高中数学高三素材近年全国高考数学试题分析小结-高中数学

近年全国高考数学试题分析小结

命题走势(1)(1)三年的“集合”考了哪些内容?

集合是近代数学的基础，简易逻辑为数学学习和运用知识解决问题提供了知识上的准备，是历年高

考的必考点.纵观近三年的高考试题，集合、简易逻辑以选择题、填空题为主，难度多位于中、低档.

本章的考查的重点集中体现在以下几点：

一、集合本身的知识，即集合本的有关概念、关系运算等

1.(07全国I)设e7?,集合{l,a+b,a}={0,—,Z?},则b-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

【解答】C先看数字0.只有a+40或a=0(a为分母,不合题意，舍去).则只有片披再看第二个集合中

的"只有对应第一个集合中的1,h-a=2.答案为C.

【说明】考查了集合的概念中的元素的三性.

2.(07江西)若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+lK)且x-2y-lW0,x,yGM},则N中元素的个

数为()

A.9B.6C.4D.2

【解答】C因为x、yCM,故把所有可能共9种情况代入验证即可.

【说明】关于集合元素个数的问题.

二、对集合语言与集合思想的运用，如方程与不等式的解集、函数定义域和值域、曲线间的相交问题等，

也即集合作为工具在数学中的应用。

3.(07年山东)已知集合加={-1,1},N=«xg<2川<4,xeZ>,则Mp)N=()

A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}

【解答】集合例中没有元素0,因此C、D排除，再看1是否是N中元素，代入验算，不合适，因此A

被排除.答案为B.

【说明】此题中集合M是用列举法给出的，不要弄错哦！

4.(07年安徽)若4=卜£2|2422T<8},fi=1%€R||iOg2x|>l},则AC(CR8)的元素个数为

(A)0(B)1(C)2(D)3

【解析】CA={xeZ|2422T<8}={o,]},台=卜eR||log?x|>1}={X|x>2或0<x<；}，

AC(CRB)={0』},其中的元素个数为2,选C。

【说明】考查了补集、交集的运算.

5.(07年湖北)设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|xeP,一旦x史Q},如果P={x|log2x<l},Q={x||x-2|<l),

那么P-Q等于

A.{x|O<x<l}B.{x|O〈xWl}C.{x|lWx<2}D.{x|2Wx<3}

【解答】看关键数1：1GP而1eQ,所以A、D排除.当x=L满足条件.答案为B.

2

【说明】新定义一个集合的运算规则，要求考生现场发挥.

6.(07北京)已知集合A={%,42，。3/",。*}(%22)其中为€2(7=1,2/一,％),由A中的元素构成两

个相应的集合S=6A,beA,a+b&A\,T={(a力)|a6A,beA,a-b&A},其中(a,〃)是有序

实数对，集合S和T的元素个数分别为孙〃.若对于任意的。eA,总有-。定A,则称集合A具有性质P.

(I)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P,并对其中具有性质尸的集合写出相应的集合S和IT；

(II)对任何具有性质P的集合A,证明：n<M"F；

2

(III)判断相和〃的大小关系，并证明你的结论.

【解答】(I)解：集合也,1,2,3}不具有性质P,{-1,2,3}具有性质P,其相应的集合S和丁是

5={(-1,3),(3.-1)U={(2-1),(2,3))；

(II)证明：首先由A中的元素构成的有序实数对共有Y个，因为0eA,(七,aJwT。=1,2,…,竹，

又因为当aGA时，一〃eA,

所以当(四,叫)eT时,(叫,火)任7(i=1,2,…㈤，于是集合T中的元素的个数最多为

〃=*2_。=刿左_1)，即〃4M7)

(III)解：机=〃，证明如下：

①对于(a,/?)eS,根据定义则a+beA,从而(a+仇6)eT

如果(a,。)与(c,d)是S中的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，于是a+A=c+d与

b=d中至少有个不成立，故(a+b,b)与(c+d,d)也是T中的不同元素.可见S中的元素个数不多于T

中的元素个数，即加4”；

②对于(a,h)wT,根据定义aeAgeA,贝服一匕wA,从而(a-仇b)eS

如果(a,b)与(c,d)是T中的不同元素，那么a=c与8=d中至少有一个不成立，于是a-b=c-"与

b=d中至少有一个不成立，故(a-仇防与(c-d,d)也是S中的不同元素.可见T中的元素个数不多于S

中的元素个数，即〃W〃z.

