高中数学平面向量的数量积单元教学设计

平面向量的数量积单元教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

平面向量的数量积.

概念

物理背景pT向蚩的数量积，-性质+,

」运算律，

建议用2课时.

第1课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；

第2课时：平面向量数量积的运算律.

2.内容解析

本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概念,

引入向量"数量积"的概念.

向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配

律向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长凰可以看成两点间的距离）,

而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量.因此，向

量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用.

向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,

它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是，它的运算结

果不是向量而是数量.

本单元在研究平面向量的数量积时，借助物理中的有关模型或借助与数的运

算的类比，如借助物理中功的概念引出数量积的概念；借助与数的运算的类比,

发现数量积的运算律.本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学

思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核

心素养的极好载体.

基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：平面向量数量积的定义，平

面向量数量积的运算.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，

会计算平面向量的数量积.

(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

(3)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

2.目标解析

达成目标(1)的标志是，学生能从物理中"功”的具体实例中,引出向量

的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数

的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质.

达成目标（2）的标志是，学生能从图形中判断向量投影与投影向量，知道

向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量

投影与投影向量体会向量数量积的几何意义.

达成目标（3）的标志是，学生知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为

零，并能用这一结论进行向量运算.

三、教学问题诊断分析

两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因

此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数

量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时

候才能得心应手.

向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，

它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛.但与向量的线性运算不同的是，

它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的

关系.教学时，教师要强调：两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的

值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定,

并且规定，零向量与任一非零向量的数量积为0.

由于向量的数量积是学生没有遇到的一种新的运算，与数的乘法有联系，但

也有很大的区别.教学中，让学生思考向量运算与实数运算的一个不同之处，可

以让学生先独立思考，并从数量积的定义中想清楚：当a/0时，由ab=O不能

推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有ab=O.

对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可

能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，组正错误.为此，教科

书安排了一个思考栏目，教学时，要引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体

会向量运算与实数运算的差异.下面的解释供参考：对于实数a,b,c有

(a-b)c=a(b-c),但对于向量a,b,c,(a-b)c=a(b-c)未必成立.这是因为(a-b)c

表示一个与c共线的向量，而a(b-c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定

共线,所以(a*b)c=a(b-c)未必成立.

学生对向量数量积的认识是逐步加深的，必要时,教师可以提醒学生画图或

列表对比实数的乘法与向量的数量积运算的不同之处，或者再举一些反例强化学

生的认识.如已知实数a,b,c(b/O),则而灰m，.但对向量的数量积,

该推理不正确，即a.

基于上述分析，本单元的教学难点是：

①两个向量夹角的定义；

②平面向量数量积的定义及其运算律的理解；

③平面向量数量积的应用.

四、教学支持条件分析

为了加强学生对向量数量积、向量投影的直观感受，可以利用信息技术工具,

变化a,b大小或方向，体会向量数量积、向量投影的变化规律定义；在数量积

的运算律教学中，可以通过信息技术工具，验证向量数量积分配律.

五、课时教学设计

第1课时：向量的数量积(1)

(-)课时教学内容

平面向量数量积的物理背景及其含义.

(二)课时教学目标

(1)通过物理中的"功"等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意

义，会计算平面向量的数量积.

(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

(3)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

(三)教学重点与难点

重点：平面向量数量积的概念.

难点：平面向量数量积的概念的形成过程.

(四)教学过程设计

引言：前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然

的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？

设计意图：用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在

数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始,

要到哪里去.

1.创设问题情境，引入数量积概念

问题1在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生

位移S(如图所示),那么力F所做的功为W=炉佃cosd,其中e是F与s的夹

角.

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把

"功"看成是两个向量"相乘”的结果呢？

师生活动：

(1)学生回忆物理中功的有关知识，通过观察、操作、思考.

(2)教师可借机启发：因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所

以我们先要定义向量的夹角概念.

已知两个非零向蚩a,b,O是平面上的任意一点，作瓦5=a,OB=b,则4。8区

(OWJWTO叫做向量a与b的夹角.。

显然，当0=0时，a与b同向；当e=Ti时，a与b反向.

如果，与。的夹角骂，我们说垂直，记作"

(3)教师给出数量积的概念.

