高中数学竞赛知识拓展

高中数学竞赛知识拓展

高斯函数，又称为取整函数，常用的性质有：

x-l<冈Wx<[x]+1

[x+n]=n+[x]

{n+x}={x}(n^Z)

[x]+[y]W[x+y]W冈+[y]+l等

与函数有关的几个重要结论

结论1设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数

(1)若f(x)在R上为单调函数，则|f(xl)|<|f(x2)|<=>|xl|<|x2|

(2)若f(x)在R上为增函数,则|f(xl)|<f(x2)<=>|xl|<x2

(3)若f(x)在R上为减函数，则|f(xl)|<f(x2)<=>|xl|<-x2

结论2设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数

(1)若f(x)在[0,+8)上为增函数，则f(xl)<f(x2)<=>[xl|<|x为

(2)若f(x)在[0,+8)上为减函数，则f(xl)<f(x2)<=>|xl|>|x2|

奇、偶函数的概念可以推广：

定义1对于函数f(x”CR),若存在常数a,使得其函数定义域内任意一个x,都有f(a-x)=f(a+x)

或f(2a-x)=f(x)

则称f(x)为广义(1)型偶函数。显然，当a=0时，%x)为一般的偶函数。

对于函数f(xXxCR),若存在常数a,使得其函数定义域内任意一个x,都有f(a-x)=-f(a+x)或

f(2a-x)=-f(x)

则称f(x)为广义(1)型奇函数。显然，当a=0时，f(x)为一般的奇函数。

定义2对于函数f(xMxGR),若存在常数a,b,使得其函数定义域内任意一个X,都有

f(a-x)=f(b+x)

则称f(x)为广义(2)型偶函数。显然，当a=b时，f(x)为广义(1)型偶函数；当a=b=O时,

f(x)为一般的偶函数。

对于函数f(x)(x€R),若存在常数a,b,使得其函数定义域内任意一个x,都有f(a-x)=-f(b+x)

则称f(x)为广义(2)型奇函数。显然，当a=b时，f(x)为广义(1)型奇函数；当a=b=O时,

f(x)为一般的奇函数。

定义3对于函数f(x)(xGR),若存在常数a,b,m,n(m>0,n>0),使得其定义域内任意一个x,都

有f(a-mx)=f(b+nx)

则称f(x)为广义(3)型偶函数。显然，当m=n=l时，f(x)为广义(2)型偶函数；当a=b=O,

且m=n时，f(x)为一般的偶函数。

对于函数f(x)(xeR),若存在常数a,b,m,n(m>0,n>0),使得其定义域内任意一个x,都有

f(a-mx)=-f(b+nx)

则称f(x)为广义(3)型奇函数。显然，当m=n=l时，f(x)为广义(2)型奇函数；当a=b=O,

且m=n时，f(x)为一般的奇函数。

结论3设f(x)为定义在R上的广义(2)型偶函数

(1)若f(x)在[(a+b)/2,+8)上为增函数，则

f(xl)<f(x2)<=>|xl-(a+b)/21<|x2-(a+b)/21

(2)若f(x)在[(a+b)/2,+8)上为减函数,则

f(xl)<f(x2)<=>|xl-(a+b)/21>|x2-(a+b)/21

结论4设f(x)为定义在R上的广义(2)型奇函数

(1)若f(x)在R上为单调函数，则

|f(xl)|<|f(x2)|<=>|xl-(a+b)/21<|x2-(a+b)/21

(2)若f(x)在R上为增函数，则

|f(xl)|<f(x2)<=>|xl-(a+b)/2|<x2-(a+b)/2

(3)若f(x)在R上为减函数,则

|f(xl)|<f(x2)<=>|xl-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2

结论5设a,b是两个相异的实数，则

(1)当f(x)关于a,b均为广义(1)型偶函数时，f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期

(2)当f(x)关于a,b均为广义(1)型奇函数时，f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期

(1)当f(x)关于a,b,一个为广义(1)型奇函数，一个为广义(1)型偶函数时，*x)为周期

函数，且4|b-a|为其一个正周期

结论6设f(x)为定义在R上的函数，对任意x£R,恒有

(1)f(a-x)=f(b-x)(或f(a+x)=f(b+x))(aWb)成立，则f(x)为周期函数,且|b-a|为其一正周期

(2)f(a+x)=-f(b+x)(或f(a-x)=-f(b-x川aWb)成立,则f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一正周期

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)(aWO)成立，则f(x)为周期函数,且61al为其一正周期

结论7对于实数ai,bi,mi,ni(n=l,2),且mlm2=nln2,ml(a2-bl)Wnl(al-b2),若对于定义在R上

的函数f(x),且对于任意xdR,有

⑴f(ai-mix)=f(bi+nxD(i=l,2),则f(x)为周期函数，月」(a2-bl)+m2(b2-al)/n21为其一正周期

(2)f(ai-mix)=-f(bi+nxD(i=l,2),则f(x)为周期函数，且|(a2-bl)+nl(b2-al)/ml|为其一正周期

(3)f(al-mlx)=f(bl+nlx),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),WiJf(x)为周期函数，且2|(a2-bl)+nl(b2-al)/ml|