由①②可知加=”.

【说明】本题以集合为载体，涉及到它的性质，考查了考生的知识迁移能力和抽象思维能力.

三、命题和充要条件的知识，命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力

7.（07湖北）已知〃是/•的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的

必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③厂是q的必要

条件而不是充分条件；④是「s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则

正确命题序号是（）

A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤B

【解答】B由题意，得

所以答案为B.

【说明】本题考查充要条件的概念及“逻辑非”命题.

8.（07江西）设p-./（x）=/+lnx+2f+机x+1在（0,+oo）内单调递增，q-机》-5,贝Up是q的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】山题意知f'（x尸—+,+4%+加之0在（0,+8）上恒成立.

X

则机>—[e*+—+4x）恒成立.

当0<x4,时，令/+^+4x〉5;①

2x

当x>L时，令e*+」+4x>5.②

2x

综合①②-1/+工+4二|的最大值要小于-5,不妨设为c.

\x）

不可能推出

但由皿2-5,可以推出m^c.

故B正确.

【说明】专题考查了函数与导数恒成立问题的综合应用.

命题走势（4）三年的“三角函数”考到怎样难度?

三角函数的考查形式与特点主要有：

一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域

与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.

【例1】（2007年四川）下面有五个命题:

①函数ynsinSr-cos气的最小正周期是兀.

②终边在y轴上的角的集合是｛a|a=—,Z€Z|.

③在同一坐标系中，函数产sinr的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

④把函数y=3sin（2x+巴）的图象向右平移-得到y=3sin2x的图象.

36

⑤函数y=sin（x-］）在［0,兀）上是减函数.

其中真命题的序号是①④（（写出所有真命题的编号））

解答：®y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-coslx,正确；②错误；®）?=sinx,y=tanx和y=x

在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误.故选①④.

【点评】本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识.三角函数的概念，

在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中,

三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.

7T

【例2】（2007年安徽）函数/（x）=3sin（2x—§）的图象为C：

①图象C关于直线x=U万对称；

12

7FSil

②②函数/（x）在区间（一吉,雪）内是增函数；

77

③由y=3sin2x的图象向右平移g个单位长度可以得到图象C.

以上三个论断中正确论断的个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

TT7T\］

解答C①图象C关于直线2x——=左》+—对称，当人1时，图象C关于犬=一万对称；①正确；②X

3212

TTS1T7T7TTTTTSTT

W（—2L,把）时，2x—工6（一巴，二），函数/（X）在区间（一三，把）内是增函数；②正确；③由

12123221212

TT24

y=3sin2x的图象向右平移§个单位长度可以得到y=3sin（2x---）,得不到图象，③错误；；.正确

的结论有2个，选C.

【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.

二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三

角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题.

【例3】（2007年安徽）已知0<a<：,/为/*）=85（2%+1）的最小正周期，

tan卜+»1b=(cosa,2),且〃•力=加・

求2cos2a+sin2(a+/7)的值

cos。一sin。

C兀

解答:因为P为f(x)=cos2xH—的最小正周期，故/?二兀.

8

因a功=机，又4功=8$。72111(/+；4)-2.故cosa・tan(a+；1£)=机+2.

4

TT

由于0＜。＜一，所以

4

2cos2a+sin2(a+/7)_2cos2a+sin(2a+2K)

cosa-sinacosa-sina

2cos2a+sin2a2cosa(cosa+sina)

cosa-sinacosa-sina

c1+tana

2cosa-----------=2cosa.tan[a+；)=2(2+m).

1-tana

【点评】本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.属

于三角函数求值问题.

本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角

或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.

【例4】(2007年天津)已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xGR.

(I)求函数/（x）的最小正周期;

7T3兀

（n）求函数/（x）在区间年上的最小值和最大值.

解答:(I)解：/(%)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=V2sinf2x-1.

因此,函数/（X）的最小正周期为71.

兀3兀3兀

（n）解法-：因为/（X）=J5sin在区间上为增函数，在区间—上为减函数,

48884

又小）

3兀五，于V2sin37171-V2cos—=-1

8T-44

故函数/⑴在区间］年上的最大值为亚最小值为-L

解法二：作函数/（x）=J5sin2x-巴在长度为一个周期的区7间19上兀的图象如下:

484

由图象得函数/CO在区间上的最大值为JL最小值为引=-i.

【点评】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

y=Asin(«yx+e)的性质等基础知识，考查基本运算能力.

