浙教版八年级数学下册(培优特训)专项2.3一元二次方程的实际应用(5大类型)(原卷版+解析)

（培优特训）专项2.3一元二次方程的实际应用（5大类型）类型一：变化率问题1.（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．24.9（1+2x）＝30.3 B．24.9×2（1+x）＝30.3 C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3 D．24.9（1+x）2＝30.32.（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（）A．4000（1+x）2=15000B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000D．4000+4000（1+x）2=150003.（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程正确的是（）A．250(1+x)2=900C．250(1+x)+250(1+x)2=9003.（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由类型二：传染、分裂问题4.（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程（）A．（1+x）2＝121 B．（1﹣x）2＝121 C．x+x（1+x）＝121 D．1+x+（1+x）2＝1215.（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．8 B．7 C．6 D．56.（2022•和平区一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝917.（2022春•新昌县期末）请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？类型三：握手、比赛问题8.（2022春•广饶县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝669.（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．810.（2022•鸡冠区校级一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（）A．40人 B．42人 C．44人 D．45人类型四：销售利润问题11.（2022春•金东区期末）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？12.（2022春•泰州期末）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？13.（2022春•新泰市期末）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，（1）这种商品的售价应定为多少？（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？14.（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？类型五：几何面积问题15.（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．（1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长；（2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？16.用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为A．x(30−x)C．x(60+x)17.（2022春•蚌埠期末）如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．18.（2022春•槐荫区期末）如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．（1）求小路的宽度；（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．类型六：动点与几何问题19.（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s20.（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．21.（2022春•肥东县期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？22.（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？（培优特训）专项2.3一元二次方程的实际应用（5大类型）类型一：变化率问题1.（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．24.9（1+2x）＝30.3 B．24.9×2（1+x）＝30.3 C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3 D．24.9（1+x）2＝30.3【答案】D【解答】解：依题意得：24.9（1+x）2＝30.3．故选：D．2.（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（）A．4000（1+x）2=15000B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000D．4000+4000（1+x）2=15000【答案】C【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．故答案为：C3.（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程正确的是（）A．250(1+x)2=900C．250(1+x)+250(1+x)2=900【答案】D【解答】解：根据题意列方程得：250+250(1+x)+250(1+x)故答案为：D．3.（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由【解答】解：（1）设进馆人次的月增长率为x，依题意得：128（1+x）2＝288，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：进馆人次的月平均增长率50%．（2）学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：∵进馆人次的月平均增长率50%，∴第四个月的进馆人次为288×（1+50%）＝432（人次）．∵432＞400，∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．类型二：传染、分裂问题4.（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程（）A．（1+x）2＝121 B．（1﹣x）2＝121 C．x+x（1+x）＝121 D．1+x+（1+x）2＝121【答案】A【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数是：1+x，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，1+x+x（1+x）＝121．即：（1+x）2＝121，故选A．5.（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：1+x+x2＝57，整理得：x2+x﹣56＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去），∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．故选：B．6.（2022•和平区一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【答案】C【解答】解：由题意可得，1+x+x•x＝1+x+x2＝91．故选：C7.（2022春•新昌县期末）请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据题意，可得（1+x）2＝121，解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；（2）根据题意，121×10＝1210（名），答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．类型三：握手、比赛问题8.（2022春•广饶县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66【答案】A【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝66．故选：A．9.（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解答】解：设八年级共有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7，∴八年级共有7个班．故选：C．10.（2022•鸡冠区校级一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（）A．40人 B．42人 C．44人 D．45人【答案】D【解答】解：设这个班级共有学生x人，则每个学生需赠出（x﹣1）件礼物，依题意得：x（x﹣1）＝1980，解得：x1＝45，x2＝﹣44（不合题意，舍去），∴这个班级共有学生45人．故选：D．类型四：销售利润问题11.（2022春•金东区期末）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？【解答】解：设销售单价应降低x元，根据题意，得（25﹣15﹣x）（80+）＝1280，解得x1＝2或x2＝6，答：销售单价应降低2元或6元．12.（2022春•泰州期末）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．13.（2022春•新泰市期末）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，（1）这种商品的售价应定为多少？（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？【解答】解：（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得，（40+x﹣30）（600﹣10x）＝12000，解得，x1＝20，x2＝30，40+20＝60，40+30＝70，答：这种商品的售价应定为60元或70元；（2）600﹣20×10＝400，600﹣30×10＝300，答：这时商家每月能售出该香椿商品400件或300件．14.（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．（2）依题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．又∵要让利消费者，∴x＝25．答：销售价应定为每千克25元．类型五：几何面积问题15.（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．（1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长；（2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是m，依题意得：x•＝200，整理得：x2﹣40x+400＝0，解得：x1＝x2＝20，∵20＜25，∴鸡场的面积能达到200m2，此时与墙平行的边的长是20m．（2）鸡场的面积不能达到210m2，理由如下：设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是m，依题意得：y•＝210，整理得：y2﹣40y+420＝0．∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×420＝﹣80＜0，∴该方程没有实数根，即鸡场的面积不能达到210m2．16.用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为A．x(30−x)C．x(60+x)【答案】A【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为602根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x故答案为：A．17.（2022春•蚌埠期末）如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．【解答】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则矩形花园AB的长为（60﹣x+2）米，依题意得：（60﹣x+2）x＝300，整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．（2）不能，理由如下：设矩形花园BC的长为y米，则矩形花园AB的长为（60﹣y+2）米，依题意得：（60﹣y+2）y＝500，整理得：y2﹣62y+1000＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣62）2﹣4×1×1000＝﹣156＜0，∴该方程无实数根，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．18.（2022春•槐荫区期末）如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．（1）求小路的宽度；（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．【解答】解：（1）设小路的宽为x米，根据题意，得（50﹣x）（30﹣x）＝924，解得x＝8或x＝72（不合题意，舍去），答：小路的宽为8米；（2）200×（50×30﹣924）＝115200（元），答：修建两条小路的总费用为115200元．类型六：动点与几何问题19.（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，整