高中数学模型解题

高中数学解题方法

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序

性”。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=lgx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的

点的轨迹

2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是--切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=卜以？-2x-3=()},B={xlax=l}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

（答:T,0,

显然，这里很容易解出人={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或

者3。根据条件，可以得到a=T,a=l/3.但是，这里千万小心，还有一个B为

空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

(1)集合{a/a?,........,aj的所有子集的个数是2n；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a来说，有2种选择(在

或者不在)。同样，对于元素出,a3,……a"，都有2种选择，所以，总共有2"种

选择，即集合A有2"个子集。

当然，我们也要注意到，这2"种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部

不在的情况，故真子集个数为2"-1,非空真子集个数为2"-2

（2）若A工BoAAB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于X的不等式号二!<0的解集为M,若3eM且5任M,求实数a

的取值范围。

.a•3-5

（V3eM।•7<

awl,()U(9,25)

.a•5-5

任M

'.m

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉

你函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在（-oo,l）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，就应

该马上知道函数对称轴是x=l.或者，我说在上，也应该马上可以想到m,n实

际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的儿种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且"（△）和“非”（「）.

若p/xq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A={xlx满足条件p},8={xlx满足条件q},

若:则p是q的充分非必要条件<=>AB；

若;则〃是q的必要非充分条件OAB；

若;则p是q的充要条件0AB；

若:则p是q的既非充分又非必要条件O

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中

与之对应元素的唯一性，哪儿种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则

从A到B的映射个数有n”个。

如：若4={1,2,3,4},8={a,0,c}；问：A到B的映射有个，8到A

的映射有个；4到8的函数有个，若A={1,2,3},则A到8的---

映射有个。

函数y=火x）的图象与直线x=。交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法:①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=迎二a的定义域是

lg（x-3）

（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

函数定义域求法：

•分式中的分母不为零；

•偶次方根下的数(或式)大于或等于零；

•指数式的底数大于零且不等于一；

•对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

•正切函fxeR,+^,keZ

•余切函数〉=以)"(xeR,且x。左肛keZ)

•反三角函数的定义域

函数y=arcsinx的定义域是［—1,1］,值域是22,函数y=

arccosx的定义域是［—1,1］,值域是［0,九］,函数y=arctgx的

定义域是R,值域是2*2,函数y=arcctgx的定义域是R,值域

是(0,n).

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件

的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域?

如：函数f(x)的定义域是［a,b］,b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定

义域是。(答：［a,-a］)

复合函数定义域的求法：已知y=/(x)的定义域为何,〃］,求>=/［g(x)］的定

义域，可由加Wg(x)<”解出x的范围，即为y=/［g(x)］的定义域。

例若函数y=/(x)的定义域为g,2,则/(logzx)的定义域

分析：由函数y=/(x)的定义域为g,2可知：^<x<2；所以y=/(log2x)

中有工Wlog,x<2o

2-

解：依题意知：-<logx<2

22

解之，得V2<x<4

/(log2》)的定义域为{xl0〈xK4}

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=’的值域

X

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=/-2x+5,xe[T,2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用

其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

ay=盘型：直接用不等式性质

hY

b.y=—型,先化简，再用均值不等式

x+mx+n

c..丫二人「山八丁”型通常用判别式

x+mx+n

,x2+mx+n用|

d.y=--------型

x+n

法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

，|X2+X+1(x+l)2-(x+l)+l.11、。11

例K|：y=-------=----------------=(X+l)+-----1>2-1=1

X+1X+lX+l

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=3"+4值域。

5x+6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性,

最常用的就是三角函数的单调性。

-r>we.'_12sin0—\2sin0—\g/十口、

例求函数ry=1—,y=-----y=-----二的值域。

e+11+sin。1+cos。

ex-ll±2

y------=>e>0

婷+1l-y

2sin^-l,.八，i+y

y=-----------=>lsin01=1i<i,

1+sin62-y

2sin^-l_.八i万、

y=-----------=>2sin夕一1=y(l+cos0)

1+cos0

2sin夕一ycos0=1+y

“+sin(6+x)=1+y,即sin(6+x)=「+)，

又由卜in(6»+x)|<1知1+y<1

J4+V

解不等式，求出y,就是要求的答案

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=2'5+log,Vx-1(2WxW10)的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+1x-1的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=l上，

(D—J的取值范围

X4-2

(2)y-2x的取值范围

解：⑴令一】一=&，则y=k(x+2),是一条过(-2,0)的直线.

x-2

d<R®为圆心到直线的距离,R为半径)

(2)令y-2x=〃,即y-2x-。=0,也是直线dd</?

