高中数学知识点总结1

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

L1.1.U集合的含义与表示

(I)集合的概念

集合中的泉素具有确定性、互异性和无序性.

(2)常用数集及其记法

N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表示实数集.

(3)集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是ae",或者a定M,两者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：｛%|3具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

(6)子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

(l)ACA

A^B

A中的任一元素都属⑵0=A

子集(或

于B(3)若A=B且B=则A=C

B^A)

(4)若AqB且则A=B或

(1)0uA(A为非空子集)

ACB

*AoB,aB中至少工

真子集

⑵若AuB且3uC,则AUC

(或BnA)有一元素不属于AH工工

©

A中的任一元素都属

集合(l)AOB

于B,B中的任一元素

相等A=B(2)BOA

都属于A

(7)已知集合4有〃(〃21)个元素，则它有2"个子集，它有2"—1个真子集，有2"-1个非空子集，它有2"-2非空真子

集.

(8)交集、3F集、补集

名称记号意义性质示意图

(1)AA=A

A且(2)A0=0

交集AB

x^B}(3)AB=A

AB=B

(1)AA=A

A或(2)A0=A

并集AB

x^B](3)AB卫A

AB?B

1A@A)=02A&A)=U

旗48)=(°A)(?B)

补集心AA}y%Q

瓶A8)=(”A)&B)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

<1)含绝对值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0)[x\-a<x<a]

|x\>a(a>0)

把ar+匕看成一个整体，化成|x|<a,

Icix+b\<c,\ax+b\>c(c>0)|x|>a(a>0)型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法

判别式

△="一4。。A>0A=()A<0

4\uJ

二次函数\

y=ax2+bx+c(a>0)

0“产

的图象20

一元二次方程-b+y/b2-4ac

2%=一工一b

ax+bx+c=0(a>0)芭二二一不一无实根

W2a

的根(其中％<马)

ax2+bx+c>0(。>0),b、

｛了|X<%或不>冗2｝3tx^——}R

的解集2a

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\x[<x<x2]00

的解集

【1.2.1］函数的概念(1)函数的概念

①设A、8是两个非空的数集，如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个数X,在集合B中都有唯一确定的

数/(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到8的对应法则/)叫做集合A到B的一个函数，记作

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

区间的概念及表示法

①设。力是两个实数，且a<6,满足aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，记做［。,勿；满足a<x<〃的实数x的

集合叫做开区间，记做他力)；满足或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a/),

(a,b］；满足》2。,%>。,1<6,》<)的实数》的集合分别记做［。,+00),3,+00),(—0。,勿,(一0。,。).

注意：对于集合｛x|a<x<b｝与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须a<b.

求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①/(x)是整式时，定义域是全体实数.

②/(X)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.

③/(X)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.

冗

⑤y=tanx中，k7r+—(k&Z).

⑥零(负)指数幕的底数不能为零.

⑦若/(无)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知/(x)的定义域为［a,回，其复合函数/［g(x)］的定义域应由不等

式g(x)<人解出.

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.

(4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个

数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常

用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.

③判别式法：若函数y=/(x)可以化成一个系数含有y的关于光的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在

a(y)/O时，由于为实数，故必须有A=〃(y)—4a(y)・c(y)20,从而确定函数的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

［1.2.2］函数的表示法

(5)函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：

就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

<6)映射的概念

①设A、8是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素，在集合8中都有唯一的元素和它对

应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射，记作/:A73.

②给定一个集合A到集合3的映射，且如果元素a和元素。对应，那么我们把元素人叫做元素a的象,

元素a叫做元素人的原象.

［1.3.1］单调性与最大(小)值

(1)函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

如果对于属于定义域I内某]i(1)利用定义

y=f(

个区间上的任意两个自变量(2)利用已知函数的

的值Xi、X2,当Xi<£时，，都y单调性

(3)利用函数图象(在

有f(xi)<f(x?),那么就说

f(X,)某个区间图

f(x)在这个区间上是单邑藜.

象上升为增)

函数的X,XA2AX(4)利用复合函数

单调性(1)利用定义

)y=f(X)

如果对于属于定义域I内某(2)利用已知函数的

个区间上的任意两个自变量

f(x.)单调性

的值Xi、X2，当小学时，都(3)利用函数图象(在

有f(Xl)>f(X?)，那么就说某个区间图

f(x)在这个区间上是演更数.象下降为减)

[)

X\x,x(4)利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去

_一个增函数为减函数.

③对于复合函数了=f［g(x)］，令〃=8(%)，若y=fQ)为增，〃=g(x)为增，则y=1ng于)］为增;若5=/(»)

为减,u=g(x)为减，则y=为g(x)］为增；若y=f(u)为增，"=g(x)为减，则y=为g(x)］为减;若y=f(u)

为减，a=g(x)为增，则y=/［g(x)］为减.