为其•正周期

结论8设T为非零常数，若对于函数定义域内的任意X,恒有f(x+T)=M[f(x)],其中M(x)满足

M[M(x)]=x,且M(x)Wx,则f(x)为周期函数，且2T为其一•个周期。

以上结论3〜8均由周期函数的定义即可推证

我们知道，对于奇函数，其图像关于原点(0,0)成中心对称；对于偶函数，其图像关于y

轴(x=0)成轴对称。一般地，我们有

结论9函数f(x)定义在R上，对于定义域内任意一实数X,都有

f(a+x)+f(b-x)=c

成立的充要条件是函数f(x)的图像关于点((a+b)/2,c/2)成中心对称。

结论10函数f(x)定义在R上，对于定义域内任一实数x,都有

f(a+x)-f(b-x)=0

成立的充要条件是函数f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2成轴对称。

※※第一讲函数练习※※

1.求函数y=x+J(x0-3x+2)的值域。［1,3/2)U［2,+8)

2.f(x)和g(x)的定义域都是R,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=l/(xA-x+l),那么f(x)/g(x)

的取值范围为？x>0时，f(x)/g(x)>2；x<0时,f(x)/g(x)W-2

3.(1)已知定义在实数集上的奇函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x),且当OWxWl时，f(x)=x,求

f(15/2)的值。-1/2

(2)函数f(x)=(9八x-l)/3Nx+l)-J(l-xA2)/(|x+2|-2)+l,已知f(a)=J3,求f(-a)的值(

2-J3

4.f(x)是定义在R上的函数,对任意实数X,都有f(x+3)Wf(x)+3,f(x+2)》f(x)+2,若f(998)=1002,

求f(2000)的值。2004

5.已知二次函数flxTax"+bx+cghce&a#。。。)%：!)：：。,⑵对任意xWR,xWf(x)W(xA2+l)/2,

那么a=?b=?c=?1/4,1/2,1/4

6.若函数g)="八2/2+13/2在区间［a,b］上的最小值为2a,最大值为2b,求［a,b］。［1,3］或卜2-J

17,13/4］

7.已知l/3WaWl,若f(x)=axA2-2x+l在［1,3］上最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)。

(1)求g(a)的函数表达式g(a)=a+l/a-2,ae(l/3,l/2］§gg(a)=9a+l/a-6,ae(1/2,1］(2)判断函

数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值［1/3,1/2］上单减，［1/2』上单增,g(a)min=l/2

8.对于函数f(x),若存在xOCR,使f(xO)=xO成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数

f(x)=axA2+(b+l)x+(b-l)(a#0)。

(1)当a=l,b=-2时,求函数f(x)的不动点

(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围

(3)在(2)的条件下，若y=f(x)的图像上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两

点关于直线y=kx+l/(2aA2+1)对称，求b的最小值

9.函数f(x)定义在实数域上,且满足下列条件:对任何实数X,有f(2+x)=f(2-x),且f(7+x)=f(7-x)o

若x=0是方程f(x)=O的一个根，问方程f(x)=O在区间-IOOOWXWIOOO中至少应有几个根？

10.设函数f(x)对所有x>0有定义，且满足：(1)函数f(x)在。+8)上严格递增；(2)对所有x>0

均有f(x)>-l/x；(3)对所有x>0均有f(x)・f［f(x)+l/x］=l,求函数值f⑴。

11.已知实数x不是整数，月一x+99/x=［x］+99/冈，求x的值

12.求实数a的取值范围，使得对任意实数x与任意的ad［0,贝/2］恒有(x+3+2sinacos

a)A2+(x+asina+acosa)A2^1/8

13.求函数f(x)=x(l-x)/(x+D(x+2"2x+l),xG(0,1]的最大值。

14.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,bGR,满足f(ab)=af(b)+又(a)。

(1)求f(0),f⑴的值；(2)判断f(x)奇偶性，并证明;(3)f⑵=2,an=f[2"(-n)]/n(n(N*),求

数列｛an｝的前n项和Sn«

15.设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=l对称，对任意xl,x2G[0,1/2]

都有f(xl+x2)=f(xl)f(x2),且弱)=a>0。(1)求f(l/2),f(l/4)；(2)求证f(x)是周期函数；(3)

记an=f(2n+l/2n),lim(n-*°°)(lnan)o

16.实数a,b,c和正数人使得f(x)=x”+axA2+bx+c有三个实数根xl,x2,x3,且满足(1)x2-xl=

X；(2)x3>(xl+x2)/2o求(2a7+27c-9ab)/A八3的最大值。

※※第一讲函数※※结束

※※第二讲方程(组)※※

在处理方程(组)问题中，常常应用到如下结论：

结论1(韦达定理)若复系数一元n次方程anxAn+a(n-l)xA(n-l)+...+alx+aO=O(anW0)的n个

复数根是xl,x2，…,xn,则

xl+x2+...+xn=-a(n-l)/an

xlx2+...+xlxn+x2x3+...+x2xn+...+x(n-l)xn=(-l)A2»a(n-2)/an

xlx2...xn=(-l)An»aO/an

结论2设实系数一元二次方程为axA2+bx+c=0(a#0).若△=b"2-4ac<0,则方程无实根；若△

=bA2-4ac=0,则方程有相同两实根；若A=b"2-4ac>0,则方程有两相异实根。

结论3设函数f(x)是严格单调的，

(1)且xGR,a,b为实常数,则方程f(x)=f(ax+b)与ax+b=x(aW0)同解；

(2)且xGR,a,b,c为实常数，则方程f(x)=f(ax"2+bx+c)与ax"2+(b-l)x+c=0(aW0)同解;