三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒

等变换的技能.

【例5】(2007年四川)如图，小以1是同一平面内的

三条平行直线，(与6间的距离是1，6与A间的距离是2,

正三角形A8C的三顶点分别在/卜卜、上，则AABC的边长

是()

(A)2石(B)半

(C)亚(D)国

43

解答：D因为小心A是同.平面内的三条平行直线，

/1与/2间的距离是1,12与h间的距离是2,所以过A作

，2的垂线，交6、/3分别于点。、E,如图，则

ZBAC+ZCAE,即/BAE»=60°+/CAE,记正三角形ABC

的边长为两边取余弦得：

—=cos60°cosCAE-sin600sinCAE,

a

整理得—9)=1,解之得,a=当i,故选D.

【点评】本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新

课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.

【例6】(2007年全国I)设锐角三角形ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.

(I)求8的大小；

(II)求cosA+sinC的取值范围.

解：(I)由a=2bsinA,根据正弦定理得sin4=2sin8sinA,所以sin5=」，

2

jr

由XABC为锐角三角形得B=一.

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin-

I6

-cosA.+si.n71—+A.

16

cosA+—cosA+——sinA

22

Gsin

由△ABC为锐角三角形知,

所以，sin（A+巴]<—.由此有—<Jisin（A+巴]<-x^3，

2[3}22[3）2

（ha、

所以，cosA+sinC的取值范围为—.

（22）

【点评】（1）问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正

余弦公式应用，但题干中△A8C为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.

四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于

近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题.

【例7】如图，甲船以每小时30&海里的速度向正北方航行，/

乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4处时一，乙船位于

甲船的北偏西105°方向的四处，此时两船相距20海里，当甲船

航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向

105,

的鸟处，此时两船相距10夜海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结4圈，由已知A2&=IOJ5,

=30V2x—=1072,

60

AtA2=,

又ZAtA2B2=180°-120°=60°,

.•.△AA24是等边三角形,

AtB2==I0V2,

由已知，A[B[=20，

/用402=1050-60°=45',

在△4。耳中，由余弦定理,

用或=A/；+4或_24与AiB2cos45°

=202+(10V2)2-2x20x1072x^-

=200.

，B02=10&.

因此，乙船的速度的大小为竺也x60=30及（海里/小时）.

20

答：乙船每小时航行30底海里.

解法二：如图,连结二耳,由已知=20,A,A2=3oV2x—=10>/2,ZB.A.Aj=105",

60

cos105°=cos(450+60°)

=cos45°cos60°-sin45°sin60°

V2(l-V3)

=----------,

4

sinl050=sin(45o+60o)

=sin45°cos600+cos45°sin60°

：血(1+6)

4'

在△444中，由余弦定理，

A2B^A2B；+A,A^-2A}BiA,A,cos105°

=(10扬2+202一2x1。底x20x^^^

=100(4+273).

=10(1+73).

由正弦定理

Afi20立(1+6)V2

sinNA&B]sinNB144

A2%10(1+73)4

NA4B1=45°,即ZB,AS,=60°-45°=15°,

cos15°=sin105°=L.

4

在△台出当中，由已知4反=100,由余弦定理,

B［B；=+A2B；+2A2BiA2B2cos15°

=102(l+V3)2+(10V2)2-2x10(1+V3)xl0V2x^(1+^

4

=200.

B［B2=I0V2,

乙船的速度的大小为竺也x60=30JI海里/小时.

20

答：乙船每小时航行30近海里.

【点评】本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时

应按照山易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.

由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题用三角

函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.

【例8】已知函数/(》)=》2'-2，(犬+》)+》2+2/+1,g(x)=；/(x).

⑴证明：当，<2行时，g(x)在R上是增函数；

(1D对于给定的闭区间［a,b］,试说明存在实数%,当♦〉人时，g(x)在闭区间［小切上是减函数；

3

(III)证明：/(X)2］,

解答：(I)证明：由题设得g(x)=e2，—KeX+l)+x,g'(x)=2e2x—fe、+L

又由2ex+e-》2应，且tv2行得tv2ex+e-x,即

g'(x)=2e2x_面+l>0.

由此可知，g(x)为R上的增函数.

(H)证法一：因为g'(x)<0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数上使得

g'(x)=2e2x-te'+1<0,即t>2e'+e'x

在闭区间［a,6］上成立即可.