(2)打“函数/(x)=x+—(a>0)的图象与性质

xyM

/(x)分别在(T»,-五］、［血,+oo)上为增函数，分别在［-4,0)、(0,血］上为

减函数.a

(3)最大(小)值定义/(x)=x+-(a>0)

①一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：(1)对于/

任意的xeI,都有f(x)<M；2.

(2)存在使得〃.那么，我们称M是函数/(x)的最

大值，记作篇x(x)=/­0°品

②一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数加满足：(1)对于任意的xe/,都有

/(x)2根：⑵存在/e/,使得/a。)=m.那么，我们称加是函数/(x)的最小0值,

记作/^(幻=机./

【1.3.2］奇偶性/

(4)函数的奇偶性

①定义及芈定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

如果对于函数f(x)定义域内V(1)利用定义(要先

任意一个X,都有f(—x)=y(a,f(a))判断定义域是否关于

原点对称)

函数的“心那么函数f(x)叫做奇学

-a「一(2)利用图象(图象

奇偶性数.oax

关于原点对称)

(-a.f(~a))

如果对于函数f(x)定义域内y(1)利用定义(要先

任意一个x,都有f(yx)=f(x),判断定义域是否关于

(a,f(a))

那么函数f(x)叫做假喀里(-a.f(-a)).原点对称)

(2)利用图象(图象

关于y轴对称)

-aoax

②若函数/(X)为奇函数，且在x=0处有定义，则/(0)=0.

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)

是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

K补充知识》函数的图象

(1)作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；②化解函数解析式:

③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象.

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.

①平移变换

-y-=J/('x)'―〃v0,右移川个单位J=/。+力)y-/(X)-攵i<解0,下W移既I川祟个鲁单位告一>Jy=J/\(X/)4-k

②伸缩变换

y=f(x)0v洲，伸

0>1,缩

y=f(x)0<A<l,缩>y=Af(x)

A>1,伸

③对称变换

y=/(x)叫y=-/(%)y=/(x)^'—>y=/(-x)

y=/(x)

去掉)，轴左边图象

y=/(x)»y=/(|x|)

保留,轴右边图象，并作其关于y轴对称图象

v-f(Y)保留X轴上方图象)_|f(x\I

y_J⑺将谢下方图象翻折上去,yt八町।

(2)识图

谕于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、

奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要

工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章基本初等函数(I)

(1)根式的概念

①如果x"R,〃>1,且〃wNf,那么x叫做a的“次方根.当〃是奇数时，a的"次方根用符号

后表示；当〃是偶数时，正数a的正的〃次方根用符号〃'表示，负的〃次方根用符号一标表示；o的〃次方根是0；

负数a没有〃次方根.

②式子板叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.当〃为奇数时，a为任意实数；当〃为偶数时，a>0.

a(a>0)

③根式的性质：(标)"=a；当〃为奇数时，府=a；当〃为偶数时，=\a\=<

-a(a<0)

(2)分数指数塞的概念

①正数的正分数指数幕的意义是：=痂3>0,加,〃eN+，且〃>1).o的正分数指数慕等于0.

m

②正数的负分数指数基的意义是：a~'==M(上)'"(a>0,m,〃eN+，且">1).0的负分数指数哥没有

aVa

意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.

(3)分数指数累的运算性质

①优•a'=ar+x(a>0,r,seR)②(")'=ars(a>0,r,seR)

③(ab\=arbr(a>0,b>0,re/?)

(4)洞数函数

|函数名称指数函数

定义函数y=a'(a>0且a工1)叫做指数函数

a>l0<a<l

y11y=ax/\y=ax'y

图象

7=1^^

J=I(0,1)

rnn

定义域R

------------------------*

值域0>(0,+℃)n

过定点图象过定点布,1),即当x=0时，y=l.X

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

屋>1(x>0)ax<\(x>0)

函数值的ax=1(x=0)ax=\(x=0)

变化情况

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

4变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低.

K2.23对数函数

(1)对数的定义

①若a"=N(a>0,且aN1),则x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,其中。叫做底数，N叫做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式与指数式的互化：x=log„No优=N(a>0,aw1,N〉0).

(2)几个重要的对数恒等式

log“1=0,log“a=\,log„ab=b.

(3)常用对数与自然对数

常用对数：IgN,即logioN；自然对数：InN,即log«N(其中e=2.71828…).

(4)对数的运算性质如果a>0,aWl,例>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log"N=log”(MN)②减法：log”M-loguN=log(,—

M

③数乘：n]oguM=log(,M(nG/?)④产，N=N

；7logN

⑤logM"=-\ogaM3工0,〃eR)⑥换底公式：log.N=——--(h>0,且Z?丰1)

"hlog/,a

(5)对数函数

数

函

称

名对数函数

定义函数y=logax(a>0且a/1)叫做对数函数

a>\0<a<1

I,x=lix=l

yy=log.*y'y=I%x

klu

图象

\：(1,0)

Kx

0/!d,o)x0

定义域/；(0,+8)!、

值域1'R

过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，y=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+QO)上是增函数在(0,4-00)上是减函数

logax>0(x>l)logaX<0(x>l)

函数值的log,,x=0(x=l)logx=0(x=l)

变化情况a

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a变化对图象的影响在第一象限内，〃越大图象越靠低；在第匹象限内，。越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出x,得式子x=°(y).如果对于y在C中

的任何一个值，通过式子x=°(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=e(y)表示x是y的函数，函

数x=G(y)叫做函数y=/(x)的反函数，记作x=f~\y),习惯上改写成y=f~\x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③将x-改写成y=1'(x),并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数y=/(x)与反函数y=f~\x)的图象关于直线y=x对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/T(x)的值域、定义域.

