苏教版2019版高中数学必修第一册第2章常用逻辑用语知识点清单

苏教版2019版高中数学必修第一册

第2章常用逻辑用语知识点清单

目录

第二章常用逻辑用语

2.1命题、定理、定义

2.2充分条件、必要条件、充要条件

2.3全称量词命题与存在量词命题

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第二章常用逻辑用语

2.1命题、定理、定义2.2充分条件、必要条件、充要条件

一、命题

在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果P，

那么q”或“若p,则q"的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.

二、充分条件、必要条件与充要条件

1.如果“P=q"，那么称P是q的充分条件，也称q是p的必要条件，可以理解为

若p成立，则q一定成立，反过来，若q不成立，则p一定不成立.

2.如果pnq,且q=p,那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条

件，也称q的充要条件是p,记作p=q.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，每一条判定定

理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

三、充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.判断充分、必要、充要条件的方法

⑴定义法：直接利用定义进行判断，注意要会举反例.

⑵利用集合间的包含关系进行判断：满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A

和B,若p是q的充分条件，贝IJAGB；若p是q的必要条件，贝ljBGA；若p是q的

充要条件，则A=B；若p是q的充分不必要条件，则A呈B；若p是q的必要不充分

条件，则B)A.

⑶利用传递性进行判断：充分条件和必要条件具有传递性，即由Pinp2=-npn可得

p^pn,充要条件也具有传递性.

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四、充分条件、必要条件的证明与探求

1.充要条件的证明

⑴证明p是q的充要条件时，既要证明命题“p=q”为真，又要证明“q=p”为真,

前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.

⑵证明充要条件也可以利用等价转化法，即把条件和结论进行等价转化，注意转化过

程中必须保证前后是能互相推出的.

2.探求充分条件、必要条件的步骤

Q）分清"条件”和“结论”，明确探求的方向；

⑵找到使结论成立的充要条件（一般用集合的方法）；

⑶将充要条件对应的范围扩大，即得结论成立的必要不充分条件；将充要条件对应的

范围缩小，即得结论成立的充分不必要条件.

五、利用充分条件、必要条件求参数

利用充分条件、必要条件求解参数问题时，一般结合充分条件、必要条件转化为

集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组），进

而求解.要注意对解集的端点值进行检验.

六、通过充分、必要条件的使用发展逻辑推理的素养

逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达与交流的工具.正确使用充分、

必要条件等逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的逻辑性和准确性

在解题中要做到能够辨析哪些条件是充分不必要的，哪些条件是必要不充分的，

哪些条件是充分必要的，哪些条件是既不充分又不必要的，并能用严谨的数学语言将

充分、必要条件转化为集合间的关系，加深对逻辑用语的认识，提升逻辑推理的素养.

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2.3全称量词命题与存在量词命题

一、全称量词与全称量词命题

“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量

全称量词

词,通常用符号，x”表示“对任意X”

全称量词

含有全称量词的命题称为全称量词命题.一般形式可表示为VxEM,p(x)

命题

二、存在量词与存在量词命题

“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存

存在量词

在量词,通常用符号"3x"表示“存在X”

存在量词

含有存在量词的命题称为存在量词命题.一般形式可表示为“GM,p(x)

命题

三、全称量词命题与存在量词命题的否定

1.全称量词命题与存在量词命题的否定

类型符号表示否定的符号表示

全称量词命题VxEM,p(x)3xGM,P(x)

存在量词命题3xGM,p(x)VxGM,P(x)

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

2.命题否定的真假

对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题不能同时为真，也不

能同时为假，即它们的关系是“一真一假"或“此假彼真”.

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四、全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断

1.要判定全称量词命题“VxGM,p(x)成立"是真命题，需要对集合M中每个元素x

验证p(x)成立,但要判定该命题是假命题，只要能找出集合M中的一"^x=x0,使p(x)

不成立即可.要判定存在量词命题M,p(x)成立"是真命题，只需在集合M中

找到—t'xuxo,使p(x)成立即可；否则，这一命题就是假命题.

2.命题与命题的否定的真假性相反.当命题的否定的真假不易判断时，可以通过判断

原命题的真假来得出命题的否定的真假.

3.常用的正面叙述词语和它的否定词语：

原词语等于(二)小于(<)都是

否定词语不等于(#)不小于(N)不都是

原词语至少有一个至多有一个至多有n个

否定词语一也没有至少有两个至少有(n+1)个

五、含有量词的命题中的参数问题

1.解决含有量词的命题中的参数问题的思路

⑴对于全称量词命题“VxEM,a>y(或a<y)"求参的问题，一般为“恒成立”问题,

通常转化为求函数V的最大值(或最小值)，即a〉ym”(或a<ymin)，•对于存在量词命题

"3xGM,a>y(或a<y)”求参的问题，一般为“有解”问题，通常转化为求函数y的

最小值(或最大值)，即a-n(或a<ymax).

⑵对于