例求函数丫=收二方+限画的值域。

解：原函数可化简得：y=Ix-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=Ix-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=Ix-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：［10,+8)

例求函数y=鼻f-6x+13+Jx?+4x+5的值域

解：原函数可变形为：y=2222

>-3)+(0-2)+>+2)+(0+1)

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

y,nin=IAB|=J(3+2)〈(2+l)、回,

故所求函数的值域为［例\+8)。

例求函数y=JX?-6X+13-+4x+5的值域

解：将函数变形为：y=222

>-3)>(0-2)->+2)+(0-1)

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之

差。即:y=|AP|-|BP|

由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P,则构成△ABPL根

据三角形两边之差小于第三边，

有|IAP1|-IBP1||<|AB|=43+2)2+(2-1)、而

即：_后<y<V26

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|-|BP||=IAB|=7260

综上所述，可知函数的值域为：(-V26,-V26)o

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A,B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使

两点A,B在x轴的同侧。

9、不等式法

利用基本不等式a+b22疝，a+b+c233麻(a,b,cdR，),求函数的最值，其题型

特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添

项和两边平方等技巧。

例：

,2

x~+—(x>0)

X

(应国a网处B菖W瓦晦-,2呼邕隹3者的乘积变成常数)

(应用公式abc”，)3时，应注意使3者之和变成常数)

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数尸售的值域

J-+2

y=-----

%+3

x+2w0时，

x+2+1/-1_八1

—/=Jx+24—/220Vy«-

yJx+2Jx+22

x+2=0时，y=0

0<y<-

-2

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择

恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各

种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记

得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令1=Jx+1,贝UtNO

X=12-1

.,.f(t)=et2_|+t2-l

，f(x)=e*2T+x2-1(x>0)

13.反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

1+x(x>0)

如：求函数f（x）=,，的反函数

-x2(X<0)

X—1(X>1))

(答：f-'(x)=

<-V-x(x<0)

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒

的人提供了大方便。请看这个例题:

（2004.全国理）函数y=ET+1（x21）的反函数是（B）

A.y=*2—2矛+2（KI）B.y=y—2x+2（x21）

C.y-x—2x（XI）D.y=x-2x（x\l）

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果

不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我

一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为x）=1,那反函数值域也为y>=l.排除选项C,D.现在看值

域。原函数至于为y>=l,则反函数定义域为x>=l,答案为B.

我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白

呢？

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函

数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数

中的X）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y,x）

关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,则f(a)=boL(b)=a

f'[f(a)]=f-'(b)=a,f[f-,(b)]=f(a)=b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

(04.上海春季高考)已知函数f(x)=k>g3(&+2),则方程/T(X)=4的解

X

x=.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数

的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？(也可能是告诉你反函数

的x值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我

15.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得Xi,X2,找出f(xi),f(xj之间的大小关系

可以变形为求f一的正负号或者也1与1的关系

玉一%/(x2)

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，函数f(x)在关于点(a,0)的对称

区间具有相同的单调性；(特例：奇函数)

②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则函数f(x)在关于点(a,0)的对

称区间里具有相反的单调性。(特例：偶函数)

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当c<0

时，它们是反向变化的。

③如果函数fl(x),f2(x)同向变化，则函数fl(x)+f2(x)和它们同向变化;

(函数相加)

④如果正值函数fl(x),f2(x)同向变化，则函数fl(x)f2(x)和它们同向变

化；如果负值函数fl(2)与f2(x)同向变化，则函数fl(x)f2(x)和它们反向

变化；(函数相乘)

⑤函数f(X)与「-在f(x)的同号区间里反向变化。

f(x)

⑥若函数u=<l>(x),x[a,与函数y=F(u),uG[<1>(a),巾(B)]或

u£[6(B),6(a)]同向变化,则在[a,8]上复合函数y=F[6(x)]是递

增的；若函数u=6(x),x[a,B]与函数y=F(u),uG[6(a),6(B)]

或uC[e(B),6(a)]反向变化，则在[a,B]上复合函数y=F[6(x)]

是递减的。(同增异减)

