高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)4.2.1等差数列的概念(原卷版+解析)

4．2．1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一：等差数列的判断题型二：等差数列的通项公式及其应用题型三：等差数列的证明题型四：等差中项及应用题型五：等差数列的实际应用题型六：的应用题型七：等差数列性质的应用题型八：等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．知识点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【典型例题】题型一：等差数列的判断例1．(2023·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列例2．(2023·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，例3．(2023·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．(2023·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式2．(2023·全国·高二课时练习）若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（

）A．数列是公差为d的等差数列B．数列是公差为cd的等差数列C．数列是首项为c的等差数列D．数列不是等差数列【方法技巧与总结】对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．题型二：等差数列的通项公式及其应用例4．(2023·全国·高二专题练习）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（

）A．15 B．16 C．17 D．18例5．(2023·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列满足：，且，则________例6．(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________．变式3．(2023·全国·高二课时练习）数列满足，且，则它的通项公式______．变式4．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，则的通项公式______．变式5．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．变式6．(2023·陕西省洛南中学高二期中（文））在等差数列中，，，则数列的公差______.变式7．(2023·江苏盐城·高二期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．题型三：等差数列的证明例7．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断数列是否为等差数列？并证明你的结论．例8．(2023·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；例9．(2023·福建·三明一中高二期中）（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.变式8．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，且．(1)求，；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式．【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）定义法或数列是等差数列．（2）等差中项法数列为等差数列．（3）通项公式法数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．题型四：等差中项及应用例10．(2023·海南省洋浦中学高二期中）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.例11．(2023·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．例12．(2023·全国·高二课时练习）与的等差中项是______．变式9．(2023·上海·高二专题练习）若b是2，8的等差中项，则______；变式10．(2023·甘肃·秦安县第一中学高二期中）已知A为a+5和a+11的等差中项，则A=___________.变式11．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则a、b的等差中项是________.【方法技巧与总结】若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．题型五：等差数列的实际应用例13．(2023·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，则数列的第10项是数列的第______项.例14．(2023·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺例15．(2023·北京丰台·高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺变式12．(2023·全国·高二专题练习）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（

）A．505 B．404 C．303 D．202变式13．(2023·全国·高二课时练习）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．题型六：的应用例16．(2023·全国·高二单元测试）（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，，，求.例17．(2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知求及.例18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.（1）若，，求的值；（2）若，，求公差.变式14．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中：(1)已知，求首项与公差d；(2)已知，求．【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令，即变为，可以减少记忆负担．题型七：等差数列性质的应用例19．(2023·上海·高二专题练习）等差数列中，，，则＝__.例20．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．例21．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．变式15．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．变式16．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）在等差数列中，，，，则该数列公差______．【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．题型八：等差数列中对称设项法的应用例22．(2023·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.例23．(2023·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数.例24．(2023·宁夏·平罗中学高二阶段练习）四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数.变式17．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【同步练习】一、单选题1．(2023·陕西西安·高二期中）在等差数列中，，，公差，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．(2023·河南·鹤壁高中高二阶段练习）设数列都是等差数列，，则（

）A．4034 B．4036 C．4038 D．40403．(2023·河南安阳·高二期中）已知等差数列中，，，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·广东·深圳中学高二期中）在递增的等差数列中，己知与是方程的两个根，则（

）A．19 B．20 C．21 D．225．(2023·福建龙岩·高二期中）甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（

）窗口12过道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，406．(2023·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（

）A．2 B．3 C．4 D．67．(2023·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列中，记，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项8．(2023·上海财经大学附属北郊高级中学高二期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．20240二、多选题9．(2023·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（

）A．公差d的取值范围是 B．C． D．的最小值为110．(2023·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列的通项公式为，则（

）A． B．是该数列中的项C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列11．(2023·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（

）A． B．C． D．中的第506项是中的第2022项12．(2023·山东青岛·高二期中）已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（