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数量|a||b|cos0叫做向量

a与b的数量积(或内积(innerproduct)),记作ab,即ab=|a||b|cos0.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

教师指出，对比向量的线性运算，向量线性运算的结果是一个向量，而两个

向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.

(4)在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意：

①两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两

向量夹角的余弦的乘积；

②零向量与任一向量的数量积为0,即a.0=0;

③符号在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用"x"代替；

④当时，cos^>0,从而。方>0；当兀时，cos^<0,从而。4<0.

(5)教师追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？

2n

例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角0=?■，求a-b.

例2设|a|=12,|b|=9,a-b=-54&，求a与b的夹角0.

设计意图：启发学生由物理中功的概念引入向量的数量积的概念，通过例题

巩固数量积的概念.

2.引入投影概念，体会投影意义

问题2定义：设a,b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点0,作

丽=a，砺=)，过点A作直线0B的垂线，垂足为出，我们把"叫做向量a

在b上的投影(projection).

设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为6，请你探究与e,a,

0之间的关系.

师生活动：

(1)教师与学生一起探究：

由可与e共线，于是可二入e.

下面探究人与a,0的关系，进而给出的明确表达式.我们分0为锐角、

直角、钝角以及e=o,B=TI等情况进行讨论.

当e为锐角时，与e方向相同，

z=|o.41|=|n|cos^,所以041=|。4卜=同8566；+.

当e为直角时，A=O,所以。…=即°丁；

当0为钝角时，°斗与e方向相反，所以

2=-[Q*卜THcosNWQ'=|^|cos(n-ZzlQUj=同cos,

即O.4=|o|cos8e.

当6=0时，入=同，所以城=IHe=|a|cosOe；

当e=T［时，x=-|a|,所以也=THe=|a|cos7te.

从上面的讨论可知，对于任意的06[0,TT],都有咏=1。18s8e.

(2)教师追问1：从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行

或垂直时,a在b上的投影具有特殊性这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？

如果a-b=0,是否有a=0,或b=0?

(3)教师追问2:依据数量积的概念以及投影向量的概念，数量积的几何

意义是什么？

教师与学生一起总结：从向量数量积的定义a-b二|a||b|cos0中可以看出，数

量积的几何意义主要表现在两个向量的模和它们的夹角，在投影向量的背景下,

数量积有更灵活的处理方法，几何意义也更丰富.

如果向量a在向量b上的投影向量为c,

当0°<(<90。时,a-b=|a|-|b|cos0>0,c-b=|c|-|b|cosO°=|c|-|b|,而|a卜cos

8=|c|,

所以ab=cb.

当90°<e<180。时，ab=|a||b|cos0<0,cb=|c|-|b|cosl80°=-|c||b|,

而同♦cosu-iq,所以a-b=c-b.

当9=0°或180°时，a=c,ab=cb.

综上可知：如果向量a在向量b上的投影向量为c,ab=cb;当然，如果

向量b在向量a上的投影向量为c,ab=ca.

依回(当00黑架90°)

（c为向量a在向量b上的投影向蚩）

-\c\\b\(当90WM180。)

设计意图：通过具体实例引入向量投影与投影向量的概念，并揭示了投影向

量与向量数量积的联系.

3.研究数量积的性质

问题3根据数量积的概念，数量积有哪些性质？

师生活动：教师与学生一起总结：

设a,b是非零向量，它们的夹角是0,e是与b方向相同的单位向量，则

(1)ae=ea=|a|cos0.

(2)ab=Q.

(3)当a与b同向时,a-b=|a||b|;当a与b反向时,ab="|a||b|.

特别地，4：a=1aF或⑷=历7.

此外，由|cose|41还可以得到

(4)|ab|<|a||b|.

学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师给予必要的补充和提示,

学生在推导过程中理解并记忆这些性质.

设计意图：结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量

积的性质，培养学生独立思考的能力.

4.课堂练习

教科书第20页练习.

设计意图：学生独立尝试，巩固向量数量积的性质.

5.小结提炼

问题4通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、

经验等方面谈谈.

师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，最后让学生陈述其观点.

设计意图：对本节课作小结提炼，进一步理解平面向量数量积的概念.

6.作业

习题6.2第11,20题.