⑦若函数y=f(x)是严格单调的，则其反函数x=fT(y)也是严格单调的，而

月.，它们的增减性相同。

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数

增增增增增

增减减//

减增减//

减减增减减

如：求y=log](-x2+2x)的单调区间

2

(设u=-x2+2x,由u〉。贝iJO<x<2

且log]U(,u=-(x-l)2+1,如图：

2

当xe(O,1]时，uT,又log|U)，...yj

2

当xc[l,2)时，uJ,又.*.yT

2

)

16.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有f'(x)20则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x)<0呢？

如：已知a>0,函数f(x)=x，-ax在［1,+8)上是单调增函数，则a的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令F(x)=3x2—a={x+J|卜卧0

则x"A或x>A

由已知f(x)在［1,+8)上为增函数,则唇1，BPa<3

，a的最大值为3)

17.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立of(x)为奇函数o函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是

偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若f(x)=a'2：+a-2为奇函数,则实数a=

2X+1-------

(•；f(x)为奇函数，xeR,又OeR,/.f(0)=0

a・2；,a—2=0,.2=1)

2°+l

2X

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xw(O,1)时，f(x)=——，

4'+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2~x

(令X£(-l,0),贝|J-X£(O,1),f(-x)=———-

又f(x)为奇函数，...f(x)=-=

4+11+4

2、xG(-1,0)

4**1v_n

又f(0)=0,，f(x)=)

-----XG(0,1)

[4X+1V)

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数

的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算/(-x),然后根据函数的奇偶

性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形

f(x)+f(-X)=0奇函数

f(x)-f(-x)=0偶函数

f(x)

布=1偶函数

f(x)

7H)=-1奇函数

三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非偶奇

偶奇偶非奇非偶奇

偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TwO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=—f(x),则

(答：f(x)是周期函数，T=2a为f(x)的一个周期)

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=O,我们要

马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：

/(x)+f(x+t)=0

=>/(x)=f(x+2f),

/(x+r)+f(x+2t)=Q

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这

都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数

字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函

数关于直线x=a对称。

又如：若了(x)图象有两条对称轴x=a,x=b

即/(a+x)=/(a-x),/(b+x)=/(b-x)

/(x)=/(2a-x)

>=>f(2a-x)=f(2b-x)

/(x)=/(2匕一x)

令，=2a-x,则2b-x-t+2b-2a,f(t)-f(t+2b-2a)

即/(x)=/(x+2〃-2a)

所以，函数〃x)以I为周期(因不知道a,曲大小关系

为保守起见，我加了一个绝对值

如:

y

19.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于上场对称联想点(x,y),(-X,y)

f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称联想点(x,y),(x,-y)

f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称联想点(x,y),(-x,-y)

f(x)与fix)的图象关于直线y=x对称联想点(x,y),(y,x)

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称联想点(x,y),(2a-x,y)

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称联想点(x,y),(2a-x,0)

将y=f(x)图象左移心>0)个单位〉y=f(x+a)

右移a(a〉0)个单位y=f(x-a)

上移b(b>0)个单位>y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出

来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么

由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，

就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)

注意如下“翻折”变换：

/(x)——把x轴下方的图像翻到上面

/(%)——把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=|log2(x+1)|及y=log21x+的图象

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(1)一次函数：y=kx+b(kwO)(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kk

(2)反比例函数：丫=一**0)推广为丫=6+——(kY0)是中心0，(a,b)

xx-a

的双曲线。

(3)二次函数y=ax2+bx+c(aH0)=a(/x+V)+丝詈2-图象为抛物线

4ac-b2>

顶点坐标为对称轴x=T

4a)

开口方向：a>0,向上，函数yminM隼a

4ac-b2

a<0,向下，y

max4a

根的关系:

aaIaI

二次函数的儿种表达形式：

/(x)=ax2+bx+c(一般式)

/(x)=a(x-〃z)2+〃(顶点式，(m,n)为顶点

/(x)=a(x-X］)(x-x2)(X1,X2是方程的2个根)

/@)=4(4一%)(彳一，2)+-(函数经过点(X［，〃)(X2，〃)

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一

一二次方程

ax2+bx+c=0,A〉0时，两根x「x2为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

一h

区间在对称轴左边(“<----)/max=/(〃?),/min=/(“)

2a

区间在对称轴右边(〃?>-■—)fmax=f(n),fmin=/(m)

2a

b

区间在对称轴2边(n<----<m)

2a

4ac—b~

fmin=--——,fmax=max(/(〃z),/(〃))

