高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)12求函数的解析式(原卷版+解析)

常考题型12求函数的解析式一、待定系数法求函数解析式已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.二、配凑法和换元法求函数解析式已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.三、解方程组法求函数解析式在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.四、分类讨论求函数解析式给定分段函数的图象求解析式时，要根据函数在各个区间上的函数类型，结合待定系数法求解，注意结果要写成分段函数的形式.探究一：已知求函数解析式已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式。【变式练习】1．已知且函数的图象过点，则a的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知，则有（

）A． B．C． D．探究二：求抽象函数解析式设函数满足，且对任意、都有，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：令得出，再令可得出，即可求出的值。【变式练习】1．已知满足，则等于（

）A． B．C． D．2．若对于定义域内的任意实数都有，则A． B． C． D．探究三：函数方程组法求函数解析式若对于任意实数x恒有，则＝（

）A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3思路分析：思路分析：以换，构造方程组即可解出的解析式。【变式练习】1．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（

）A． B．C． D．2．若函数满足，则（

）A． B． C． D．一、单选题1．已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．2．已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．3．已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．4．已知函数为一次函数，且，则（

）A． B． C． D．5．若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．36．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（）A． B． C． D．7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．3二、多选题9．若函数，则（

）A． B．C． D．10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用11．下列命题中，正确的有（

）A．函数与函数表示同一函数B．已知函数，若，则C．若函数，则D．若函数的定义域为，则函数的定义域为三、填空题12．函数满足，则________．13．若函数，则__________.14．若，则_____．15．已知函数，，，，则________.四、解答题16．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.17．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．18．已知函数.(1)求与，与；(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；(3)求的值．19．若二次函数满足，.(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)若在上恒成立，求m的取值范围.常考题型12求函数的解析式一、待定系数法求函数解析式已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.二、配凑法和换元法求函数解析式已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.三、解方程组法求函数解析式在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.四、分类讨论求函数解析式给定分段函数的图象求解析式时，要根据函数在各个区间上的函数类型，结合待定系数法求解，注意结果要写成分段函数的形式.探究一：已知求函数解析式已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式。【解析】因为，所以令，则，所以，所以，因为，所以，即，所以.故选：D.答案：D【变式练习】1．已知且函数的图象过点，则a的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】，，又函数的图象过点，所以，解得：.故选：C2．已知，则有（

）A． B．C． D．答案：B【解析】设，，则，，，所以函数的解析式为，．故选：B.探究二：求抽象函数解析式设函数满足，且对任意、都有，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：令得出，再令可得出，即可求出的值。【解析】对任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，.故选：A.答案：A【变式练习】1．已知满足，则等于（

）A． B．C． D．答案：D【解析】把①中的换成，得②由①②得.故选：D2．若对于定义域内的任意实数都有，则A． B． C． D．答案：D【解析】由题意可得：，解得：，故.故选D.探究三：函数方程组法求函数解析式若对于任意实数x恒有，则＝（

）A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3思路分析：思路分析：以换，构造方程组即可解出的解析式。【解析】解：对于任意实数x恒有①，②，由①、②解得：.故选:B.答案：B【变式练习】1．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（

）A． B．C． D．答案：B【解析】∵，①，∴，②①②联立方程组可解得（）．故选：B．2．若函数满足，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为函数满足---①所以---②联立①②，得，解得，∴故选：A一、单选题1．已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因为令，所以所以故选：C.2．已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】解：方法一（配凑法）∵，∴.方法二（换元法）令，则，∴，∴.故选：A3．已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D4．已知函数为一次函数，且，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设，则，解得，，．故选：A5．若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．3答案：B【解析】令（或），，，，.故选；B6．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（）A． B． C． D．答案：B【解析】令，则，可得，即，由题知，解得.故选：B7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：由题意得，，又，∴，.∵，∴，∴，故当时，取得最小值.综上，当时，的最小值是.故选:C.8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．3答案：D【解析】由任意的，均有，由带入可得：，所以所以，由为减函数，所以所以即由，所以，化简整理可得，所以或，由为减函数所以，故当时，，当且仅当时，等号成立.故选：D.二、多选题9．若函数，则（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用答案：ABC【解析】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.故选：ABC.11．下列命题中，正确的有（

）A．函数与函数表示同一函数B．已知函数，若，则C．若函数，则D．若函数的定义域为，则函数的定义域为答案：BC【解析】解：的定义域是，的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数，若，则所以，故B正确；若函数，则，故C正确；若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC三、填空题12．函数满足，则________．答案：【解析】由，得到，令，得，；故答案为：．13．若函数，则__________.答案：【解析】令，则，，函数的解析式为.故答案为：.14．若，则_____．答案：【解析】设，则所以，即，，.故答案为：15．已知函数，，，，则________.答案：【解析】解：因为函数，又，，，所以的根为，即方程的根为，所以，所以，所以，故答案为：四、解答题16．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.答案：(1)；(2)【解析】（1）选条件①.设，则.因为，所以，所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），所以，得.故.选条件②.设，则函数图像的对称轴为直线.由题意可得，解得.故.选条件③设.因为，所以.因为恒成立，所以，解得，故.（2）由（1）可知.因为，所以，所以.所以在上的值域为.17．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．答案：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因为，所以．（2）方法一

设，则，，即，所以，所以．方法二

因为，所以．（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替换中的x，得，由，解得．18．已知函数.(1)求与，与；(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；(3)求的值．答案：(1)，，，.(2)，证明见解析.(3).【解析】(1