重庆市2024-2025高三数学上学期开学学术水平考试试题

第1页/共1页重庆市2024-2025学年高三上学期开学调研考试数学试题（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）留意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上干脆作答.2.作答前细致阅读答题卡上的留意事项.3.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求出集合，然后依据交集、并集的定义求解即可．【详解】，所以，所以．故选：B．2.已知函数的定义域为，且对随意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.【详解】随意两个不相等的实数因为，所以与异号，故是上的减函数，原不等式等价于，解得，故选：B.3.已知随机变量，随机变量，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【分析】由求出，进而，由此求出.【详解】因为，，，所以，解得或（舍），由，则，所以.故选：C.4.如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天试验舱和梦天试验舱三个部分.假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展试验，其中天和核心舱支配4人，问天试验舱与梦天试验舱各支配1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的支配方案种数为（）A.14 B.18 C.30 D.36【答案】B【分析】先求出总的支配方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.【详解】将6名航天员支配在3个试验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为所以满意条件的方案数为种.故选:B.5.函数在上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】利用特别点即可通过计算数值的正负，结合图象即可解除.【详解】,此时可解除A,,此时可解除C,由于，所以，故解除D，故选：B6.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（）A. B.C. D.【答案】D【分析】构造函数，利用导数探讨单调性，比较函数值的大小.【详解】由，得．设函数，则，所以在上单调递减，从而，即，即．故选：D7.若，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.8.已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【分析】依据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称，所以有①，又②，所以函数关于直线对称，则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，所以，即，所以函数的周期为，则，所以，故选：A.【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，真命题是（）A.，使得B.C.幂函数在上为减函数，则m的值为D.，是的充分不必要条件【答案】CD【分析】由指数函数值域可知A是假命题；利用赋值法可知B是假命题，由幂函数性质可得满意题意，C为真命题；取特别值验证可知D是真命题.【详解】对于A，由指数函数值域可知，对于恒成立，所以A是假命题；对于B，取特别值，则，所以B是假命题；对于C，由幂函数性质可得，解得或；又在上为减函数，所以，即可得，即C为真命题；对于D，明显，能推出；而时，可使，此时推不出，，所以，是的充分不必要条件，即D是真命题；故选：CD10.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事务A，“从甲盒中取出的球是白球”为事务B，“从乙盒中取出的球是红球”为事务C，则（）A.A与B互斥 B.A与C独立 C. D.【答案】ACD【分析】A与B是互斥事务，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案.【详解】对选项A：A与B是互斥事务，正确；对选项B：，，，，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确.故选：ACD11.已知，则（）A.绽开式中二项式系数最大项为第1012项B.绽开式中全部项的系数和为1C.D.【答案】BCD【分析】依据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第1013项，A错误；利用赋值法可知绽开式中全部项的系数和为1，B正确；求出之后再利用赋值令可得，C正确；对等式两边求导再进行赋值计算可得D正确.【详解】对于A，由二项绽开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误；对于B，令，可得，即绽开式中全部项的系数和为1，可得B正确；对于C，令，可得，令，可得，所以，即C正确；对于D，将等式两边同时求导可得，，再令，可得，即D正确.故选：BCD12.德国闻名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“惊异的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）A.对随意，都有B.对随意，都存在，C.若，，则有D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形【答案】BC【分析】依据函数的定义以及解析式，逐项推断即可．【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当随意时，存在，则，故；当随意时，存在，则，故，故对随意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，依据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要等腰直角三角形，只可能为如下四种状况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标照旧为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1冲突，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1冲突，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标照旧为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0冲突，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1冲突，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D选项解题的关键是依据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种状况探讨求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则__________.【答案】【分析】依据分段函数解析式循环代入即可计算出结果.【详解】由函数解析式可得，易知，所以.故答案为：14.计算：__________.【答案】【分析】依据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果.【详解】易知原式故答案为：15.若函数在上单调递减，则a的取值范围__________.【答案】【分析】依据复合函数单调性以及对数函数、二次函数性质即可求得.【详解】利用复合函数单调性可知，函数在上单调递增，所以可得对称轴在区间的左侧，即，得；由对数函数定义域可得，即所以，即a的取值范围是.故答案为：16.已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为___________．【答案】【分析】将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即可.【详解】∵，∴，∵函数有两个极值点，，∴，又∵，∴，，∴，是，即的两个不相等的实数根.令，则．①当时，，在区间单调递减，且，②当时，，在区间单调递减，且，③当时，，在区间单调递增，且，∴在处取得微小值，的图象大致如下，∴若有两个不相等的实数根，，则，即，且，，令，则，且∵，∴，又∵，∴，∴，两边同时取对数，得，∴，下面求的取值范围，设，则，令，则，当时，，∴在上单调递减，∴当时，，∴当时，，在上单调递减，∴，即.又∵在区间上单调递减，，，∴，即.∴实数的取值范围为．【点睛】易错点睛：本题简洁仅当作有两个极值点求得的取值范围，而造成错解，须要再依据，结合所构造函数，转换成的范围，利用的范围再次求解.四、解答题（本题共6个小题，共70分）17.2024年6月5日神舟十四号搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星放射中心放射胜利，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中高校及以上学历480人，中学及以下学历520人，得到如下2×2列联表：不了解了解总计高校及以上38442480中学及以下6514520总计449561000（1）若中学及以下学历不了解的6人中，中学学历2人，中学以下学历4人，从中随意抽取2人，求2人都不是中学以下学历的概率；（2）若认为不了解与否与学历有关，则出错的概率是多少?附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83参考公式：，.【答案】（1）（2）低于【分析】（1）设出基本领件，依据古典概型的求解方法即可得出答案；（2）计算的值，与参考值进行比较即可得出结论.【小问1详解】记“2人都不是中学以下学历”为事务；则，故2人都不是中学以下学历的概率为【小问2详解】由表中数据可得，明显，参考附表中的数据可知出错的概率是低于.18.已知函数.（1）求的极值；（2）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）微小值为，无极大值（2）【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由极值定义可确定极值点并求得极值；（2）将问题转化为与有且仅有一个交点，作出的图象，接受数形结合的方式可求得结果.【小问1详解】的定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的微小值为，无极大值.【小问2详解】当时，恒成立，，由（1）可得图象如下图所示，只有一个实数解等价于与有且仅有一个交点，由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，实数的取值范围为.19.已知函数．（1）若的解集为，求a，b的值.（2）若，求解不等式.【答案】（1）（2）当时，的解集为；

当时，的解集为；当时，的解集为.【分析】（1）由已知得方程的两个实根分别为，2，且，干脆将根代入即可得出答案；（2）分类探讨结合判别式即可求解.【小问1详解】的解集为，方程的两个实根分别为，2，且，则，解得：.【小问2详解】中，当时，则，

化为，若时，即，解得，若时，即，无解，若时，即，解得；综上，当时，的解集为；

当时，的解集为；当时，的解集为.20.我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再渐渐减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要实行植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地削减处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的相识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类学问竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参与竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）由概率的乘法公式可得，再由二次函数学问可求解；（2）由二项分布可求解.【小问1详解】由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，又因为，所以.所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.【小问2详解】由（1）知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为，因为进入决赛的队伍数，所以；；；.所以，随机变量X的分布列为X0123P所以，.21.某公司为了解年研发资金投入量x（单位:亿元）对年销售额y（单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，经计算得如下数据:20667724604.20312502153.0814（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（ⅰ）依据分析及表中数据，建立y关于x的回来方程;（ⅱ）若下一年销售额y需达到90亿元，预料下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数，回来直中公式分别为;②参考数据：.【答案】（1）模