4a

也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大

(只讨论。〉0的情况)

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的两根都大于ko〈-色>k

2a

f(k)>0

--根大于k,--根小于k<=>f(k)<0

A>0

b

m<--<n

在区间(m,n)内有2根o<2a

/(⑼>0

./(«)>0

在区间(m,n)内有1根o/(m)/(«)<0

(4)指数函数：y=ax(a>0,aHl)

(5)对数函数y=logax(a〉0,awl)

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等

式一定要注意等号成立的条件)

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(a，0),a-p=—(a0)

ap

m____m[

a7=而(a>0),a-"=(a>0)

am

对数运算：logq(例xN)=logf/M+log.N^M>0,N>0)

log—=logM-logN,log=-logM

aNaaana

对数恒等式:aU=x

对数换底公式：log“b=座上nlog=-loga&

tt

logram

1,I

og(,x=-------

log,a

21.如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如:(1)xeR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,..........)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t•t)

.*.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

••.f(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性：f(x2)=f[(x2-xJ+Xj]=...

(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x,

2、令x=0或1来求出f(0)或f⑴

3、求奇偶性，令丫=一x；求单调性：令x+y=xi

儿类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

fQx)=kx(AT6O)---------------------------f(%±y)=/'(%)土f(y)

2.幕函数型的抽象函数

f(x)=x----------------fQxy)=_f(x)f(y)；/(-)=

yf(y)

3.指数函数型的抽象函数

f(x)=a'------------------f(x+y)=f(jr)f(y)；f(.x—

/(y)

4.对数函数型的抽象函数

Y

fCx)=logax(a>0且aWl)----f(x*y)=f(x)+f(y)；/*(—)

y

=f(x)—f(y)

5.三角函数型的抽象函数

f(x)=tgx

f(x)=cotx------------------------f(x+y)=J""())_I

〃x)+/(y)

例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+/(y),且

当x〉0时，f(x)>0,f(-l)=-2求/'(x)在区间［-2,1］上的值域.

分析：先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(%)=/[(用一为)

+(及-Xi)+F(%))；再根据区间求其值域.

例2已知函数/'(x)对任意实数x、y均有F(x+y)+2=f(x)+f(y),

且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式『(才一2a-2)<3的解.

分析：先证明函数f(*)在R上是增函数(仿例1)；再求出f(1)=3；最

后脱去函数符号.

例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(一

1)=1,f(27)=9,当OWx<l时，f(x)e[0,1].

(1)判断/'(x)的奇偶性；

(2)判断/'(x)在[0,+8]上的单调性，并给出证明；

(3)若a20且f(a+1)W%，求a的取值范围.

分析：(1)令y=-1；

(2)利用f(X、)=/■(土•为)=f(%)f〈X〉,

x2x2

(3)0-

例4设函数f(x)的定义域是(一8,+oo),满足条件：存在矛|工吊，

使得f(小)WF(毛)；对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求：

(1)f(0)；

(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.

分析：(1)令x=y=0；(2)令尸杼0.

例5是否存在函数f(x),使下列三个条件：①f(x)>0,xeM②/'(a+b)

=/(a)f(b),a、bGTV；③/'(2)=4.同时成立？若存在，求出f(x)的解

析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f(x)=2'；再用数学归纳法证明.

例6设f(X)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足

(x)+f(y),f(3)=1,求：

(1)f(1)；

(2)若/'(x)+f(x-8)W2,求x的取值范围.

分析：(1)利用3=1X3；

(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y=fCx)的反函数是尸g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),

那么g(a+b)=g(a)-g(b)是否正确，试说明理由.

分析：设f(a)—in,f(b)—n,则g(加=a,gQn)=b,

进而m+n=f(a)+/(b)=f(ab)=flg(m)g(〃)]

例8已知函数/'(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①不、也是定义域中的数时，有/'(用一天)=/区)/(三)+1；

/。2)-/(七)

②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数)；

③当0<x<2a时，f(x)<0.

试问：

(1)f(x)的奇偶性如何？说明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的单调性如何？说明理由.

分析：(1)利用f[—(由一用)]=—/[(不一/2)]，判定f(X)是奇函

数；

(3)先证明f(x)在(0,2a)上是增函数，再证明其在(2a,4a)

上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理

解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因

此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函

数问题.

例9已知函数f(x)(xWO)满足f(xy)—f(x)+f(y),

(1)求证：/(1)—