(五)目标检测设计

1.下列各式中正确的是().

A.Oa=OB.Oa=OC.Oa=OD.Oa=O

设计意图：数量积的概念.

2兀

2.已知e为单位向量，|a|=4,a与e夹角为了，则a在e方向上的投影

向量为----------------

设计意图：平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

3.已知同=33b|=8,则：

(1)当ab=O时，a与b的关系为---------------

(2)当a-b=24时，a与b的关系为--------------•

(3)当a-b=-12^时，a与b的夹角为--------------•

设计意图：根据数量积判断两个向量的的关系.

第2课时：向量的数量积(2)

(-)课时教学内容

平面向量数量积的运算律.

(二)课时教学目标

理解平面向量数量积运算律，会运用向量数量积的几何意义证明数量积的分

配律，并能运用向量数量积运算律进行数量积运算.

（三）教学重点与难点

重点：平面向量数量积的运算律.

难点：平面向量数量积的分配律的证明.

（四）教学过程设计

1.复习引入

问题1向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性

质？

师生活动：

学生独立思考并回答：

a-b=|a||b|cosO,其中B为向量a与b的夹角.

设a,b是非零向量，它们的夹角是e,e是与b方向相同的单位向量，则

①a・e=ea=|a|cos0.

②@J_5oab=0.

③当a与b同向时,a-b=|a||b|;当a与b反向时,a-b=-|a||b|.

特别地，。"=即或.

@|a-b|<|a||b|.

与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否

满足一些运算律.

设计意图：引导学生复习数量积的概念，为后续学习运算律打基础.

2.创设问题情境，引入数量积运算律

问题2类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数

量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量a,b,c和实数入，有

①a・b=ba;

(2)(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab);

(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

师生活动：

(1)学生独立证明①、②；

(2)教师与学生一起利用向量数量积的几何意义证明分配律③.

证明：如图，任取一点。，作瓦5寸，0B=b>OC=c,OD=a+b.

设a,b,a+b与c的夹角分别为a，ft,8,它们在c上的投影分别为

如，丽，西，与c方向相同的单位向量为e,则

=|a]cosfte,。4=bcosfte,OI\=|a+Acos^e.

因为a=BD,所以Q*=BQ,则==OBX-OAX,,即

\a¥bcos8eHalcosfte+b\cosfte.

整理彳导(|a+〃cos8一|a|co§a一|加cos&)e=0

所以.|a+力cosd-⑷85a一囿cos&=0.即la+Acos田alcos仇+1凯cos£.

所以」a+。ccos0=>a||clcosa-6：c|cosft

因此匕(a+b>c=a・c+b・c.

所以向量的数量积运算满足分配律.

(3)教师追问：设a,b,c是向量，(a,b)c=a(b©一定成立吗?为什么?

师生活动:学生思考后回答，教师总结:对于实数a,b,c,W(a-b)c=a(b-c);

但对于向量a,b,c,(a-b)c=a(b-c)不一定成立.这是因为(aeb)c表示一个与c

共线的向量，而a(b-c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以

(a・b)c=a(b-c)不一定成立.

设计意图：有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积

运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律.

2.例题分析与知识巩固

例1我们知道，对任意a,b£R,恒有s-ayu+z而+加，力力-加

对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论？

(1)(4±"=aH2a＞不；；

(2)(。+»)(。-。)=东-岳.，,

解：(1)(a-b＞飞+b)9-g=aa-ab+ba-bb=a：+?ab-b?$•

(2)(fl+Ay^a-b^aa-ab-ba-bb=^a2-b:

因此，上述结论是成立的.

例2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60o,求(a+2b)-(a-3b).

解:(a+2b)-(a-3b)=aa-3a-b+2ba-6bb

_|。卜小4-6也口＜

=62-6X4XCOS600-6X42

=-72.

例3已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线.当k为何值时，向量a+kb与

a-kb互相垂直？

解:a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb＞(a-kb)=O,即/加乒=0.

a

“2=32=9,分=42=16,所以9-16"=0.因此4±—

因为4.

也就是说，当‘；时，a+kb与a-kb互相垂直.

设计意图：通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算.

3.课堂练习

教科书第22页练习.