(3)且xeR,g(x)和h(x)是实值函数，则方程f[g(x)]=f[h(x)]与g(x)=h(x)同解；

⑷且x《R,g(x)是实值函数，则方程f[g(x)]=f(x)与g(x)=x同解.

※※第二讲方程(组)冰※结束

※※第三讲数列与数学归纳法※※

特殊数列求和主要应掌握以卜几种方法：

(1)直接求和法：直接运用等差数列或等比数列的前n项和的公式来求和

(2)转化求和法：对于既非等差，又非等比数列的求和，经常通过拆、并、减、倒序相加、

错位相减等方法，将非等差(比)数列转化为等差(比)数列来求前n项的和

(3)拆项求和法：如果一个数列的每-项都可化为几项的差，而前一项的减数与后一项的

被减数相同，或前一项的被减数与后一项的减数相同，则相加时，中间项全部抵消为零，即

可求出前n项的和

(4)递推求和法：利用二项式定理及前n个正整数的较低次基的和的公式来求数列前n项

的和

在求数列的前n项和的时候，应熟记以下公式：

Ei=n(n+l)/2

LiA2=n(n+l)(2n+l)/6

EiA3=[n(n+l)/2]A2

+A

C(n,0)+C(n,l)+---C(nzn)=2n

C(m,m)+C(m+l,m)+...+C(n,m)=C(n+l,m+l)(n2m,n,m£N*)

递归数列的基础知识

(1)数列｛an｝的相邻若干项的关系成为递推关系，由递推关系和初始值所确定的数列叫做

递归数列

等差数列和等比数列可以看作特殊的递推数列：

an=a(n-l)+d(n>2),an=a(n-l)*q(n>2)

对于一个递归数列，如果我们知道了它的通项，那么就可以从整体上认识和把握该数列，因

此，求递归数列的通项公式是递归数列的基本问题。

(2)由递推关系求通项公式

由于递归数列的种类繁多，多数情况下没有求解通项公式的现成方法。求般递归数列的通

项公式，基本思想仍是通过变形、代换等手段把问题转化为求等差、等比数列的通项公式,

或者通过试验猜想出一个通项公式，然后证明其正确性。由递推关系求通项公式的常用方法

有：累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，特征方程法等。

数学归纳法

(1)数学归纳法的基本形式

第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=nO(nOCN*)时，P(n)成

立;②假设n=k(kinO,kGN*)成立,由此推得n=k+l时，P(n)也成立，那么，根据①②对一

切正整数nenO时，P(n)成立。

第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=nO(nOCN*)时，P(n)成

立；②假设nWk(k》nO,kGN*)成立，由此推得n=k+l时,P(n)也成立，那么，根据①②对一

切正整数n〈nO时，P(n)成立。

跳跃数学归纳法：①当n=l,2,3,...,l时,P(1),P(2),.,P(I)成立。②假设n=U时，P(n)成立，山此

推得n=k+l时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数时，P(n)成立。

反向数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成

立；②假设n=k时，命题P(n)成立，则当n=k-l时，命题P(n)也成立，那么根据①②对一切

正整数n2l时，P(n)成立。

(2)应用数学归纳法的技巧

起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n=0也成立，而

且验证起来比验证n=l时容易，因此用验证n=0成立代替验证n=L同理，其他起点也可以

前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以。因而为了便于起步，有意前移起点。

起点增多：有些命题在由廿1<向口=1<+1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需

要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点。

加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多。

选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于'‘假设n=k时命题成立”，而需要根据题意

采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用。

变换命题：有些命题在用数学归纳法证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改

变命题(即将命题•般化或加强)，才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明。

(3)归纳-猜想-证明

在数学中，通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种由

个别事实得出•般性结论的不严格的推理方法称为不完全归纳法。不完全归纳法是发现规律、

解决问题的极好方法。但不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进

一步检验或证明。我们经常采用数学归纳法来证明这种猜想。

※※第三讲数列与数学归纳法※※结束

※※第四讲不等式※※

常见不等式的解法

(1)高次不等式

设f(x)=(x-aD(x-a2)...(x-an)淇中al<a2<...<an

当n为偶数时,f(x)>0的解为(an,+8)ij(a(n-2),a(n-l))U(a(n-4),a(n-3))U...U(a2,a3)U(-8,al),

而f(x)<0的解为(a(n-l),an)U(a(n-3),a(n-2))U...U(al,a2)

当n为奇数时，f(x)>0的解为(an,+8)u(a(n-2),a(n-l))U(a(n-4),a(n-3))U...U(a2,al)^f(x)<0

的解为(a(n-l),an)U(a(n-3),a(n-2))U...U(-°°,al)