因此产2/+e-*在闭区间［a,6］上连续，故在闭区［a,6］上有最大值，设其为衣，衣时，g'(x)<0

在闭区间［a,分上恒成立，即g(x)在闭区间［a,6］上为减函数.

证法二：因为g'(x)<0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数片使得，>“时

g'(x)=2e2x-tex+KO,

在闭区间［a,6］上成立即可.

令m=e",则g'(x)<0(xe［a,h］)当且仅当

2m2-tm+1<0(/Me［e",eb］).

而上式成立只需

'2e2a-tea+\^Q,『>2］+""

<即a〈

2e2h-r?+1^0,［t>-2eb+e-h

成立.取2e"+"a与+中较大者记为A,易知当£>★时，g'(x)<0在闭区［a,6］成立，即g(x)

在闭区间［a,6］上为减函数.

(III)证法一:设F(t)=2--2(ex+x)t+e2x+♦+1,即

FS=2(t-红黑)2+1(1-x)2+1,易得

1,

F(t)^-(ex-x)2+l.

令"(x)=e*—x,则H'(X)=ex一x,易知"'(0)=0当x>0时，H'")>0;当x<0,"'")<0,

故当尸0时，"(X)取最小值，"(0)=1所以

—1—x)~+125，

33

于是对任意/、t,有即/(x)》］.

证法二：设尸。)=2〃—2(/+x)f+e2*+F+1,

3

F(t)>-,当且仅当

2t2-2(ex+x)t+e2x+x2>0

只需证明

4(ex+x)2-2x4(e2x-x2-^0,即

(e,-x)22l

以下同证法一.

证法三：设尸。)=2"—2("+x)f+e2、+x2+i,则

F'(t)^4t-2(er+x).

e"+无e"+xex4-xex

易得尸(土于£)=0.当。幺尸时，F,(r)>0；［〈上襄时，F'(t)<0,故当仁彳尸”)取最

小值ge-xA+i.即

F(r)^|(ex-x)2+l.

以下同证法一.

证法四：/(x)=(e*—f)2+(x—/尸+1

设点/、6的坐标分别为(x,")'(0),易知点6在直线尸x匕令点力到直线片离为"，则

“X)=|AB\2+1212+1=](e*-x)2+l.

以下同证法一.

【点评】本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命

题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合

性.

(5)三年的“平面向量”考了哪些内容？

平面向量是高中数学的三大数学工具之一，具有代数和几何的双重性.向量是数形结合的典范，是高考

数学综合题命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的热点.主要涉及的知识点有：

一、向量的加法与减法、实数与向量的积

向量基本概念及相关的基本理论在高考试题中可以以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运

算及其几何意义在试题的难易程度上可以偏难一些。

【例1】(2006年北京卷)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab力0)共线，则工+1的值等于______________.

ab

解：AB=(a—2,—2),AC=(—2,b—2),依题意，有(〃-2)•(/?—2)—4=0

即ab—2a—2b=0所以工+'=—

ab2

【例2】(2006年上海)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()

(A)AB=DCy--------7c

(B)AD+AB-AC{----------"B

(C)AB-ADBD

(D)AD+CB=0

解：由向量定义易得，(C)选项错误；AB-AD=DB.

二、向量的数量积与运算律

【例3】(2006年辽宁卷)设。(0,0),A(l,0),8(0,1),点尸是线段A8上的一个动点，而=2而，若

丽•丽之行而，则实数X的取值范围是()

161BBB

(A)-</l<l(B)1----<2<1(C)-<2<1+—(D)1-----<A<1+—

222222

〃…AP=AAB=>aP=(l-A)dA+2OB=(l-2,2),

解答：

方=而_Q=(1_几)而=(几_i,i_丸),Q=4而=(_4几)

OPAB>PAPB«(1-2,2)(-1,1)>(2,-2)(2-l,l-2)^222-4A+l<0

解得：1一"W几41+乃，因点P是线段AB上的一个动点，所以0<2<1，即满足条件的实数2的取值

22

后

范围是1一"WA<1，故选择答案B.

2

【点评】本题考查向量的表示方法，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等.