）A．B．对任意，恒成立C．不存在正整数，，使，，成等差数列D．数列为等差数列三、填空题13．(2023·上海·高二期中）已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为__14．(2023·陕西延安·高二期中（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为________.15．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．16．(2023·山东省青岛第十七中学高二期中）如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为______（用具体数字作答）.四、解答题17．(2023·山东省青岛第十七中学高二期中）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求证：数列是等差数列.(2)求.18．(2023·上海·高二期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．(1)求此数列的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．19．(2023·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知等差数列中．(1)求数列的通项公式；(2)若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．20．(2023·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)判断96是不是数列中的项？21．(2023·陕西省洛南中学高二期中（文））在数列中，，点在直线上，，数列的前项和.(1)求；(2)是否存在整数（），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值所构成的集合；若不存在，请说明理由.4．2．1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一：等差数列的判断题型二：等差数列的通项公式及其应用题型三：等差数列的证明题型四：等差中项及应用题型五：等差数列的实际应用题型六：的应用题型七：等差数列性质的应用题型八：等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．知识点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【典型例题】题型一：等差数列的判断例1．(2023·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列答案：C【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.故选：C.例2．(2023·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，答案：B【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，故选：B例3．(2023·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，故选：C．变式1．(2023·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C【解析】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故③正确.故选：C变式2．(2023·全国·高二课时练习）若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（

）A．数列是公差为d的等差数列B．数列是公差为cd的等差数列C．数列是首项为c的等差数列D．数列不是等差数列答案：B【解析】由题意可知，所以数列是以cd为公差的等差数列，故选:B．【方法技巧与总结】对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．题型二：等差数列的通项公式及其应用例4．(2023·全国·高二专题练习）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（

）A．15 B．16 C．17 D．18答案：B【解析】等差数列2，6，10，…，190，公差为，等差数列2，8，14，…，200，公差为，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为，首项为，所以通项为，所以，解得，而，所以的最大值为，即新数列的项数为.故选：B.例5．(2023·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列满足：，且，则________答案：【解析】因为数列满足：，且，所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以.故答案为：.例6．(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________．答案：【解析】由可得，所以是公差为2的等差数列，因为的首项为，所以，故数列的通项公式为故答案为：变式3．(2023·全国·高二课时练习）数列满足，且，则它的通项公式______．答案：【解析】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为.故答案为：变式4．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，则的通项公式______．答案：【解析】设数列的公差为d，由题意得：，解得：，所以.故答案为：变式5．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．答案：【解析】因为，所以，所以是首项为2，公差为的等差数列，即，则，故答案为：变式6．(2023·陕西省洛南中学高二期中（文））在等差数列中，，，则数列的公差______.答案：2【解析】由题意得，解得，故答案为：2变式7．(2023·江苏盐城·高二期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.答案：，【解析】设数列的公差为由题意可知，，，于是因为，所以，所以所以故答案为：，【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．题型三：等差数列的证明例7．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断数列是否为等差数列？并证明你的结论．【解析】数列是等差数列，证明如下：令，因为所以．所以，则，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列．例8．(2023·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；【解析】证明：，，，则，即，解得，所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.例9．(2023·福建·三明一中高二期中）（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.【解析】（1）由且数列递增，得.设数列的公差为，所以，解得，所以；（2）证明：因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.变式8．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，且．(1)求，；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式．【解析】（1）由题设，，.（2）证明：因为，所以，即，所以数列是首项，公差的等差数列．（3）由（2）得：，所以．【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）定义法或数列是等差数列．（2）等差中项法数列为等差数列．（3）通项公式法数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．题型四：等差中项及应用例10．(2023·海南省洋浦中学高二期中）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.答案：8【解析】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，又，，故，解得，故，故与的等差中项为.故答案为：8例11．(2023·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．答案：3【解析】由题设，，可得，所以，故m和n的等差中项是3.故答案为：3例12．(2023·全国·高二课时练习）与的等差中项是______．答案：【解析】设与的等差中项是，则故答案为：变式9．(2023·上海·高二专题练习）若b是2，8的等差中项，则______；答案：【解析】由题意，若b是2，8的等差中项，则故答案为：变式10．(2023·甘肃·秦安县第一中学高二期中）已知A为a+5和a+11的等差中项，则A=___________.答案：【解析】因A为a+5和a+11的等差中项，于是得，所以.故答案为：变式11．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则a、b的等差中项是________.答案：【解析】，，故答案为：.【方法技巧与总结】若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．题型五：等差数列的实际应用例13．(2023·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，则数列的第10项是数列的第______项.答案：28【解析】依题意，数列，的通项公式分别为，令，即有，则，因此，即，有，于是得数列的通项为，，由得：，所以数列的第10项是数列的第28项.故答案为：28例14．(2023·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺答案：D【解析】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺.故选：D例15．(2023·北京丰台·高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺答案：B【解析】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.变式12．(2023·全国·高二专题练习）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（