(2)分式不等式

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0

f(x)/g(x)WO<=>f(x)g(x)WO,g(x)WO

(3)无理不等式

Jf(x)》g(x)=f(x)20,g(x)20,f(x)》g(x)A2或f(x)》O,g(x)WO

Vf(x)<g(x)<=>f(x)20,g(x)>0,f(x)<g(x)A2

(4)绝对值不等式

|f(x)|Wg(x)<=>-g(x)Wf(x)Wg(x)

If(x)I>g(x)<=>f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

(5)指数、对数不等式

a>l时，aAf(x)>aAg(x)<=>f(x)>g(x)

0<a<l时，aAf(x)>aAg(x)<=>f(x)<g(x)

a>l时,logaf(x)>logag(x)<=>f(x)>g(x)>0

0<a<l时，logaf(x)>logag(x)<=>0<f(x)<g(x)

几个重要的著名不等式

(1)平均值不等式

设al,a2,.，an是n个正实数，记

A=(al+a2+...+an)/n,G=(ala2...an)A(l/n),H=n/(l/al+l/a2+...+l/an),Dr=[(alAr+a2Ar+...+anAr)/n]A(

::A

1/r)(r#0);(ala2...an)(l/n)(r=0)

它们分别称为这n个正数的算术平均、儿何平均、调和平均及r次幕平均，则有下列平均值

不等式成立：

⑴HWGWA,等号成立当且仅当al=a2=…二an

(ii)当s<r时,Ds已Dr,等号成立当且仅当al=a2=...=an

注意不等式⑴仅是(ii)的特殊情形：D(；)WDOWD1

(2)柯西(Cauchy)不等式

设al,a2,…,an及bl,b2,...,bn为实数,J0lJ(Saibi)A2^EaiA2EbiA2,等号成立当且仅当存在常

数人,U(不全为零)使人ai二ubi(i=l,2,…,n)。当ai,bi都不为零时，等号成立的充要条件可

写为al/bl=a2/b2=...=an/bn

(3)赫尔德(Holder)不等式

设al,a2,...,an,bl,b2,・・.,bn为正实数,p,q为正实数且l/p+l/q=l,贝ij得EaibW(Eai八p)八(l/p)(£

biAq)A(l/q)①，等号成立当且仅当alAp/blAq=a2Ap/b2Aq=...=anAp/bnAq

A

在①中令xi=abi,yi=biq(i=lz2z...,n),p=a+1(a20),即a=p-l=p/q,则①可等价地写为:当a

20时，有E[xi八(a+l)/yiAQ]2(Exi)A(a+l)/(Eyi)Aa②并且②中等号成立当且仅当

xl/yl=x2/y2=...=xn/yn

不等式①叫做赫尔德不等式，它的等价形式②我们称为权方和不等式

(4)排序不等式

给定实数alWa2W.・.Wan和blWb2W...Wbn,设il,i2,.,in是1,2n的任意排列,则

albn+a2b(n-l)+...+anblWalbil+a2bi2+...+anbinWalb2+a2b2+...+anbn/等号成立当且仅当

al=a2=...=an或bl=b2=...=bn

(5)切比雪夫不等式

若alWa2〈...Wan,bl〈b2W...<brb则EaibiNl/n・(Eai)(Ebi)；若alWa2W...Wan,blWb2

W…Wbn,则EaibiWl/n・(£ai)(Ebi),等号成立当且仅当al=a2=..=an或bl=b2=...=bn

(6)伯努力(Bernoulli)不等式

设X>-1,则当0<Qvl时，有(1+X)八QWl+QX;当Q<0或a>l时，有(1+X)AQ21+QX;等号称

里当且仅当x=0

(7)凸函数不等式

(i)定义：设f(x)是定义在区间I上的函数，故对任意xl,x2d(xirx2)及任意实数a(O<a<l),

有f(axl+(l-a)x2)<(>)a：Lf(xl)+a2f(x2),则成f(x)为区间I上的严格下(上)凸函数

(ii)凸函数的判定:如果对任意的xGI,Wf"(x)>0(<0),则f(x)是区间I上的下(上)凸函数

(iii)琴生(Jensen)不等式:设f(x)为区间I上的严格下(上)凸函数,则对任意xl,x2，…,xnci

以及任意正实数al,a2,...,an(a1+a2+...+an=l)有f(£aixi)W(2)£aif(xi),等号成立当且仅

当xl=x2=...=xn

※※第四讲不等式※※结束

※※第五讲三角函数※※

三角函数的性质

(1)有界性

对任意角a,都有|sina|<l,|cosa这一性质称为正、余弦函数的有界性。竞赛解题

中还常常用至lj1土sina^OjAsina+Bcosa|WJ伊八2+8八2)等式子

(2)奇偶性与对称性

正弦函数、正切函数和余切函数都是奇函数，从而它们的图像关于原点对称，并且y=sinx

的图像还关于x=kn+n/2,kez对称

(3)单调性

利用三角函数的图像可以写出三角函数的单调区间。例如，y=sinx在区间［2kn-n/2,2kn+