【例4】(2006年辽宁)已知点4(芭,以)，6(々,力)(中2。0)是抛物线y2=2px(p〉0)上的两个动点,。

是坐标原点晌量方,为满足"+西=屋-西.设圆C的方程为

，+/一(占+々)》-(弘+乃)〉=0

(I)证明线段A8是圆C的直径；

【解析】(I)证明1:-：\dA+OB\=^dA-OB\,：.(OA+()B)2=(OA-OB)2

.2.■--->2.2,---*----2

OA+20AOB+OB=OA-20A0B+0B

整理得：OAOB=0

x

-'-\-x2+yl-y2=0

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则赤•丽=0

即(x-xJ(x-x2)+(y-M)(y-%)=o

整理得:/+y2_(须+》2)x-(M+y2)y=0

故线段AB是圆C的直径

证明2:|况+丽||刀—砺|(04+OB)2=(OA-OB)2

''--2‘一’一2一2-'’一’一2

OA+20A0B+0B=OA-20A0B+0B

整理得：OAOB^O

‘Xi=0.....(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

即^^—­-~—=-l(xHX|,XH%2)

x-x2x-x}

去分母得：(X—X1)(X—X2)+(y-y)“一%)=°

点(x,,M),(石,％),。2,x)(X2,%)满足上方程，展开并将(1)代入得：

22

x+y-(xi+x2)x-(yl+y2)y=0

故线段A5是圆。的直径

证明3:•.■\OA+OB\=^)A-OB\,：.(dA+OB)2=(OA-OB)2

'一2‘一’'一’一212,—‘一’•一2

OA+20A0B+0B=0A-20A0B+0B

整理得：OAOB^O

-x2+yx-y2=0……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

(x-巧汩+(y-%与=:[(』-'2尸+(%—%了]

展开并将(1)代入得：

，+/一(占+々)》-(弘+力力=0

故线段AB是圆C的直径

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算.

三、两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移

[例5](2005年全国卷)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v

相同，且每秒移动的距离为M个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点尸的坐

标为

(A)(-2,4)(B)(-30,25)(C)(10,-5)(D)(5)-10)

解：设5秒后点尸运动到点A,则PA^PO+OA^5V(20,-15),

OA=(20,-15)4-(-10,10)=(10,-5),选«)

[例6](2006年湖北卷)设函数/(x)=a•(5+c),其中向量0=(sinx,-cosx),b=(sinx,・3cosx),

c=(-cosx,sinx),x^R.

(I)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(11)将函数/(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小

的4

解：(I)由题意得，f(x)=a-(Z>+c)=(siav,-cosx)(sinx-cosx,siar—3cosx)

—sin2x—2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x—sin2x=2+V2sin(2x+/

4

所以，/)的最大值为2+痣，最小正周期是券=万.

(II)由sin(2x+网)=0得2x+四=k.»，BPx=---,ZreZ,

4428

十日，/k兀3乃I|I,kjr37r2».~

于是d=(―-—，-2),|7J|=(―-—)2+4,A：GZ.

Zovzb

因为人为整数，要使图最小，则只有k=1,此时”=(-p-2)即为所求.

【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,

考查推理和运算能力。

四、正弦定理、余弦定理、解斜三角形

TT

【例7】(2005年江苏卷)Z\ABC中，A=一,8C=3,则4ABC的周长为

3

(A)4V3sin(S+y)+3(B)4^/3sin(5+—)+3

6

兀

(C)6sin(B+y)+3(D)6sin(B+—)+3

AT3l

解答：在A4BC中，由正弦定理得：——=〒，化简得AC=2Qsin8,

sin873

2

-------------=%，化简得AB=2sin(——B),

sin［乃-(8+")xl3

32

所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+2百sin6+2百sin(胃-B)

=3+3-73sinB+3cosB=6sin(B+^-)+3.故选D.

【点评】本题考查了在三角形正弦定理的的运用，以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用.

3

【例8】(2006年天津卷)如图，在AA6C中，AC=2,BC=1,cosC=—.

4

(1)求AB的值；

(2)求sin(2A+C)的值.

解答：(I)由余弦定理

3

AB2AC2+BC2-2AC.BC.cosC=4+l-2x2xlx—=2.

4

(II)山cosC且0<C〈乃，得sinC=Vl-cos2C=

44

卜丁》士由ABBC..BCsinCV14

由正弦定理-----=-----，解得sinA=--------=

sinCsinAAB8

cosA=由倍角公式sin2A=sin2A-COSA=^红

816

cos2A=l-2sin2A-—,故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=

168

【点评】本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识.考查

基本运算能力及分析和解决问题的能力.

五、平面向量的工具性应用

【例9】（2007年四川卷）设片、B分别是椭圆、+〉'2=1的左、右焦点.