）A．505 B．404 C．303 D．202答案：A【解析】依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.变式13．(2023·全国·高二课时练习）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元答案：C【解析】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．题型六：的应用例16．(2023·全国·高二单元测试）（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，，，求.【解析】（1）等差数列的公差为，∵，，则解得，∴这个等差数列的首项，公差.（2）设等差数列的首项为，公差为d，则由题意得解得，故.例17．(2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知求及.【解析】因为数列是等差数列，故可得；又因为.故；.例18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.（1）若，，求的值；（2）若，，求公差.【解析】（1）由题意得，解得，故.所以.（2）由，得，∴.由，解得或，∴或.所以公差为3或.变式14．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中：(1)已知，求首项与公差d；(2)已知，求．【解析】(1)由题意得，解得(2)设等差数的公差为，则由题意得，所以【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令，即变为，可以减少记忆负担．题型七：等差数列性质的应用例19．(2023·上海·高二专题练习）等差数列中，，，则＝__.答案：38【解析】根据等差数列的性质：.故答案为:38.例20．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．答案：180【解析】由，故，所以，则.故答案为：例21．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．答案：【解析】因为是等差数列，且，所以，所以，所以，故答案为：变式15．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．答案：－82【解析】∵是公差为－2的等差数列，∴．故答案为：-82变式16．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）在等差数列中，，，，则该数列公差______．答案：【解析】由题，是等差数列，，，，结合，可解得，，故答案为：【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．题型八：等差数列中对称设项法的应用例22．(2023·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.【解析】（1）设这三个数依次为，，，由题意可得：，解得：，所以这三个数依次为，，.（2）设这四个数依次为，，，(公差为)，由题意可得，解得或(舍)，故所求的四个数依次为，，，.例23．(2023·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数.【解析】因为这四个数成等差数列，所以设这四个数为.由题意知，，解得.故这四个数为，或.注意

本例中，也可以设四个数为，然后代入已知条件求解，这是数列中常用的“基本量法”，但运算稍繁.本题解法运用“对称设法”，运算稍简单.一般地，若三个数构成等差数列，常设为；若五个数构成等差数列，常设为等.例24．(2023·宁夏·平罗中学高二阶段练习）四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数.【解析】设四个数为，，，，其中，，解得：，四个数为，，，.变式17．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．【解析】（1）设这四个数分别为，，，，则，又该数列是递增数列，所以，所以，，所以此等差数列为或．（2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，则，解得或．因为数列为递增数列，所以，所以等差数列的通项公式为．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【同步练习】一、单选题1．(2023·陕西西安·高二期中）在等差数列中，，，公差，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，可得，、且，故能被正整数整除，故当时，取最大值.故选：C.2．(2023·河南·鹤壁高中高二阶段练习）设数列都是等差数列，，则（

）A．4034 B．4036 C．4038 D．4040答案：B【解析】令，∵数列为等差数列，∴也是等差数列，不妨设其公差为．∵,∴，解得．∴．∴．故选：B3．(2023·河南安阳·高二期中）已知等差数列中，，，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以的公差为.故选：B.4．(2023·广东·深圳中学高二期中）在递增的等差数列中，己知与是方程的两个根，则（

）A．19 B．20 C．21 D．22答案：B【解析】与是方程的两个根，方程为则或，由于递增的等差数列中，所以，则公差所以.故选：B.5．(2023·福建龙岩·高二期中）甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（

）窗口12过道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，40答案：A【解析】左侧窗口的座位号可以构成以1为首项，5为公差的等差数列，其通项为，靠右侧窗口的座位号可以构成以5为首项，5为公差的等差数列，其通项为；左侧过道的座位号可以构成以2为首项，5为公差的等差数列，其通项为，右侧过道的座位号可以构成以3为首项，5为公差的等差数列，其通项为；则符合甲旅客要求的是，；符合甲旅客要求的是，；所以座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是21，28.故选：A.6．(2023·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（

）A．2 B．3 C．4 D．6答案：D【解析】由题意知，又是等差数列，所以.故选：D7．(2023·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列中，记，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项答案：C【解析】依题意可得公差，，所以当时，，当时，，因为，，，，，，又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项.故选：C8．(2023·上海财经大学附属北郊高级中学高二期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．20240答案：B【解析】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301，再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列，则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．故选：B．二、多选题9．(2023·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（

）A．公差d的取值范围是 B．C． D．的最小值为1答案：AB【解析】由题意得,,而，，解得，∴，故A正确；由，故B正确；由，可知，故C错误；由，所以有，当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.故选：AB10．(2023·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列的通项公式为，则（

）A． B．是该数列中的项C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列答案：AB【解析】因为，对于A，当时，，故A正确；对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增