n/2］上单调递增，而在区间［2kn+“/2,2kn+3n/2］(kCZ)上单调递减；y=cosx在［2kn+n,2k

Ji+2n］上单调递增，而在区间［2kn,2kn+n］(kGZ)上单调递减

三角函数的单调性是解决三角不等式、求三角函数最值的重要依据

(4)周期性

三角函数都是周期函数，并且都有最小正周期。对于一般表达式，y=Asin(3x+<b),y=Acos(3

x+力)的最小正周期为2口/|3|；y=Atan(3x+6),y=Acot(3x+6)的最小正周期为“3

(5)其他性质

若0<x<n/2,贝sinx<x<tanx；

这个性质揭示了锐角x的弧度数与sinx,tanx之间的关系，利用它可以解决一些混合不等式问

题

y=sinx/x在(0,n/2)上是减函数；

y=tanx/x在(0,n/2)上是增函数；

三角函数在其定义域内的不同的区间上呈现上色或下凸的性质

三角变换

三角变换(或三角恒等变形)是重要的代表式变形，变形过程中，不仅需要熟练地掌握各种

三角公式的应用条件和把握应用时机，还需要有一种驾驶和处理复杂三角式的化归意识与能

力。

常见的三角变换包括：角变换、函数名称变换、常数变换、公式变换及幕变换等等。

反三角函数与三角方程

（1）反三角函数式的三角运算

（2）三角函数式的反三角运算

（3）反三角函数式间的恒等式

（4）三角方程与三角不等式的解法

解三角方程与不等式，应始终抓住“将方程或不等式转化为最基本的三角方程或不等式”这

一想法，即转化为sinx=a或sinxWa,cosx=a或cosxWa的形式。

在处理三角方程及反三角方程问题时，需要检验。

三角函数具有一系列优美的性质：有界性、奇偶性、周期性以及在一些区间上的单调性。因

而，三角内容有其特有的作用，它与其他相关知识有着密切的内在联系，它体现数学重要思

想方法的重要内容，也是解决相关问题或实际问题的重要工具（三角代换或三角法）。

求解三角问题一般是通过三角函数（或反三角函数）恒等变形来完成，这种方法是最基本的，

也是很重要的。有些三角问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息，通过观察、

联想，采用处理代数问题的各种技巧，如配凑、构造、代换等。

※※第五讲三角函数※※结束

※※第六讲向量※※

向量的基础知识和有关性质，可以用来处理函数、不等式、三角、平面几何、立体几何、解

析儿何等各学科的问题，因而向量是中学数学中的一个重要工具。利用向量知识及性质处理

问题的特点是数形结合，运算有法可循，因此，向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方

便，能把综合法与坐标法有机地结合在•起。

为了便于应用向量方法，掌握下述结论是必要的。

结论1（平面向量的基本定理）如果el,e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平

面内的任意向量a,有且只有•组实数入1,X2,使得a=入lel+入2e2

特别地，若记0A向量=el,0B向量=e2,0C=a,则有0c向量=入10A向量+入20B向量

结论2若0C向量=A10A向量+A20B向量（入1,入26R）,则A,B,C三点共线的充要条件是

Xl+x2=1

特别地，若记0A向量=a,0B向量=b,0C向量=c,则A,B,C三点共线的充要条件是：有不

全为0的实数l,m,n,使得la+mb+nc=O,且l+m+n=0

若A,B,C三点共线，且AC向量=、CB向量，。为任意一点，则有0C向量=（0A+入0B）/（l+入）

结论3对于向量a=（xl,yl）,b=（x2,y2）,则

（1）aIIb<=>a=入b或aXb=0或xly2-x2yl=0

（2）aJ_b<=>a*b=0或|aXb|=|a卜|b|或xlx2+yly2=0

（3）a・b=|a|♦|b卜cos（a,b）,a・b=|a|・|b|・sin（a,b）,其中（a,b）表示向量a和b之间正方向的夹角

结论4设a,b为两向量,则a・bW|a|,|b|,|a・b|W|a|・|b|

结论5（空间向量的基本定理）如果el,e2,e3是空间中三个不共面的向量，那么对于空间

中任一向量a,有且只有一组实数入1,入2,入3,使得a=Alel+入2e2+入3e3

平面向量的结论2,3,4等均可以推广到空间向量中去

结论6平面上点P到直线I的距离

d(P,l)=|PA・n|/|n|,当AGI,nJJ时；|PAXv|/|v|,当Ad|,vIII时；|PAXPB|/|AB|,当A,B

el时

※※第六讲向量※※结束

※※第七讲立体几何※※

数学竞赛中的立体几何问题，主要涉及角(包括异面直线所成的角、线面角、面面角即二面

角)、求距离(点点距、点线距、点面距、异面直线之间的距离、平行的线线距、平行的线

面距、平行的面面距)、求面积(侧面、截面、全面积)与体积，以及位置关系的判定等。

高中联赛中主要以选择题、填空题以及求解角、距、积的形式出现。求解这些问题常常需要

熟悉一些特殊几何体(如正方体、四面体、平行六面体、球体、锥体、柱体，以及从正方体

或四面体截割下的某特殊几何体或补形成特殊几何体)的性质以及下述的一些结论：