（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1%的最大值和最小值;

（H）设过定点M（0,2）的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角（其中。为坐标原点），

求直线/的斜率上的取值范围.

解答：（I）解法一：易知。=2,匕=l,c=JJ

所以耳卜6,0）,工（石,0）,设P（x,y）,则

=（-V3-x,-y）,（V3-x,-y）=x2+/-3=x2+l-y-3=^-（3x2-8）

因为xe[—2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，石子工有最小值—2

当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时，西•丽有最大值1

解法二：易知a=2,b=l,c=也,所以片「百,0）,工（行,0）,设P（x,y）,则

|所『+|成”词2

西铉=冏.隹卜cos〃PE=叵川际.

222

=，(x+V3)+y+(x-V3)+/-12=f+y2_3(以下同解法一)

2__

（II）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线/:y=fcv—2,4（M,%），8（%2，%），

y=kx-2

联立＜%22]，消去y，整理得：（公+；卜+4履+3=0

4k3

X

&+无2=-------------7，玉•2=------T

k2+-k2+~

44

由△=（4k）2—4（女+；）x3=4/一3>0得：k<

B或人-2

22

又0°<ZA06<90°ocos/A05>Oo刀•历〉0

1・OA•OB=x]x2+y]y2>0

2

23k2-8kA-k-+1

又=（3+2）（履2+2）=kx1x2+2&（再+/）+4=------------------+4=

k2+-P+-k2+-

444

3-k2+l

k2+-+>0,即22<4：.-2<k<2

4

故由①、②得-2<%或<2

22

【点评】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推

理计算能力.

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与函数、三角函数、解析几何、立体几何

之间有着密切联系.在高考中就着重突出了对向量与数学其他分支的结合考查.

同学们在平时的复习中，需要能熟练地掌握向量语言与其他数学语言之间的等价转化.

命题走势(6)

(6)三年的“不等式”考到怎样难度？

不等式在高考中属主体内容，它与代数内容联系密切，高考中所占比例约为1075%.从近三年的高考

试题来看，考查的内容及其难度主要以有以下几点：

一、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容

易题或中档题.因此，关于这一部分的知识，考生在备考中要注意理解并深刻记忆基本公式.

【例1】(2006年江苏卷)设小从c是互不相等的正数，则下列等式中不但感辛的是

,11

(A)\a-b\<\a-c\+\b-c\(B)a"+—>a+—

aa

(C)\a-b\+-^—>2(D)y/a+3-V^+7<^a+2-^

a-b

解答：运用排除法，C选项h-耳+」一22,当a-b〈0时不成立。

a-b

【点评】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确

的结论.运用公式一定要注意公式成立的条件，如果

a,beR,那么小+b222ab(当且仅当a=匕时取"="号)如果a,h是正数那么

a+b>疝(当且仅当a=却寸取"="号).

2

[例2]（2007年陕西卷）某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增

长速度分别为V,,也心,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为

V1+v2+%匕匕匕

(A)(B)

33

（C）Vw?(D)

匕匕匕

解答：设三个连续时间段的时长分别为/4小3,依题意有V山=32=93=/,总的增长量为31,则

（111、3/3

h+t2+t3=l—+—+—.故该生物在所讨论的整个时段内平均增长速度为一--=--一F-

V+t+

1h%3）2h.L+±+l.

%v2v3

选D.

【点评】有些考生对平均增长速度和各段内的增长速度不理解，这就要求考生注意理解教材中的算术平

均数，几何平均数及调和平均数的大小关系，充分认识高考试题来源于教材又高于教材的意义，并在高三

备考阶段，特别是一轮复习阶段注重对课本知识的复习.

二、单纯考查不等式的解法、不等式的证明的试题很少，通常以不等式与函数、数列、解析几何、三

角等知识的综合问题的形式出现，此类问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求

较高.

【例3】(2005年辽宁卷)在R上定义运算③：=x(l-y).若不等式(x—。)③(x+a)<1对任

意实数x成立，则

(A)-l<a<l(B)0<a<2

1331

(C)--<0<一(D)--<a<一

2222

解答：：(x—a)③(x+a)=(x——x—a),.•.不等式(x—a)③(x+a)<l对任意实数x成立，则

(x—a)(l—x—a)<l时任意实数x成立，即使十一工一。2+。+1〉0对任意实数x成立，所以

13

A=l-4(-a2+a+l)<0,解得故选C.

[点评】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.