＝15×[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s乙2＝15×[(100－120)2＋(120－120)2＋(100－120)2＋(120－120)2所以s乙故选B.]类型3分层随机抽样的方差【例3】某市教化部门接受分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个学校选取了100名学生的某次考试数学成果(单位：分)，并制成如下表格：学校学生数平均数方差甲409810乙309212丙309515试估计这次考试数学成果的平均数与方差．[解]由题意可得，样本平均数x＝1100(40×98＋30×92＋30×95)＝95.3(分)，方差s2＝1100{40×[10＋(98－95.3)2]＋30×[12＋(92－95.3)2]＋30×[15＋(95－95.3)2]}＝18.3分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，xn，方差分别为s12，s22，…，sn2，相应的权重分别为w1，[跟进训练]3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差．[解]由题意可知x甲＝60，甲队队员在全部队员中所占权重为11+4＝15，x乙＝70，乙队队员在全部队员中所占权重为41+4＝45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x1．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是()项目甲乙丙丁x7887s26.36.378.7A.甲B．乙C．丙D．丁B[∵x乙＝x丙>2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是12，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5A．5，12B．5，2C．3，2D．3，B[因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是12，所以x＝3，15i＝15xi-32＝12，因此数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，23．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．(1)7(2)2[(1)x＝7(2)∵s2＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．4．在对某中学高一学生体重的调查中，实行按样本量比例支配的分层随机抽样，已知抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20．依据以上数据估计该校高一学生体重的总样本的平均数为________，方差为________．5141[总样本的平均数为3030+20×55+2030+20×45＝51，总样本的方差为回顾本节学问，自主完成以下问题：1．描述数据的离散程度的量有哪些？分别如何描述的？[提示]数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变更的最大幅度，它对一组数据中的极端值特别敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差．在平均数相同的状况下，方差(或标准差)越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性差；方差(或标准差)越小，数据越集中、越稳定．2．如何计算一组数据的方差或标准差？[提示](1)公式法：s2＝1n[x1-x2＋x2-(2)性质法：若x1，x2，…，xn的方差为s2，则mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差为m2s2．3．如何计算分层随机抽样的方差？[提示]计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)分层随机抽样中两组数据x，y的抽样比例是nm(2)总体均值为z＝(3)总体方差s2＝nn+m[sx2＋x课时分层作业(四十三)总体离散程度的估计一、选择题1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数B[平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数．平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．]2．(多选)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的是()A．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的平均数为3B．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的方差为3C．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为4D．2x1＋2，2x2＋2，2x3＋2，2x4＋2，2x5＋2的方差为8AD[将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变，故其平均数是3，方差是2，故A正确，B错误；将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C错误；将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D正确．故选AD.]3．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1B[比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对匀整，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2．]4．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成果统计如下表：班级人数平均数方差甲20x2乙30x3其中x甲A．3B．2C．2.6D．2.5C[由题意可知两个班的数学成果的平均数为x＝x甲＝x乙，则两个班数学成果的方差为s2＝20205．某选手的9个得分分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨别，以x表示．若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为()A．1169B．367B[由题意知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4．故s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝36二、填空题6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．91[由平均数是10，得x＋y＝20．①由方差是4，得x2＋y2＝218．②①2－②得2xy＝182，∴xy＝91．]7．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________．2[由题意知x＝所以s＝1＝1＝200-160108．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的全部员工的平均体重为60kg，标准差为60，男员工的平均体重为70kg，标准差为50，女员工的平均体重为50kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.200[设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知s2＝ω男[s男2＋x男-x2]＋ω女[s女2＋x女-x2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得三、解答题9．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成果(单位：分)如下：甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85．(1)试分别计算两组数据的极差、方差；(2)哪一组的成果较稳定？[解](1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，平均数为x甲方差为s甲2＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，平均数为x乙＝1方差为s乙2(2)由于乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成果较稳定．从(1)中得到的极差也可看出乙组的成果比较稳定．10．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是()A．40.6，1.1 B．48.8，4.4C．81.2，44.4 D．78.8，75.6A[法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以2x1-所以2x1+即x1+1n[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4即1n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4所以14n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝14×4.4法二：设原数据的平均数为x，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x－80，方差为22s2由题意得2x－80＝1.2，22s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1．]11．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sA．xA>xB，sA>B．xA<xB，sA>C．xA>xB，sA<D．xA<xB，sA<B[由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，所以xAxB明显xA<x又由图形可知，B组数据的分布比A组的匀整，变更幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.]12．(多选)已知样本x1，x2，…，xl的平均数为x，方差为s12，样本y1，y2，…，ym的平均数为y，方差为s22，样本z1，z2，…，zn的平均数为z，方差为s32，设样本x1，x2，…，xl，y1，y2，…A．ωB．ωCD．s2＝1l+m+n{l[s12＋xACD[依题意，x1＋x2＋…＋xl＝l·x，y1+y[[i＝[＝1l+m+n{l[s13．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图如图，则这500件产品质量指标值的样本方差s2＝________(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．110[由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为(100×0.010＋110×0.020＋120×0.035＋130×0.030＋140×0.005)×10＝120，∴样本方差s2＝[(100－120)2×0.010＋(110－120)2×0.020＋(120－120)2×0.035＋(130－120)2×0.030＋(140－120)2×0.005]×10＝110．]14．(2024·全国乙卷)某厂研制了