结论1(1)两条异面直线分别与它们的公垂线所确定的两个平面所成的二面角等于这两条

异面直线所成的角。

(2)线段AB的两端在直二面角M-CD-N内，并且与两个面所成的角为a和B,异面直线

AB与CD所成角为6,则(sin0)A2=(sina「2+(sinB)A2

结论2(1)若A,B是异面直线a,b上的两点，EF是公垂线段，点E在a上，点F在b匕

且AE=m,BF=n,则异面直线a和b所成的角0满足cos0=|(EFA2+mA2+nA2-ABA2)/2mn|

(2)若A,B是异面直线a,b上的两点，EF是公垂线段，则异面直线AB和EF所成的角W满

足cosW=EF/AB

结论3(1)长度为I的线段与其射影线段的长10有如下关系：I0=lcos。，其中。为线段与

其射影所成的夹角

(2)长度为I的线段在其共面的两相互垂直的直线上的射影长分别为I1J2,则I八2=1。2+12八2

(3)长度为I的线段，与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11,12,13,则

IA2=I1A2+I2A2+I3A2

结论4(1)面积为S的多边形与其射影面的面积S0有如下关系：S0=S'cos6,其中0为多

边形所在平面与其射影面所成二面角的大小

(2)面积为S的多边形在三个两两互相垂直的平面上的射影面积分别为S1,S2,S3,则

SA2=S1A2+S2A2+S3A2

⑶若台体各侧面与底面所成的二面角均为。，则S下6上=$侧・8$。。特别地，当S上=0

时为锥体情形

结论5在三棱锥V-ABC,VC_L底面ABC,设二面角V-AB-C的大小为V,记NVAC=。1(1b匕三

棱锥可视为长方体中截得的几何体)

(1)若NACB=90°,记NVBC=93,则(tanW42=(tan。l)"2+(tan。3)八2

(2)若NAVB=90°,记NVBC=63,贝lj(sinW)A2=(sin©l)A2+(sin03)A2

(3)记/VAB=9,则sinV=sin01/sin0

(4)记NVAB=0,ZBAC=02,则cosV=tan92/tan0,且有cos9=cos。l,cos62,tanW=tan

91/sin02,还有cosV=(cos91-cos。*cos92)/sin0*sin02

结论6在三棱锥V-ABC中，二面角V-AB-C的大小为V,NVAC=01,/BAC=02,/VAB=。，

贝I]cosV=(cos01-cos0«cos02)/sin0•sin02

※※第七讲立体几何※※结束

※※第八讲直线与圆的方程※※

1.两点间的距离公式

设Pl(xl,yl),P2(x2,y2),则|P1P2|=V[(xl-x2)A2+(yl-y2)A2]

2.线段的定比分点坐标公式

设Pl(xl,yl),P2(x2,y2),点P(x,y)分P1P2的比为P1P/PP2=X,则x=(xl+Xx2)/(l+X),y=(yl+X

y2)/(l+A)(A#l)

3.直线方程的各种形式

(1)点斜式:y-yO=k(x-xO)

(2)斜截式:y=kx+b

(3)两点式：(y-yl)/(y2-yl)=(x-xl)/(x2-xl)

(4)截距式：x/a+y/b=l(aW0,bW0)

(5)参数方程：x=xO+tcosa,y=yO+tsina(t为参数，a为倾斜角,|t|表示点(x,y)与(xO,yO)之

间的距离)

(6)一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)

4.两直线的位置关系

设直线ll:Alx+Bly+Cl=0,l2:A2x+B2y+C2=0(或Il:y=klx+b,l2:y=k2x+b),则

(1)11III2<=>A1B2-A2B1=O且A1C2-A2C1WO,B1C2-B2clW0(kl=k2且blWb2)

(2)H±l2<=>AlB2+A2Bl=0(klk2=-l)

5.两直线的夹角

设两直线的斜率为kl,k2,夹角为0,则tan0=(k2-kl)/(l+klk2)

6.点P(xO,yO)到直线I的距离

点P(xO,yO倒直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|/V(AA2+BA2)

7.过两直线交点的直线系方程

设直线ll:Alx+Bly+Cl=O与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交，那么过II与12的交点的直线系方程

为Alx+Bly+Cl+X(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线12)

8.圆的方程

(1)标准方程：(x-a)A2+(y-b»2=RA2,其中(a,b)为圆心坐标，R为圆半径

(2)一般方程：xA2+yA2+Dx+Ey+F=0,其中DA2+EA2-4F>0,圆心为(-D/2,-E/2),半径为J

(DA2+EA2-4F)/2

9.圆的切线方程

过圆xA2+yA2=RA2(xA2+yA2+Dx+Ey+F=0)上一点PO(xO,yO)的切线方程是

xOx+yOy=RA2(xOx+yOy+D[(x+xO)/2]+E[(y+yO)/2]+F=O)

