高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 含答案

章末综合测评（二）点、直线、平面之间的

位置关系

（时间120分钟，满分150分）

一'选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若a,。是异面直线，直线c〃a,则c与8的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.异面或相交

【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与人异

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列说法不正确的是（）

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线

都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

【解析】A、B、C显然正确.易知过一条直线有无数个平面与

已知平面垂直.选D.

【答案】D

3.（2015•太原高二检测油，12,/3是空间三条不同的直线，则下列

命题正确的是（）

A.ZI_L/2,l21h=l\〃h

B.I山2,

C.l\//b//g/\,h,一共面

D.h,I2,，3共点=/1，I2,b共面

【解析】对于A,通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点

出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B,因为所以/1,b所

成的角是90°,又因为/2〃瓦所以/1,/3所成的角是90。，所以/I_L/3,

故B对；对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；

对于D,例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选B.

【答案】B

4.设a、为两条直线，a、£为两个平面，则正确的命题是（）

【导学号：09960089]

A.若a、。与a所成的角相等，则

B.若a//a,b〃1a〃£,则

C.若aUa,bup,a//h,则a〃£

D.若b工B，a_L£,贝!Ja_l_b

【解析】A中，a、匕可以平行、相交或异面；B中，a、》可以

平行或异面；C中，a、£可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016•山西山大附中高二检测）如图1,在正方体4BCD-431GQ1

中，E、F、G、H分别为A3、BBi、BC的中点，则异面直线

与G”所成的角等于（）

图1

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【解析】如图，连接Ai&BCuA\C\,则AI3=8G=AIG,

JLEF//A\B.GH//BC\,

所以异面直线EF与G"所成的角等于60°.

【答案】B

6.设I为直线,a］是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,1〃B，则a〃夕

B.若1邛,贝lja〃£

C.若1〃B，则a〃4

D.若l//a,则以夕

【解析】选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交，

故选项A错误；选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项

B正确；选项C,由条件应得a_L夕，故选项C错误；选项D,/与£

的位置不确定，故选项D错误.故选B.

【答案】B

7.（2015•洛阳高一检测）如图2,△AD3和△AQC都是以。为直角

顶点的等腰直角三角形，且NR4C=60。，下列说法中错误的是（）

A.AD±¥®BDC

B.8。，平面40。

C.QC_L平面48。

D.BCL平面ABD

【解析】由题可知，ADLBD,ADLDC,所以ADJ_平面8DC,

又△48D与△AQC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB

=AC,BD=DC=^AB.

又NBAC=60°,所以△ABC为等边三角形，故BC=AB=@BD,

所以NBQC=90°,即3DJ_QC.

所以30J_平面ADC,同理DCA,平面ABD.

所以A、B、C项均正确.选D.

【答案】D

8.正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12,

底面对角线的长为2加，则侧面与底面所成的二面角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2小，高为3,在底面

正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，

根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan8=小

（设。为所求平面角），所以二面角为60。，选C.

【答案】C

9.将正方形ABCD沿3。折成直二面角，M为CQ的中点，则ZAMD

的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如图，设正方形边长为a,作AOA,BD,则AM=

yjAO2+OM2=yl(孚J+(5>=2a,

又AD=a,DM=j,：.AD2=D1^+AM2,：.ZAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形A8CD中，若AB=3,BC=4,B4_L平面AC,且用

=1,则点尸到对角线8。的距离为（）

A夸

WD呼

【解析】如图，过点A作AE_L8D于点已连接PE

•.•附，平面ABC。，BDU平面ABCQ,

：.PA±BD,.•.8D，平面出E,

：.BD工PE.

.…A3A。12»,

,AE=~BD~=~5,抬=1，

：.PE=

【答案】B

11.（2016•大连高一检测）已知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱与底面垂

直，体积为本9底面是边长为小r~的正三角形.若P为底面4SG的中

心，则山与平面ABC所成角的大小为（）

【导学号：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D.30°

【解析】如图所示，。为正三角形AiBC的中心，设O为△ABC

的中心，由题意知：PO_L平面ABC,连接OA,则NB4O即为"与平

面ABC所成的角.

在正三角形ABC中，AB=BC=AC=小,

则S=乎义响2=^,

VABC-A\B\Ci=SXPO=^,：.PO=^3.

又AO=¥><W=1,

P0

.'.tanZPAO=^=y[3,：.ZPAO=60°.

A。

【答案】B

12.正方体A3CQ-A1BGU中，过点A作平面43。的垂线，垂

足为点”.以下结论中，错误的是（）

A.点”是△AiBD的垂心

B.平面CBDi

C.A”的延长线经过点G

D.直线A”和381所成的角为45。

ClBx

D

【解析】因为A〃_L平面AiBD,

8DU平面A\BD,

所以又8O_LA4i,且4“nA4i=A

所以80,平面441”.又47/U平面AAiH.

所以A]"_L3£）,

同理可证

所以点”是△48。的垂心，A正确.

因为平面4山。〃平面CBxDx,

所以AHJ_平面CBDi,B正确.

易证AG_L平面A山。.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂

直，所以AG和A”重合.故C正确.

因为44i〃8Bi,所以N4A”为直线AH和3囱所成的角.

因为NAAi”W45°,所以N4A"W45°,故D错误.

【答案】D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在

题中的横线上）

13.设平面a〃平面4、Cea,B、D",直线AB与CD交于

点S,且点S位于平面a,夕之间，AS=8,BS=6,CS=12,则50=

【解析】由面面平行的性质得AC〃3。，京=而，解得SQ=9.