③若P(aS)在原函数丁=/(x)的图象上，则尸’3,。)在反函数旷=fT(x)的图象上.

④一般地，函数y=/(x)要有反函数则它必须为单调函数.

K2.32塞函数

(1)幕函数的定义

一般地，函数y=x“叫做黑函数，其中x为自变量，。是常数.

若〃为奇数q为奇数时，则y=x'是奇函数，若〃为奇数q为偶数时，则^=工'是偶函数，若〃为偶数,为奇数时，则

旦

y=x0是非奇非偶函数.

⑤图象特征：寤函数y=x"，xe(0,+8),当a>l时，若0cx<1,其图象在直线y=x下方，若x>l,其图象在直

线y=x上方，当e<l时，若0cx<1,其图象在直线y=x上方，若x>l,其图象在直线y=x下方.

工补充知识》二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：/(尤)=0x2+hx+c(awO)②顶点式：/(为=。。-/?)?+k(awO)③两根式:

/(X)=a(x-x,)(x-x2)(«*0)(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(X)更方便.

(3)二次函数图象的性质

①二次函数/(x)=ax2+bx+c(a*0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=——，顶点坐标是(——,——--).

2a2a4a

bbb

②当。＞0时，抛物线开口向上，函数在(一0。,——］上递减，在［——，+8)上递增，当%=——时，

2a2a2a

2

一/、4ac-b八zb,rbb

fminM=---------：当。＜0时，抛物线开口向下，函数在(一8,——］上递增，在［——，+8)上递减，当X二——

4。2a2a2a

Aac-b2

时，/nax(X)

4a

③二次函数/0)=0%2+次+。(。7())当公=方:-4。。＞0时，图象与x轴有两个交点

瓜

M。,。)也的0),|MM小口喘.

(4)一元二次方程依2+法+。=0(4#0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解

决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来

分析一元二次方程实根的分布.

设一元二次方程ax2+bx+c=0(ax0)的两实根为为，々，且X1〈X2.令，(x)=ax2+Ox+c,从以下四个方面

b

来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：x=——③判别式：△④端点函数值符号.

2。

④kiSx?<ki<=>

⑤有且仅有一个根x,(或满足(或M)<k，<=>fgfg<0,并同时考虑/G)=o或/(他)=0这两种

情况是否也符合

@fcl<X1<fe^pi<Xz<pt<=>

此结论可直接由⑤推出.

(5)二次函数/(x)=«%2+/>x+c(awO)在闭区间［p,q］上的最值

设/(X)在区间［p,q］上的最大值为M,最小值为加，令x()=g(p+q).

(I)当。>0时(开口向上)

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数丁=f(x)(xe£)),把使/(x)=0成立的实数x叫做函数丁=/(x)(xe£))的

零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(幻=0实数根，亦即函数y=/(x)的图象与X轴交点的

横坐标。即：

方程/(%)=0有实数根。函数y=于(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.

3、函数零点的求法：

求函数y=/(x)的零点：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根：

©(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零

点.

4、二次函数的零点：

二次函数y=ax2+hx+c(a声0).

1)△>0,方程内：2+法+。=0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二次函数有两个零点.

2)△=0,方程分2+法+。=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与X轴有一个交点，二次函数有一

个二重零点或二阶零点.

3)△<o,方程+版+c=0无实根，二次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.

高中数学必修2知识点

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；

(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(-)空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

3圆锥的表面积5=加./+讨2

2圆柱的表面积2

4圆台的表面积5=嬴跖5t+赧/+成2

5球的表面积S=4成~

(-)空间几何体的体积

2锥体的体积丫=：5底*/2

1柱体的体积V=S底X〃

3台体的体积4球体的体积V=-7rR^

3

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表示

(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45",且横边画成邻边的2

倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母a、6、丫等表示，如平面a、平面6等，也可以用表示平面的平行四

边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理：

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

AeL

BGL>LC

AGa

BGa

公理1作用：判断直线是否在平面内______________

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。厂卜B

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,/,c*/

使AWa、a、CWa。/・/

公理2作用：确定一个平面的依据。---------------

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直物"

符号表示为：PWaCB=>aP0=L,且PEL/

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系/\

1空间的两条直线有如下三种关系：------\

fffi交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线J平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：乐同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。