高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 离散型随机变量的均值

离散型随机变量的均值同步练习

1.(多选题)下列说法不正确的是()

A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化

B.随机变量的均值反映样本的平均水平

C.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4

D.随机变量X的均值E(X)=X1+X2+'"+Xn

n

2.设随机变量X,Y的分布列分别为

X123

2

PP1-PP-P2

Y123

PP31-P2P2-P3

当X的数学期望取得最大值时,Y的数学期望为()

335565

A.2B.—C.—D.—

162732

3.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,

且此人是否游览哪个景点互不影响,设€表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的

景点数之差的绝对值.则E(g)等于()

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，&表示甲车床生产1000件产品中的次品数，n表示

乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，n的分布列分别是:

c0123

p0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

据此判定()

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同D.无法判定

5.已知随机变量X的分布列为

X123

111

rn———

236

7.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束

1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量&(束)的统计(如表)，若进这种鲜花500

束在今年节日期间销售,则利润的均值是.元

€200300400500

P0.200.350.300.15

8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻

1

发生故障的概率分别为石和P.

49

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为一,求P的值；

50

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X,求X的概率分布列及

数学期望E(X).

9.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教

材的教师人数如表所示:

版本人教A版人教B版苏教版北师大版

人数2015510

(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率;

(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的

分布列和数学期望.

扩展练习

1.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现

目标的雷达台数为&，则E(&)=()

A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

2.（多选题）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次

出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年,现从该厂已售

出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表：

品牌甲乙

首次出现故障的时间x（年）0<x<ll〈xW2x>20〈x<2x>2

轿车数量（辆）2345545

每辆利润（万元）1231.82.9

将频率视为概率,则（）

A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为三

5

B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X,,则E（X.）=2.86（万元）

C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E（X2）=2.99（万元）

D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.

若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车

3.马老师从课本上抄录一个随机变量€的概率分布列如表：

t123

P(C=t)?I?

请小牛同学计算8的数学期望，尽管“！”处完全无法看清,且两个“？”处字迹模糊,但能肯

定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E（&）=.

4.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多

2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为W乙在每局中获胜的概率为之且各局胜负

33

相互独立,则比赛停止时已打局数W的期望E（W）为.

23

5.某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为一和二,现安排甲组研发新产

品A,乙组研发新产品B.设甲，乙两组的研发是相互独立的.

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获

得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

6.某届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.

(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配

方案？

(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设X,丫分别表示5名学生分配到王城公园和牡

丹公园的人数,记，=|X-Y|,求随机变量€的分布列和数学期望E©.

参考答案

1.(多选题)下列说法不正确的是()

A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化

B.随机变量的均值反映样本的平均水平

C.若随机变量X的数学期望量X)的,则E(2X)=4

D.随机变量X的均值E(X)=X1+X2+'"+Xn

n

分析：选ABD.A错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字

特征.B错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正确，由均值的性质可知.D错

误,因为E(X)=xlpl+x2p2+-+x„p„.

2.设随机变量X,Y的分布列分别为

X123

2

PP1-pp-p2

Y123

323

PP1-P」P-P

当X的数学期望取得最大值时,Y的数学期望为（）

「33、65

A.2B.—C.—D.—

162732

2171

分析：选D.因为E（X）=p2+2（-p）+3+台所以当丐时，E（X）取

得最大值.此时E（Y）=-2p3+p2+2=J.

32

3.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,

且此人是否游览哪个景点互不影响,设€表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的

景点数之差的绝对值.则E（己）等于（）

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

分析：选A.随机变量;的取值有1,3两种情况，&=3表示三个景点都游览了或都没有游览,

所以P(&=3)=0.4X0.5X0.6+0.6X0.5X0.4=0.24,P(&=1)=1-0.24=0.76,

所以随机变量&的分布列为

13

p0.760.24

E(g)=1X0.76+3X0.24=1.48.

4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，&表示甲车床生产1000件产品中的次品数，n表示

乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，n的分布列分别是:

€0123

P0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

据此判定（）

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同D.无法判定

分析：选A.

E(€)=OXO.7+1X0.1+2X0.1+3X0.1=0.6,

E(n)=0X0.5+1X0.3+2X0.2+3X0=0.7.

因为E(n)>E(g),故甲比乙质量好.

5.已知随机变量X的分布列为

2

X13

1

11

P_3-

26

且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则E(X)=,a=,

1I15

分析：E(X)=1X-+2X-+3X--.

