新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学生用书新人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学习任务驾驭用向量方法解决简洁的几何问题、力学问题等一些实际问题，体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(数学建模)物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力问题：(1)F能不能称为F1和F(2)它们之间有什么关系？学问点向量法解决平面几何问题的“三步曲”思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可依据向量加法的平行四边形法则来解决．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·BC＝0． ()(3)物理学中的功是一个向量． ()类型1向量在平面几何中的应用长度问题【例1】如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________共线问题【例2】(源自北师大版教材)如图，点O是▱ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12．求证：点E，[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________垂直问题【例3】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．[跟进训练]1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2平面对量在物理中的应用【例4】如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．(1)求|F1|，|F2|随角θ的变更而变更的状况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________用向量方法解决物理问题的四个步骤[跟进训练]2．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h．怎样支配航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()A．7 B．10C．14 D．702．某人在静水中游泳的速度为3km/h，水流的速度为1km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为()A．90° B．60°C．45° D．30°3．在四边形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为(A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC·AB＝5，则AC的长为________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？并说出其大体的求解思路．2．用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题的步骤大体有哪些？6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例[必备学问·情境导学探新知]学问点向量向量问题距离、夹角几何关系课前自主体验(1)√(2)×(3)×[关键实力·合作探究释疑难]例1解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，而|BD|＝|a－b|＝a＝1+4-2a·b所以5－2a·b＝4，所以a·b＝12又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝6，即AC＝6．例2证明：设AB＝m，AD＝n，由CEED＝AFFB＝12，知E，F所以FO＝FA+AO＝1＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋OE＝OC+CE＝12AC＋13CD＝12(m＋n)－13所以FO＝OE．又O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同始终线上．例3证明：法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12故AF⊥DE，即AF⊥DE．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE．跟进训练1．解：(1)设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB+BD＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-AB)＝2∴|AD|2＝AD2＝23a+13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×2∴AD＝3．(2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为AD与AC的夹角．∴cosθ＝AD·AC＝2＝23×∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．例4解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝Gcosθ，|F2|＝|G|tan当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都渐渐增大．(2)由|F1|＝Gcosθ，|F1|≤2|G|，得cosθ≥又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．跟进训练2．解：如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸．依据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE23÷23＝0.5(h)，sin∠EAD＝12∴∠EAD＝30°，∴船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．[学习效果·课堂评估夯基础]1．D[F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×12＝2．B[如图，OA表示水速，用OB表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC．因为tan∠AOC＝31＝3，所以∠AOC＝故选B．]3．D[由AB+CD＝0，得AB＝－CD＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又AC·BD＝04．2[因为BD＝AD-AB＝所以BD2＝12AC-AB2＝14AC所以|AC