10.圆系方程

(1)两圆的根轴

设圆Cl:xA2+yA2+Dlx+Ely+Fl=0(DlA2+ElA2-4Fl>0),圆

C2:xA2+yA2+D2x+E2y+F2=0(D2A2+E2A2-4F2>0),贝lj直线(Dl-D2)x+(El-E2)y+(Fl-F2)=0称为圆C1

与C2的根轴。根轴与两圆的连心线垂直，且根轴上任意一点向两圆所引切线长相等。当两

圆相交(切)时，根轴必过两圆的交点(切点)。

(2)与圆C1和C2同根轴的圆系方程

xA2+yA2+Dlx+Ely+Fl+X(xA2+yA2+D2x+E2y+F2)=0,记为C1+XC2=0,X为待定系数(不包括圆

C2)

11.圆的参数方程

圆心为(a,b),半径为R的圆的参数方程为x=a+Rcos0,y=b+Rsin0(0为参数)

12.切点弦方程

从圆C:(x-a)A2+(y-b)A2=RA2外-点P(m,n)向圆C引两条切线PM1,PM2(M1,M2为切点)，则过

切点的弦M1M2的直线方程为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=RA2.

事实上设Mi(xi,yi)(i=l,2),则过Mi(xi,yi)的切线方程为(xi-aXx-a)+(yi-b)(y-b)=RA2(i=l,2)

而P(m,n)在切线上，故(xi-a)(m-a)+(yi-bXn-b)=RA2(i=l,2),即点Ml(xl,yl),M2(x2,y2)的坐标满足

方程(m-aXx-a)+(n-tO(y-b)=RA2。这就是过M1,M2的切点弦方程。

※※第八讲直线与圆的方程※※结束

※※第九讲圆锥曲线※※

1.椭圆

(1)椭圆的定义

第一定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之和为常数2a(2a>|FlF2|)的点的轨迹叫做椭圆。

其中F1,F2为椭圆的两个焦点，|F1F2|为焦距。

第二定义：平面内到一定点F和一条定直线L的距离之比为常数e(0<e<l)的动点轨迹叫做椭

圆。其中定点F是椭圆的焦点，定直线L为相应准线。

(2)椭圆的标准方程

标准方程：xA2/aA2+yA2/bA2=l(a>b>0)o根据标准方程可以清楚地了解椭圆的一系列数据及

信息：对称轴、对称中心、长轴、短轴、焦距、离心率、准线、方程、顶点坐标、焦点坐标

以及取值范围等。

(3)椭圆的参数方程

椭圆xA2/aA2+yA2/b"2=l(a>b>0)的参数方程为x=acos0,y=bsin0(9为参数)

2.双曲线

(1)双曲线的定义

第一定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|FlF2|)的点的轨迹叫

做双曲线。其中F1,F2为双曲线的两个焦点，|F1F2|为焦距。

第二定义：平面内到一定点F和一条定直线L的距离之比为常数e(e>l)的动点轨迹叫做双曲

线。其中定点F是双曲线的焦点，定直线L为相应准线。

(2)双曲线的标准方程

标准方程：xA2/aA2-H2/bA2=l(a>0,b>0)。根据标准方程可以清楚地了解双曲线的各种数据及

信息：对称轴、虚轴、焦距、离心率、准线方程、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程、取值

范围等。

(3)双曲线的参数方程

双曲线xA2/aO-yA2/l3A2=l(a>0,b>0)的参数方程为x=asec0,y=btan0(0为参数)

3.抛物线

(1)抛物线的定义

平面内到一定点F和一条定直线L的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。其中定点F是抛物线

的焦点，定直线L为准线

(2)抛物线的标准方程

标准方程:p2=2px(p>0)。根据标准方程可以清楚地了解抛物线的各种数据及信息：对称轴、

离心率、准线方程、顶点、焦点坐标、取值范围等。

(3)抛物线的参数方程

抛物线yA2=2px(p>0)的参数方程为x=2ptA2,y=2pt(t为参数)

4.圆锥曲线

(1)椭圆、双曲线、抛物线的统一定义及极坐标方程

平面内到定点的距离到定直线距离之比为常数e的动点轨迹叫做圆锥曲线。当e>l时，轨迹

表示双曲线：当e=l时，轨迹表示抛物线；当e<l时，轨迹表示椭圆。定点是焦点，定直线

是一条准线，圆锥曲线的统一极坐标方程为P=ep/(l-ecos()),e为离心率，p为焦点到相应

准线的距离，极点是焦点，以焦点向准线作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系。

(2)共交点的二次曲线系

过两条已知二次曲线Ci:Aix"2+Bip2+Dix+Eiy+Fi=0(i=l,2)的交点的二次曲线系方程是C1+X

C2=0(不包括曲线C2)

※※第九讲圆锥曲线※※结束

※※第十讲导数※※

1.导数的概念

如果函数y=f(x)在xO处的增量Ay与自变量的增量Ax的比值Ay/Ax,当Ax-0时的极限

lim(Ax-0)Ay/Ax=lim(Ax-O)[f(xO+Ax)-f(xO)]/Ax存在,则称f(x)在点xO处可导，并称此极

限为函数y=f(x)在点xO处的导数，记为f'(xO)或y'|x=xO

2.导函数

函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点的导数都存在，就说f(x)在区间(a,b)内可导，其导数也是(a,b)