2363

因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=-a+3=-2.

3

解得a=-3.

答案；-3

3

7

6.已知某离散型随机变量a的数学期望E(g)=-,C的分布列如表:

6

€0123

11

Pab

36

则a=.

7111

分析:E(€)="=0Xa+lX-+2XT3b=b=一,又P(&=0)+P(&=1)+P(€=2)+P(€=3)=1=

6366

1111

a+-+-+-=l^>a=-

3663

1

答案:一

3

7.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束

1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量g(束)的统计(如表),若进这种鲜花500

束在今年节日期间销售,则利润的均值是元.

€200300400500

P0.200.350.300.15

分析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(自)

=200X0.20+300X0.35+400X0.30+500X0.15=340(束).设利润为n,则n=5&+1.6X(500-

€)-500X2.5=3.4€-450,所以E(n)=3.4E(g)-450=3.4X340-450=706(元).

答案：706

8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻

1

发生故障的概率分别为一和P.

10

49

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为一,求P的值；

50

⑵设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X,求X的概率分布列及

数学期望E(X).

分析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,

―1491

那么P(C)=I-P(C)=I—,p=—.解得p=-

10505

(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

故P(X=O)=COp(X=1)=C|

3\10710003V107I1071000

P(X=2)=C|rnx(1--)2=—,P(X=3)=C|(1--)3=—.

3\107k10/1000sI1071000

所以随机变量X的概率分布列为

X0123

127243729

P

1000100010001000

12724372927

故随机变量X的数学期望:E(X)=0X——+1X----F2X--+3X——=-.

100010001000100010

9.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教

材的教师人数如表所示：

版本人教A版人教B版苏教版北师大版

人数2015510

⑴从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率;

(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的

分布列和数学期望.

分析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为(：获=1225,选出2人使用版本相同的方法

数为C/o+C备+C+C*=350,故2人使用版本相同的概率为P=-

clo

(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=登一，

匾「

11

2138

，COC5P/X2

、-6-0\(-

P(X=1)=-119

51119

所以X的分布列为

X012

P36038

17119119

…、c360c381368

所以E(X)=0X-MX—+2X—=—=-.

171191191197

扩展练习

1.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现

目标的雷达台数为，则E(C=()

A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

分析：选B.设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，

&的可能取值为0、1、2.

P(C=0)=P(A«B)=P(A)-P(B)

=(1-0.9)X(1-0.85)=0.015.

P(€=1)=P(A•B+A-B)=P(A)•P(B)+P(A)-P(B)

=0.9X0.15+0.1X0.85=0.22.

P(&=2)=P(AB)=P(A)•P(B)=0.9X0.85=0.765.

所以E(€)=0X0.015+1X0.22+2X0.765=1.75.

2.(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次

出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年,现从该厂已售

出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：

品牌甲乙

首次出现故障的时间x(年)0<x<ll〈xW2x>20〈xW2x>2

轿车数量(辆)2345545

每辆利润(万元)1231.82.9

将频率视为概率，则()

1

A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为g

B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X,.则E(X)=2.86(万元)

C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E(X2)=2.99(万元)

D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车

若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车

2+31

分析：选BD.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=——.

5010

依题意得,Xi的分布列为

Xt123

139

P

255010

3Q143

E(Xi)=1X—^2X—^3X—=---2.86(万兀)，

25501050

X2的分布列为

1.82.9

x2

19

p

Toio

E(X2)=1.8X—+2.9X2=2.79(万元).

1010

因为E(X,)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车.

3.马老师从课本上抄录一个随机变量€的概率分布列如表:

t123

P(c=t)?I?

请小牛同学计算€的数学期望，尽管“！”处完全无法看清,且两个“？”处字迹模糊,但能肯

定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(g)=.

分析：设“？”处为X,“！”处为y,则由分布列的性质得2x+y=l,所以期望E(列=lXP(g=D+2

XP(&=2)+3*P(&=3)=4x+2y=2.

答案：2

4.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多

21

2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为一,乙在每局中获胜的概率为一,且各局胜负

33

相互独立,则比赛停止时已打局数€的期望E(g)为.

分析：依题意,知€的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概

率为02+(3)若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮

比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(g=2)^Pa=4)手需,P(g

故E(&)=2X-+4X—+6X—.

9818181

田山266

答案:一

81

23

5.某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为-和现安排甲组研发新产

35

品A,乙组研发新产品B.设甲，乙两组的研发是相互独立的.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,若新产品B