DOOU

【答案】9

14.如图3,四棱锥S-ABCD中，底面A8CD为平行四边形，E是

SA上一点，当点E满足条件：_______时，SC〃平面EBD

【解析】当E是SA的中点时,

连接£8,ED,AC.

设AC与BD的交点为0,连接EO.

,：四边形ABCD是平行四边形，

.•.点0是AC的中点.

又E是SA的中点，

，0E是△SAC的中位线.

0E//SC.

,：SCQ平面EBD,0EU平面EBD,

...SC〃平面EBD.

【答案】E是SA的中点

15.如图4所示，在正方体ABCQ-A1SGO1中，M,N分别是棱

A4i和43上的点，若是直角，则NGMN等于.

【解析】平面A/3B1,

MNU平面AiABBi,

：.B\C\LMN,又N81MN为直角，

ABiMlW,而8iMG3]G=3i.

.•.MNd_平面MBG,又A/GU平面MBCi,

：.MN±MCi,：,ZCiMN=90°.

【答案】90°

16.已知四棱锥尸-A3CZ）的底面A3CQ是矩形，朋，底面43CQ,

点、E、尸分别是棱尸C、PO的中点，则

①棱AB与PD所在直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCQ的面积大于的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线.

以上结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【解析】由条件可得平面PAD,

J.ABVPD,故①正确；

若平面P3CL平面ABCD,由PB±BC,

得尸8,平面ABC。，从而出〃P3,这是不可能的，故②错；&PC。

=^CDPD,S^PAB=^ABPA,

由A3=CO,PD＞必知③正确;

由从尸分别是棱PC、尸力的中点，

可得E尸〃C。，又AB〃CD,

：.EF//AB,故AE与8尸共面，④错.

【答案】①③

三'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤）

17.体小题满分10分）如图5所示，已知△ABC中，NACB=90。,

SAL平面A8C,ADLSC,求证：平面S3C.

【证明】VZACB=90°,

：.BC±AC.

又「SA，平面ABC,

：.SA±BC,'：SADAC=A,

平面SAC,：.BC±AD.

又门。，4。，SC^BC=C,

.•.AD_L平面SBC.

18.（本小题满分12分）如图6,三棱柱ABC481G的侧棱与底面

垂直，AC=9,BC=12,AB=15,A4i=12,点。是AS的中点.

图6

⑴求证：AC±BiC；

(2)求证：AG〃平面CQBi.

【证明】(1)：GCJ_平面A3C,ACiC±AC.

VAC=9,BC=n,AB=15,

：.AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

又8CGGC=C,平面BCGBi,

而BiCU平面BCC\B\,

：.AC±B\C,

(2)连接3G交囱C于。点，连接OD如图，VO,。分别为BG,

A3的中点，，。。〃入。］.又。力u平面CDB,ACg平面CDBi.，AG〃

平面CDBi.

19.(本小题满分12分X2016德州高一检测)某几何体的三视图如

图7所示，P是正方形A8CO对角线的交点，G是PB的中点.

(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；

(2)在直观图中，①证明：尸。〃面AGC；

②证明：面03。_1面46。.

图7

【解】(1)该几何体的直观图如图所示:

p

c

(2)证明：①连接AC,80交于点O,连接OG,因为G为的

中点，。为3。的中点，所以OG〃PD.

②连接尸0,由三视图知，平面A3CQ,所以AO_LPO.

又AO_LBO,所以AO,平面PBD

因为40U平面AGC,

所以平面PBD上平面AGC.

20.(本小题满分12分)(2016•济宁高一检测)如图8,正方形A8CQ

和四边形ACEE所在的平面互相垂直，EF//AC,AB=y[2,CE=EF=

(1)求证：A/〃平面3QE；

(2)求证：。凡L平面3QE

【导学号：099600911

【证明】(1)如图，设AC与8D交于点G.

E,

因为EF〃AG,且E尸=1,

AG=^AC=1,

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以4尸〃EG.

因为EGU平面BDE,AFQ平面BDE,

所以4尸〃平面BDE.

（2）连接FG,

,CEF//CG,EF=CG=1,

四边形CE/G为平行四边形，

又•；CE=EF=1,口CEFG为菱形，

：.EG.LCF.

在正方形ABCD中，AC1BD.

,：正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，

J_平面CEFG.：.BD±CF.

又EGCBD=G,：.CF1平面BDE.

21.（本小题满分12分）（2015・山东高考）如图9,三棱台DEF-ABC

中，AB=2DE,G,”分别为AC,的中点.

图9

(1)求证：80〃平面/GH；

(2)若CF_L3C,AB±BC,求证：平面BCO_L平面EG”.

【解】(1)证法一：连接QG,CD,设CDnGF=M,连接

在三棱台。ERABC中，AB=2DE,G为AC的中点，可得。尸〃GC,

DF=GC,所以四边形。尸CG为平行四边形，则M为CQ的中点.又

”为8C的中点，所以M//〃3D又平面/G”，BD。平面FGH,

所以平面FG".

证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF,”为BC的中点,

可得3H〃EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形，可得8E〃”?

在△A3C中，G为AC的中点，”为BC的中点，所以GH〃AB.又GHCHF

=H,所以平面尸G"〃平面A3ED因为BQU平面ABED,所以BD//

平面FGH.

(2)连接HE.

因为G,"分别为AC,8C的中点，

所以GH//AB.

由A8_LBC,得GHLBC.