内的函数，又叫f(x)的导函数，记作f(x)或『

函数f(x)的导函数f'(x)在x=xO时的函数值f'(xO),就是f(x)在xO处的导数。

3.导数的几何意义

(1)设函数y=f(x)在点xO处可导，那么它在该点点导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)

处切线的斜率

(2)设s=s⑴是位移函数，则C(⑼表示物体在t=tO时刻的瞬时速度

(3)设v=v(t)是速度函数，则M(tO)表示物体在t=tO时刻的加速度

4.几种常用的函数的导数

(l)c,=O(c为常数)

⑵(xAm)'=mxA(m-l)(m金Q)

(3)(sinx)'=cosx

(4)(cosx)'=-sinx

(5)(eAx)'=eAx

(6)(aAx)'=aAxlna

(7)(lnx)'=l/x

(8)(logax)'=l/xlna

5,两个函数的四则运算的导数

若u(x),v(x)的导数都存在，则

(1)和(差)的导数(U±v)'=u'±V'

(2)积的导数(uv)'=u'v+uv'

(3)商的导数(u/v)，=[”v-uv')/vA2](vW0)

※※第十讲导数※※结束

※※第十讲排列与组合※※

1.加法原理和乘法原理

如果完成一件事情的方法可分为n个互不相交的类，且第一类中有ml种方法，第二类中有

m2种方法,.，第n类中有mn中方法，那么完成这件事一■共有ml+m2+...+mn种方法。这就

是加法原理，简称分类相加。

如果完成一件事情要分n步，且第一步有ml种方法，第二步有m2种方法，…,第n步有

mn种方法，那么完成这件事一共有mlm2…mn种方法。这就是乘法原理，简称分步相乘。

2.无重复的排列与组合

从n个不同元素中任取m(<n)个不同元素排成一列，其排列数为

A(n,m)=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)=n!/(n-m)!(约定0!=1)

特别m=n,就得到n个不同元素的全排列数公式A(n,n)=n(n-l)(n-2)...l=n!

从n个不同元素中任取m(Wn)个不同元素排成一组，其组合数为

C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n(n-l)...(n-m+l)/m!=n!/m!(n-m)l

3.可重复的排列与组合

从n个不同元素中任取m(2l)个元素(可重复取相同元素)排成一列，其排列数为Mm(选

第1位元素有n种方法，选定第一位元素后，选第2位元素仍有n种方法，.，最后选第m

位元素也有n种方法，由乘法原理知一共有n"m种方法)。

设n个元素由k个不同元素al,a2,...,ak组亦其中al有nl个，a2有n2个，.，ak有nk个，

那么这n个元素排成一列的方法数为n!/nl!n2!...nk!o

事实上，若n个元素互不相同，则全排列数位n!种，但其中ni个ai任意交换顺序(有ni!

种交换顺序的方法)得到的是同一排列(i=l,2，…,k),故不同的排列个数为n!/nl!n2!...nk!.

从n个不同元素中任取m(21)个元素(可以取相同元素)并成一组，其不同组合数为

事实上不妨设n个不同元素为1,2，…,n,取出的m个元素为(lW)al近a2W..Wam(Wn)(因

允许重复，符号可以成立)，于是(lW)al+0<a2+l<...<am+m-：l(Wn),将(al,a2,.,am)与

(al+0,a2+l,...,am+m-l)对应，这个对应是•对应，故所求组合数等于从这

n+m-1个不同元素中取m个不同元素(al+0,a2+L...,am+m-l)的组合数，即C(n+m-l,m)。

4.圆排列和项链数

从n个不同元素取m个不同元素排在一个圆周上，其圆排列数为A(n,m)/m=n!/nr(n-m)!o

特别地，将n个不同元素排列在一个圆周上的圆排列数为A(n,n)/n=(n-l)!

若将n粒不同的珍珠，用线串成一根项链的不同方法数记为Dn,则Dn=l(n=l或2),(n-l)!/2

(n23)

因为n23时项链没有顺时针与逆时针的区别，而圆排列则有此区别，故n23时项链数只

有圆排列数的1/2.而n=l或2时，两者都没有顺时针和逆时针的区别。

5.容斥原理

对于有限集合S,我们用|S|表示S中元素个数，若5是S的子集,

则耳=S\S1表示Si在S中的补集。S1在S中的补集也可记为CsSl

定理1设Si，S2，...,Sn是有限集合，则

IEUS2U...US.I=£IS,I-z〔s,ns/+zis,ns,nsj+…+

定理2设S“S”…,Sn都是有限集合S的子集，则

国nWr...r司RSI-IHUS2U...USJ

=\s\~x\si\+-ziSjnSjnss+...+

f-l

(-lris,n^n.-nsj2

定理1的证明

若S】US?LL.US”，则a不属于\声2,51t中任何一个,a在1式

两端计算的次数都等于0.

若aeS】US?LL.US”，不妨设a只属于$,$2，...,5好而不属于其余

集合(1WkW”)，贝！Ja在1式左端计算了一次，而a在右端第一项

力14冲计